從0.9=1談起

黃雄

1 問題的緣起

去年10月份，筆者被抽調(diào)擔(dān)任某市中高級教師職稱晉級片斷教學(xué)的評委，同時(shí)承接該次片斷教學(xué)的學(xué)科命題任務(wù)，當(dāng)天上午，按照主管部門的要求分別命好初、高中片斷教學(xué)課題后，還要命制一道學(xué)科專業(yè)的問答題，供所有參評教師在片斷教學(xué)結(jié)束后回答，考慮到參評教師是該市即將要被聘任中學(xué)一級教師或中學(xué)高級教師的群體，其中既有高中教師也有初中教師，所以，命制的題目必須既要承載考核高中教師的功能，又不為難初中教師，當(dāng)然，我們更想籍此從一個(gè)側(cè)面檢測即將擔(dān)任中學(xué)一級或中學(xué)高級的數(shù)學(xué)教師的學(xué)科素養(yǎng)，連同命制片斷教學(xué)試題的時(shí)間在內(nèi)，命題總時(shí)長只有半小時(shí)，而且所命題目要適合參評教師進(jìn)行現(xiàn)場問答，經(jīng)過一番斟酌，決定以“等式0.9 =1正確嗎？請說明理由”為題對參評教師進(jìn)行考核.

2 問題的解答

當(dāng)然，本問題還可以使用Dedekind分割及Cauchy序列等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行說理，于此不再贅述.

3 問題的反饋

當(dāng)天上午，參加面試的數(shù)學(xué)教師總共38人（分三個(gè)小組），其中初中教師20人，高中教師18人，對該問題判斷正確的初中教師僅7人，判斷正確的高中教師10人，不難得出：認(rèn)為“等式0.9 =1”正確的教師不足一半;其中，在判斷正確的17名教師中，能正確說明理由的教師總共8人，而且均使用理由1和理由2進(jìn)行解釋;另外9名教師要么說不出所以然，要么表述為：無限接近1，因此可以認(rèn)為兩者相等，值得注意的一個(gè)現(xiàn)象是：參加面試的教師中，有18人來自該市一級達(dá)標(biāo)校，其中13人認(rèn)為“等式”正確，其比例遠(yuǎn)高于非一級達(dá)標(biāo)校教師.

面試結(jié)束后，筆者與幾位面試教師進(jìn)行簡短交流，從交流的信息來看，不少認(rèn)為“等式”不正確的教師，大多表示自己在讀小學(xué)時(shí)，就有的深刻印象，總覺得0.9比1總小那么一點(diǎn)點(diǎn)，兩者不可能相等，同時(shí)表示，雖然大學(xué)期間學(xué)習(xí)過有關(guān)極限的數(shù)學(xué)知識，但在多年的教學(xué)工作中卻極少遇到， 早已淡忘，而那些判斷正確但又無法正確說理的教師表示：這個(gè)等式之所以正確，是因?yàn)榇髮W(xué)時(shí)學(xué)習(xí)極限時(shí)留下的印象，該等式的正確性就像幾何學(xué)中的公理一樣理所當(dāng)然，至于如何證明，平時(shí)就沒有思考過.

4 啟示

啟示1 中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)亟待提升 考慮到面試教師都至少受過本科教育，執(zhí)教多年，具備被聘中學(xué)高級或中學(xué)一級職稱的基本條件，筆者命制本題的初衷只是想考查面試教師的學(xué)科基本素養(yǎng)，并不想難為他們，原以為絕大部分教師至少都能判斷正確，但從面試教師的回答情況來看，與預(yù)期有較大出入，無獨(dú)有偶，前不久面試一位申請調(diào)入新單位、具有10年教齡的教師，在他完成人教版九年級數(shù)學(xué)《隨機(jī)事件與概率》片斷教學(xué)后，我們針對教材內(nèi)容：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=m/n，提出以下三個(gè)問題：

