李志秀

(晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,山西晉中030600)

先給出求矩陣最小多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式法[1-5]。

定義1設(shè)A∈Pn×n，在數(shù)域P上的以A為根的多項(xiàng)式，其中次數(shù)最低的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的非零多項(xiàng)式稱為矩陣A的最小多項(xiàng)式。

定理1設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，f(λ)是A的特征多項(xiàng)式，則f(A)=0。

定理2設(shè)g(x)是矩陣A的最小多項(xiàng)式，那么f(x)以A為根的充要條件是g(x)整除f(x)。

證明充分性是顯然的，下面證明必要性。

設(shè)f(x)以A為根，因g(x)是A的最小多項(xiàng)式，可 設(shè)f(x)=q(x)g(x)+r(x) ，其 中r(x)=0或?o(r(x) )＜?o(g(x) )，所以f(A)=q(A)g(A)+r(A)，而g(A)=0且f(A)=0，故r(A)=0。如若r(x)不恒等于0，則有 ?o(r(x) )＜?o(g(x) )，這與g(x)是最小多項(xiàng)式矛盾，因此r(x)恒為0。故g(x)|f(x)。

定理3設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，A的特征多項(xiàng)式為,其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整數(shù)，且，則A的最小多項(xiàng)式為其中ki是在1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整數(shù)。

證明因?yàn)閒(λi)=0(i=1,2,…,s)，且λ1,λ2,…,λs是互不相同的，所以λ1,λ2,…,λs是A的互不相同的特征根，因而λ1,λ2,…,λs都是A的最小多項(xiàng)式的根，因此可設(shè)A的最小多項(xiàng)式為φ(λ),其中ki≤mi(i=1,2,…,s)是正整數(shù)，φ(λ)的首項(xiàng)系數(shù)為l，且φ(λi)≠0(i=1,2,…,s)。 因?yàn)閒(λ)是A的特征多項(xiàng)式，由定理1，f(A)=0，且由定理1，可得g(λ)|f(λ),即。所以因?yàn)棣?λ)的首項(xiàng)系數(shù)為 1,ki≤mi(i=1,2,…,s),φ(λi)≠0(i=1,2,…,s),所以φ(λ)=1。從而都是正整數(shù)，由最小多項(xiàng)式定義可知，ki是1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整數(shù)。

綜上所述,用矩陣A的特征多項(xiàng)式求A的最小多項(xiàng)式的一般方法。其步驟如下：

設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，A的特征多項(xiàng)式為，其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整數(shù)，且，則A的最小多項(xiàng)式為1,2,…,s),然后依次取ki是 1,2,…,mi(i=1,2,…,s)，計(jì)算g(A)，直到找出使g(A)=0的最小正整數(shù)ki(i=1,2,…,s)為止。

例1設(shè)求A的最小多項(xiàng)式。

解A的特征多項(xiàng)式為

設(shè)A的 最 小 多 項(xiàng)式 為g(λ)=(λ-2)k1(λ-1)k2，(1 ≤k1≤2,1≤k2≤2),因?yàn)?/p>

所以k1=1，k2=2，因此A的最小多項(xiàng)式為g(λ)=(λ-2)(λ-1)2=λ3-4λ2+5λ-2。

下面討論求解矩陣最小多項(xiàng)式的另外一種解法——Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法。

定理4相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式。

證明設(shè)矩陣A的最小多項(xiàng)式是m(x)，矩陣B的最小多項(xiàng)式是n(x)，由A與B相似知B=P-1AP，其中P為可逆矩陣。故m(B)=m(P-1AP)=0。由定理2知，n(x)整除m(x)，同理可證m(x)整除n(x)。由于m(x)與n(x)都是首項(xiàng)系數(shù)為1的，故m(x)=n(x)。

定理5設(shè)是準(zhǔn)對(duì)角矩陣，且mi(λ)分別為Ai的最小多項(xiàng)式，m(λ)為A的最小多項(xiàng) 式 ，則m(λ)=[m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)]。其 中 [m1(λ)，m2(λ)，ms(λ)]是m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)的最高次項(xiàng)系數(shù)是1的最小公倍數(shù)。

證明因?yàn)椋詍(A1)=0,m(A2)=0,…,m(As)=0。 即 有m1(λ)|m(λ),m2(λ)|m(λ) ,…ms(λ)|m(λ)， 即 證m(λ) 是m1(λ),m2(λ) ,…ms(λ)的 最 小 公 倍 數(shù) 。 任 取m1(λ),m2(λ) ,…,ms(λ)的 一 個(gè) 公 倍 式h(λ) ，則此即h(λ)是A的零化多項(xiàng)式，故m(λ)|h(λ)。又因?yàn)閙(λ)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1，所以m(λ)=[m1(λ),m2(λ),…,ms(λ)]。

例2設(shè)求A最小多項(xiàng)式m(λ)。

解設(shè)其中

因?yàn)镴ordan矩陣J1的最小多項(xiàng)式為(λ-1)2,Jordan矩陣J2的最小多項(xiàng)式為(λ-2)3，故由定理4可得A的最小多項(xiàng)式為m(λ)=(λ-1)2(λ-2)3。

最后討論矩陣最小多項(xiàng)式的一種特殊求法。即通過討論向量關(guān)于矩陣的最小多項(xiàng)式得到矩陣的最小多項(xiàng)式。

定義2使得c()A b=0的次數(shù)最低且最高次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式c()λ稱為向量b關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式。

定理6設(shè)n階方陣A的秩為r,xr+1,xr+2,…,xn為齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，將xr+1,xr+2,…,xn擴(kuò)充為Cn的一組基x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn,設(shè)c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)分別為x1,x2,…,xr關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式，則c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)與λ的最小公倍式g(λ)等于矩陣A的最小多項(xiàng)式m(λ)，即g(λ)=m(λ)。

證明由c1(λ),c2(λ),…,cr(λ)分別為x1,x2,…,xr關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式，可得c1(A)x1=0,c2(A)x2=0,…,cr(A)xr=0，又因xr+1,xr+2,…,xn為齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，故Axr+1=0,Axr+2=0,…,Axn=0。而Cn中的任一向量b都能被x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn線性表示，從而g(A)b=0。其中式中的向量b是任意的，這意味著g(A)=0。則有m(λ)|g(λ),由已知條件，m(λ)是A的最小多項(xiàng)式，故對(duì)任意的向量b，都有m(A)b=0，又因?yàn)間(λ)是最小公倍式，從而g(λ)|m(λ), 可得g(λ)=m(λ)，定理得證。

例3求矩陣的最小多項(xiàng)式。

解齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為x1=(0 .1，-1)T，添 加 上 向 量x2=(1 , 0,0)T，x3=(0 ,1,0)T，即構(gòu)成向量空間C3的一組基。

下面來求向量x2=(1 , 0,0)T關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式,構(gòu)造矩陣：

由向量的相關(guān)知識(shí)，可以得到x2,Ax2,A2x2線性無關(guān)，但x2,Ax2,A2x2,A3x2線性相關(guān)，且3Ax2-4A2x2+A3x2=0。即x2=(1 , 0,0)T關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式f2(λ) =3λ-4λ2+λ3，根據(jù)同樣的方法可以算出x3=(0 ,1,0)T關(guān)于矩陣A的最小多項(xiàng)式f3(λ) =3λ-4λ2+λ3,所以矩陣A的最小多項(xiàng)式為：