離散需求下的藥品庫(kù)存控制模型研究

陳桂芳，石榮麗 （廣東藥科大學(xué)，廣東 廣州 510006）

1 研究背景

藥品作為特殊商品之一，其供銷的管理不僅影響著醫(yī)藥企業(yè)的運(yùn)營(yíng)發(fā)展，更與人們的健康息息相關(guān)。隨著醫(yī)藥衛(wèi)生體系改革的不斷深入，醫(yī)藥費(fèi)用居高不下，藥品價(jià)格體系混亂，藥品流通效率低下等問題越來越突出。為此，政府先后推出了《關(guān)于印發(fā)推進(jìn)藥品價(jià)格改革意見的通知》、《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”深化基藥衛(wèi)生體制改革規(guī)劃的通知》、《關(guān)于在公立醫(yī)院醫(yī)療機(jī)構(gòu)藥品采購(gòu)中推行“兩票制”的實(shí)施意見（試行）》等文件，分別從藥品價(jià)格、藥品流通等方面對(duì)藥品進(jìn)行管制。然而這些政策的實(shí)施并不能有效解決“看病難、看病貴”、藥品價(jià)格虛高等問題。我國(guó)現(xiàn)有的醫(yī)藥企業(yè)約有8 000多家，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)尤為激烈。藥品價(jià)格的決定是由政府和市場(chǎng)共同合作來完成的，而影響藥品價(jià)格主要有兩個(gè)因素：一個(gè)是藥品的成本，包括藥品的生產(chǎn)成本和研發(fā)成本等；另一個(gè)是物流成本，包括運(yùn)輸成本和庫(kù)存成本等。研究表明[1]，庫(kù)存和運(yùn)輸是成本消耗最大的物流活動(dòng)，其成本約占物流總成本的三分之一到三分之二之間。庫(kù)存作為供求之間的緩沖器，一方面，使生產(chǎn)和物流更靈活；另一方面，保證產(chǎn)品對(duì)顧客的可得性。由此可見，面對(duì)政府政策的調(diào)控和市場(chǎng)的激烈競(jìng)爭(zhēng)，對(duì)藥品庫(kù)存管理的研究有著重大的意義，優(yōu)化藥品庫(kù)存結(jié)構(gòu)、提高藥品倉(cāng)庫(kù)有效利用率，才是醫(yī)藥企業(yè)降低成本、增加利潤(rùn)、提高市場(chǎng)占有率的關(guān)鍵因素。

2 相關(guān)文獻(xiàn)綜述

庫(kù)存管理是許多行業(yè)運(yùn)營(yíng)績(jī)效的核心，由于其在實(shí)踐中的重要性，庫(kù)存管理一直是運(yùn)籌學(xué)研究的熱點(diǎn)。從1915年Harris提出著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ模型）開始，開創(chuàng)了庫(kù)存模型理論的新時(shí)代。到了20世紀(jì)50年代，隨著運(yùn)籌學(xué)、數(shù)量統(tǒng)計(jì)學(xué)等理論的應(yīng)用，對(duì)庫(kù)存問題的研究也逐步形成了庫(kù)存理論，稱為“存儲(chǔ)論”。1953年，Whitin T.M撰寫了《庫(kù)存管理的理論》；1958年，Arrow K.J.等撰寫了《庫(kù)存和生產(chǎn)的數(shù)學(xué)理論研究》；1959年，Moran P.A.P撰寫了《倉(cāng)儲(chǔ)理論》。此后，庫(kù)存理論變成了運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支，并根據(jù)需求的數(shù)量特征，將庫(kù)存管理模型分為確定性需求和隨機(jī)性需求，并對(duì)不同需求的庫(kù)存模型進(jìn)行了廣泛深入的研究。