問題1 是否存在：一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，但它們發(fā)生的可能性不都相等，

問題2 事件A指的是隨機(jī)事件嗎？

問題3 在一次試驗(yàn)中n可以無限嗎？

遺憾的是，這位教師三個(gè)問題全部回答錯(cuò)誤，盡管無論是參加職稱晉級考核還是申請調(diào)動(dòng)的面試，會給面試教師帶來隱性壓力，影響他們的正常發(fā)揮，但根植于內(nèi)心的學(xué)科核心素養(yǎng)在很多情況下是可以自然顯現(xiàn)的，以上兩例從一個(gè)側(cè)面反映出：當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)確實(shí)堪憂，目前，各地為了提高教師的教育教學(xué)水平，不斷地舉行各級各類培訓(xùn)，但大部分教師培訓(xùn)，傳授的都是教學(xué)理念和方法，而學(xué)科知識本身反而受到冷落，人們對教學(xué)方法研究情有獨(dú)鐘：研究教學(xué)導(dǎo)入的藝術(shù)，研究指導(dǎo)探究的藝術(shù)……但唯獨(dú)忘了研究那些貌似簡單卻內(nèi)涵深刻的數(shù)學(xué)知識.

實(shí)際上，“教什么”始終比“怎么教”重要，內(nèi)容決定形式，先進(jìn)理念首先關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容，從“教什么”的視角來看，數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的高低，首當(dāng)其沖地體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握上，低水平的教師，只會照本宣科，看到什么就教給學(xué)生什么，只是知識的低級搬運(yùn)工;高水平的教師，能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教教材顯性知識的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內(nèi)容，這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)等四個(gè)方面，為此，筆者建議在教師專業(yè)培訓(xùn)時(shí)，一定要關(guān)注從以上四個(gè)方面提升教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng).

啟示2 加強(qiáng)薄弱校教師的學(xué)科專業(yè)培訓(xùn)更加必要

從面試結(jié)果統(tǒng)計(jì)的情況來看，一級達(dá)標(biāo)校教師的表現(xiàn)比非一級達(dá)標(biāo)校教師的表現(xiàn)來得好，這也反映了：越是好的學(xué)校，由于自身的教科研氛圍濃厚，學(xué)生素質(zhì)高，教師的專業(yè)成長就更全面，對教材的把握也更加到位;越是薄弱校，由于自身的教科研氛圍不足，學(xué)生素質(zhì)相對弱，教師鉆研教材的積極性也受影響，很多薄弱校長期以來，一直將無法提高學(xué)校的教育教學(xué)質(zhì)量歸咎于生源質(zhì)量低下，然而，客觀地說，教師自身的學(xué)科專業(yè)水平不高也是影響該校教學(xué)質(zhì)量的重要因素之一.

我們欣喜地看到，目前從頂層設(shè)計(jì)層面，已經(jīng)開始關(guān)注薄弱校教師的成長，在各地舉行的各級各類教師培訓(xùn)、職稱評定、評優(yōu)評先等方面，都有專門的指標(biāo)和項(xiàng)目向薄弱校傾斜，應(yīng)該說，長期以來，薄弱校在多媒體等硬件配套設(shè)施方面存在先天不足，隨著國家對薄弱校軟硬件設(shè)施的改善，薄弱校教師要學(xué)習(xí)的東西很多，但如果通過各級各類培訓(xùn)，僅僅提高了使用硬件的技術(shù)，對提升教師學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)關(guān)注不夠，那么提高薄弱校的教學(xué)水平依然無法落到實(shí)處.

不難想象，如果不加強(qiáng)對薄弱校數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)培訓(xùn)，經(jīng)過若干年后，這些教師能夠保留解中、高考題的能力已經(jīng)非常了不起了，如此陷入題海戰(zhàn)術(shù)的教師，要引導(dǎo)學(xué)生跳出題海，根本就是件天方夜潭的事，那么培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)將是一句空話，因此，加強(qiáng)薄弱校數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)培訓(xùn)顯得更加必要.

