矩陣方程AXAH=B的Hermitian R-對(duì)稱(chēng)形式的最小二乘解

張秀英

(長(zhǎng)春師范大學(xué)國(guó)際教師教育學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130032)

在科學(xué)計(jì)算及工程應(yīng)用等很多領(lǐng)域都需要求解線性矩陣方程. 特別地，許多學(xué)者研究了矩陣方程

AXAH=B.

(1)

的特殊形式的解，其中A∈Cm×n,B∈Cm×m[1-6].Khatri[1]給出了方程(1)的Hermitian解的表達(dá)式，Tian[2]給出了其最小二乘解和最小秩解的關(guān)系，Wei[3]和Zhang[4]研究了此方程在秩約束條件下的Hermitian非負(fù)定解.

設(shè)R∈Cn×n是一個(gè)非平凡的酉對(duì)合矩陣，即R=RH=R-1≠I(mǎi)，如果X∈Cn×n滿足RXR=X，則稱(chēng)矩陣X是R-對(duì)稱(chēng)的[7].令Φ為n階Hermitian R-對(duì)稱(chēng)矩陣的集合，即Φ={X∈Hn×n|RXR=X}，本文研究如下最小二乘問(wèn)題：

(2)

其中，A,B為系數(shù)矩陣，A∈Cm×n，B∈Cm×m.進(jìn)一步地，尋找該最小二乘問(wèn)題的極小范數(shù)最小二乘解.

文中，Un×n，Hn×n分別表示n×n階的酉矩陣和Hermitian矩陣的全體，AH是矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，分塊矩陣中的單位塊和零塊分別用I，O來(lái)表示.A?B、A*B分別為矩陣A與B的Kronecker積與Hadamard積，‖·‖表示取Frobenius范數(shù).

1 Hermitian R-對(duì)稱(chēng)矩陣的結(jié)構(gòu)

令r,s分別表示酉對(duì)合矩陣R的兩個(gè)特征值1和-1的特征子空間的維數(shù)，則r,s≥1并且r+s=n.令

P=(p1,p2,,pr)，Q=(q1,q2,,qs).

因此，R有以下分解形式：

(3)

對(duì)于任意的X∈Hn×n，相應(yīng)地有如下分塊形式：

(4)

其中，X1=PHXP∈Hr×r,X2=QHXQ∈Hs×s,Y=PHXQ∈Cr×s.由式(3)和(4)可得：

為討論方便，引入以下記號(hào)和分塊形式：

A1=AP∈Cm×r,A2=AQ∈Cm×s.

(5)

對(duì)A1,A2進(jìn)行約化的奇異值分解.

(6)

(7)

(8)

其中，對(duì)角矩陣D的元素小于1.相應(yīng)地，根據(jù)D12的分塊形式對(duì)U12,V12進(jìn)行分塊.

(9)

2 Hermitian R-對(duì)稱(chēng)形式的最小二乘解

對(duì)于最小二乘問(wèn)題(2)，由引理1，

因此，

(10)

最小二乘問(wèn)題(2)可以轉(zhuǎn)化為求解下面方程的Hermitian最小二乘解：

(11)

引理2 對(duì)于矩陣方程：

(12)

其中，A,B,C,D,E已知，X,Y是解矩陣，它的正規(guī)方程是：

證明 方程(12)等價(jià)于下面的線性系統(tǒng)：

此線性系統(tǒng)的正規(guī)方程是：

將等號(hào)左邊的兩個(gè)系數(shù)矩陣相乘，再次利用Kronecker積，得到矩陣方程(12)的正規(guī)方程.

引理3[1]線性矩陣方程(1)有Hermitian解當(dāng)且僅當(dāng)AA+B=B,B=BH.這時(shí)，其Hermitian解可以寫(xiě)成下面的形式：

X=A+B(A+)H+(In-A+A)V+VH(In-A+A).

其中，V∈Cn×n任意. 更進(jìn)一步，‖X‖2=‖A+B(A+)H‖2+‖(In-A+A)V+VH(In-A+A)‖2.

(13)

將式(9)代入(13)，可得：

(14)

(15)

顯然式(15)中的對(duì)角塊是Hermitian矩陣. 令

(16)

基于以上矩陣的分塊表示(14)～(16)，可以得到下面的結(jié)論.

(17)

其中，

C是Hermitian陣，T1,T2是滿足維數(shù)要求的任意復(fù)矩陣.

證明 當(dāng)X∈Φ，由式(10)(11)和引理2可知，求方程(1)的Hermitian R-對(duì)稱(chēng)形式的最小二乘解等價(jià)于解下面的正規(guī)方程：

(18)

(19)

代入式(13)，方程(19)等價(jià)于求解下面方程的Hermitian解：

(20)

將式(14)(15)的分塊形式代入式(20)，

(21)

方程組(21)中等號(hào)左邊的塊矩陣除了Ψ11和Φ11都是確定的.

式(14)中的對(duì)角塊是Hermitian矩陣，Ψ11+Φ11=∑11=Ω11.設(shè)Ψ11=C,則Φ11=∑11-C.因此，

由引理3，得到方程(1)的Hermitian R-對(duì)稱(chēng)最小二乘解的表達(dá)式.

3 極小范數(shù)解

(22)

(23)

U=(U1,U2,U3),V=(V1,V2,V3),

(24)

(25)

記

(26)

基于以上矩陣的分塊表示(24)～(26)，下面的結(jié)論成立.