2.1 確定性需求庫(kù)存管理模型

從1915年Harris提出的EOQ模型開始，對(duì)于需求確定性的庫(kù)存管理問題的研究已較為完善。Goyal[2]提出了一種確定需求率的有限范圍庫(kù)存問題的經(jīng)濟(jì)訂單量的方法。Ghare P M，Misra R，Shah Y K和Tadikamalla P等學(xué)者[3-6]在EOQ模型基礎(chǔ)上對(duì)易變質(zhì)物品的庫(kù)存管理問題做了不同程度的研究，在他們的研究中，需求被假設(shè)為常數(shù)。Zeng Y[7]推導(dǎo)了具有確定性需求的多級(jí)梯庫(kù)存控制模型，并通過實(shí)例證明了2的整數(shù)冪的有效性。季金震[8]假設(shè)需求確定的情況下，建立由一個(gè)生產(chǎn)企業(yè)、一個(gè)配送公司和多個(gè)零售企業(yè)組成的多級(jí)供應(yīng)鏈的多級(jí)庫(kù)存模型，求得到成本最小化的庫(kù)存控制模型的目標(biāo)函數(shù)，使得整個(gè)供應(yīng)鏈庫(kù)存整體最優(yōu)。唐飛[9]假設(shè)需求和生產(chǎn)率為固定常數(shù)，提出只生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，采用零售商占主導(dǎo)的寄售庫(kù)存策略，以減少供應(yīng)商和零售商的總成本。趙英會(huì)[10]通過理論分析和定量分析，研究EOQ模型在中小制造企業(yè)中的優(yōu)化和應(yīng)用，該模型中需求量假設(shè)為已知常數(shù)。

2.2 隨機(jī)性需求庫(kù)存管理模型

對(duì)于隨機(jī)性需求庫(kù)存管理的研究，部分學(xué)者是在確定性需求庫(kù)存管理研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，并得到一定的成果。Goyal[11]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上提出了在一定需求變化的情況下改進(jìn)庫(kù)存問題最優(yōu)解的方法，并通過算例說明了該方法的有效性。Chang等[12]在經(jīng)典的EOQ模型基礎(chǔ)上，研究部分短缺量和時(shí)變需求對(duì)經(jīng)濟(jì)訂貨批量的影響，并通過數(shù)值算例說明該庫(kù)存模型的有效性。

此外，Karlin[13]提出一種動(dòng)態(tài)庫(kù)存模型，在該模型中，需求分布可隨時(shí)期變化而變化。在連續(xù)的變化時(shí)期內(nèi)，每個(gè)階段的最優(yōu)策略的特征是一個(gè)單獨(dú)的臨界值。Song等[14]提出了一個(gè)需求率隨經(jīng)濟(jì)波動(dòng)或者隨產(chǎn)品生命周期變化而變化的庫(kù)存模型，并求出了最優(yōu)策略的一些基本特征。馬士華[15]等分別考慮確定需求量和隨機(jī)需求量的情況下，建立提前期隨機(jī)的庫(kù)存控制模型。劉天亮[16]假設(shè)彈性需求下，針對(duì)是否采用替代策略情況下分別建立庫(kù)存模型并進(jìn)行仿真研究。劉崢[17]等假設(shè)隨機(jī)需求下，通過比較雙渠道供應(yīng)鏈下制造商和零售商的獨(dú)立庫(kù)存模型和聯(lián)合庫(kù)存模型的供應(yīng)鏈成本，得到供應(yīng)鏈聯(lián)合庫(kù)存模型成本更低。陳丹丹等[18]基于離散需求下，分別建立缺貨點(diǎn)在前和變質(zhì)點(diǎn)在前的兩種庫(kù)存控制模型，并求解出易變質(zhì)物品的最優(yōu)缺貨點(diǎn)和最低庫(kù)存總成本，得出變質(zhì)點(diǎn)在前的庫(kù)存總成本比缺貨點(diǎn)在前要低的結(jié)論。