啟示3 居高臨下提高教師學(xué)科素養(yǎng)

從面試結(jié)果統(tǒng)計(jì)的情況來看，高中教師判斷該問題的正確性比初中教師好，在說理環(huán)節(jié)，沒有人使用理由4（極限方法），大部分初中教師使用理由2（設(shè)元方式），有相當(dāng)數(shù)量的高中教師采用：“0.9無限接近1，因此可以認(rèn)為兩者相等”的方式說理，尤為遺憾的是：沒有一位高中教師使用理由3（無窮遞降等比數(shù)列的求和公式）說理，眾所周知，方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，極限知識在高中有所涉及，而無窮遞降等比數(shù)列的求和公式在現(xiàn)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)中已不做要求，這表明：教師對教材的把握、對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，受本人長期執(zhí)教內(nèi)容的影響頗深.

作為一名數(shù)學(xué)教師，如果要精準(zhǔn)地把握數(shù)學(xué)教材，把教給學(xué)生的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)講透講明白，自身必須具備居高臨下的學(xué)科素養(yǎng)，正如前面所述案例中，倘若那位申請調(diào)動(dòng)的教師對概率的古典化定義、統(tǒng)計(jì)定義、公理化定義了然于胸，要正確解答評委提出的三個(gè)問題就不困難了，在教學(xué)過程中，教師不能從學(xué)科角度高觀點(diǎn)把握新舊知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，往往還容易導(dǎo)致教學(xué)失誤，使學(xué)生的學(xué)習(xí)誤入歧途，如不少教師在教學(xué)切線概念時(shí)，受到圓切線概念的影響，錯(cuò)誤地將“曲線與直線相切”當(dāng)作“曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充要條件，其實(shí)，曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，求曲線過某一點(diǎn)的切線方程，這一點(diǎn)未必是切點(diǎn)，有可能以另一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線剛好過該點(diǎn)，同樣地，曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)未必就是相切，如：平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)該直線并不是雙曲線的切線，而要深刻地掌握切線概念必須從大學(xué)課程微積分的角度來理解，唯有這樣，才能避免相關(guān)概念的負(fù)遷移，可見，只有居高臨下地提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，才能有效避免本不該出現(xiàn)的教學(xué)失誤.

因此，只有具備居高臨下的學(xué)科素養(yǎng)、精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教師，在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，才能夠?qū)?shù)學(xué)知識的本質(zhì)講清楚、教到位，真正將培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)落到實(shí)處，可見，提高教師學(xué)科素養(yǎng)，要有高站位，不能局限于自身長期執(zhí)教的教學(xué)內(nèi)容，有必要從更高角度系統(tǒng)化、組織化地加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解.

5 結(jié)語

弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“為了真正的數(shù)學(xué)及其進(jìn)步，普通的常識必須要系統(tǒng)化和組織化，如同以前一樣，普通常識的經(jīng)驗(yàn)被結(jié)合成為規(guī)律（比如加法的交換律），并且這些規(guī)律再次成為普通的常識，即較高層次的常識，作為更高層次數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——一個(gè)巨大的等級體系，是由于非凡的相互影響的力量來建立的.”

對一個(gè)教師來說：當(dāng)教師明白數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在的知識特點(diǎn)，教師就明白在自己的講課過程中，哪里是講授之重點(diǎn)，才能夠做到教師在課堂上因勢利導(dǎo)地點(diǎn)撥，敢于讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中放手，相信學(xué)生，講清知識的來龍去脈，讓學(xué)生理解知識的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生加深理解，更重要的是教師才能夠講清知識點(diǎn)之間的關(guān)系，課堂上，教師才能夠講前面的知識會為后面的知識奠基，講后面的知識時(shí)，與前面的知識相結(jié)合不斷進(jìn)行反思和溫故.