綜上可見，無論是確定需求庫(kù)存管理的研究還是隨機(jī)需求庫(kù)存管理的研究都已較為完善。但是，在隨機(jī)需求的庫(kù)存管理中，學(xué)者們對(duì)離散需求下的庫(kù)存模型研究相對(duì)較少，且仍在不斷發(fā)展和積累中。本文考慮藥品需求為離散隨機(jī)變量，建立離散需求下的藥品庫(kù)存模型，采用（s,S）庫(kù)存策略和邊際分析法，確定其最低總成本下的最佳訂貨點(diǎn)和最優(yōu)庫(kù)存量，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化醫(yī)藥企業(yè)庫(kù)存管理的目的。

3 離散需求下的藥品庫(kù)存模型建立和求解

3.1 符號(hào)與假定

為了更好地完成醫(yī)藥企業(yè)的生產(chǎn)銷售計(jì)劃，減少資源的浪費(fèi)，提高藥品倉(cāng)庫(kù)的有效利用率，針對(duì)藥品經(jīng)營(yíng)企業(yè)建模，模型假設(shè)條件如下：

（1） 藥品需求量r為離散隨機(jī)變量，可能取值為：r1,r2,r3,…,rn（ri＜ri+1，i=1,2,…,n-1 ），且ri的分布律已知。需求量r的概率為P（r），且

（2）允許缺貨，每周期初開始補(bǔ)貨，補(bǔ)貨能瞬時(shí)完成。

（3）C1為每次訂購(gòu)費(fèi)用，包括運(yùn)輸費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)以及裝卸費(fèi)等；C2為單位藥品存儲(chǔ)成本；C3為單位藥品缺貨成本；k為藥品單價(jià)；s為訂貨點(diǎn)；S為最大庫(kù)存量。

（4） 采用（s,S）庫(kù)存策略，即：當(dāng)初始庫(kù)存量為I，訂貨點(diǎn)為s，若I＞s，則不對(duì)庫(kù)存進(jìn)行補(bǔ)充；若I≤s，則對(duì)庫(kù)存進(jìn)行補(bǔ)充，補(bǔ)充庫(kù)存量為Q，Q=S-I，補(bǔ)充后達(dá)到最大庫(kù)存量S，藥品庫(kù)存消耗途徑如圖1。

圖1 藥品庫(kù)存消耗途徑

3.2 模型的建立與最優(yōu)解分析

本模型采用（s,S）庫(kù)存策略，當(dāng)I≤s時(shí)，需要對(duì)庫(kù)存進(jìn)行補(bǔ)充，庫(kù)存量由I補(bǔ)充到S，此時(shí)，本周期總成本=訂購(gòu)成本+儲(chǔ)存成本+缺貨成本，其函數(shù)為：

在本周期的藥品銷售中，目的是求解出最經(jīng)濟(jì)的最大庫(kù)存量S以及最佳訂貨點(diǎn)s，使得總成本C（s,S）期望值最小。由于需求量r是離散隨機(jī)變量，是r1,r2,…,rn中的一個(gè)，因此訂貨點(diǎn)s和最大庫(kù)存量S的取值也應(yīng)是r1,r2,…,rn中的一個(gè)。令S=Si=ri（i=1,2,…,n），由于C（Si）是離散的，故采用邊際分析法，考察 ΔC（Si）：

由于（C1+C2）ΔSi＞0且F（Si）是關(guān)于i的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，因此 ΔC（Si）和［F（Si）-N］同號(hào)，且都是關(guān)于i的嚴(yán)格單調(diào)遞增。由于缺貨成本C3至少包括失去銷售機(jī)會(huì)的損失，且售價(jià)一般高于成本，則有：

在實(shí)際銷售中，一般P（r1）和P（rn）都比較小，設(shè)F（S1）=P（r1）＜N，F(xiàn)（Sn-1）=1-P（rn）＞N，即P（rn）＜1-N。此時(shí)則有：

由于 ΔC（S1）＜0，ΔC（Sn-1）＞0，且 ΔC（Si）具有關(guān)于i的嚴(yán)格單調(diào)遞增性質(zhì)，由此可知，隨著i的增加，ΔC（Si）先取負(fù)值，然后變?yōu)檎?。即C（Si）隨著i的增加，先減少，再增加，有最小值。因此，假設(shè)最優(yōu)庫(kù)存量S*為：S*=Si=，要求出最小C（Si）值，則C（Si）應(yīng)同時(shí)滿足不等式組：

將不等式（2）詳細(xì)寫出來得：

綜合以上兩式得：

確定最優(yōu)庫(kù)存量S*后，現(xiàn)要確定訂貨點(diǎn)s。當(dāng)I＞s時(shí)，不需要訂貨，此時(shí)，本周期總成本=儲(chǔ)存成本+缺貨成本，其函數(shù)為：

根據(jù)訂貨點(diǎn)s的意義，當(dāng)周期初始庫(kù)存量I=s時(shí)，不訂貨的期望總成本應(yīng)當(dāng)不超過訂貨的期望總成本。則訂貨點(diǎn)s應(yīng)滿足以下不等式：

整理得：

當(dāng)s=S*時(shí)，不等式（6） 明顯成立，但根據(jù)最佳訂貨點(diǎn)s*的3個(gè)性質(zhì)：①s*≤S*；②s*需滿足不等式（6）；③s*是所有滿足不等式（6）中最小。由于需求為離散的隨機(jī)變量，所以訂貨點(diǎn)s的取值也是r1,r2,…,rn中的一個(gè)，令s分別取值為：r1,r2,…,rn，按從小到大的順序代入不等式（6）中，則第一個(gè)滿足不等式（6）的ri為最佳訂貨點(diǎn)s*。

4 算例分析

假設(shè)藥店銷售某種藥品，單價(jià)為30元/盒，訂購(gòu)費(fèi)用為200元/次，每盒藥品存儲(chǔ)費(fèi)用為10元/月，藥品缺貨成本為60元/盒，該藥品每月需求率如表1，根據(jù)上述的藥品庫(kù)存模型，求出該藥品最優(yōu)的訂購(gòu)策略。

表1 藥品需求概率表

設(shè)本周期初始庫(kù)存量I=0≤s，將上述數(shù)據(jù)代入所建模型可得：

先計(jì)算：

再計(jì)算：

顯然，左邊＞右邊，公式（6） 不成立。

同理，再將s=50，S*=70代入公式（6） 得：

左邊=3 185；右邊=2 995，左邊＞右邊，公式（6）仍不成立。

再將s=60，S*=70代入公式（6） 得：

左邊=2 955；右邊=2 995，左邊＜右邊，公式（6）成立，所以最佳訂貨點(diǎn)s*=60，因此該藥店應(yīng)采取（s,S）=（60,70）的庫(kù)存策略，即初始庫(kù)存水平低于或等于60盒時(shí)，需要訂貨補(bǔ)充，最優(yōu)補(bǔ)充量Q*=S*-I=70盒。

5 結(jié)論與討論

本文提出了需求為離散隨機(jī)變量的藥品庫(kù)存模型，從該模型的結(jié)構(gòu)上看，推算出最低期望總成本下的最大庫(kù)存量以及最佳訂貨點(diǎn)尤為關(guān)鍵，再根據(jù)實(shí)際初始庫(kù)存量確定是否需要訂貨以及最優(yōu)訂貨量，最后通過算例分析對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到該藥品最低總成本的庫(kù)存策略為（60,70）。由于本模型是采用（s,S）庫(kù)存策略，所以在藥品儲(chǔ)存時(shí)可以分兩堆存放，一堆數(shù)量為訂貨點(diǎn)s的量，其余放另一堆。平時(shí)取后一堆以滿足需求，當(dāng)取完后一堆，需要取前一堆時(shí)，則在周期末選擇訂貨；如果到了周期末，前一堆仍未動(dòng)用，則本周期不訂貨。采用此策略可以在實(shí)際盤點(diǎn)中更容易確定是否需要訂貨，從而提高工作效率。