鄭為勤

1 原題及命題意圖

在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn)，記作點(diǎn)0'，對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)M和N，若點(diǎn)M，N到點(diǎn)0'的距離相等，則稱點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn).

例如圖1，點(diǎn)M表示數(shù)-2，點(diǎn)Ⅳ表示數(shù)4，它們與基準(zhǔn)點(diǎn)0'的距離都是3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M與點(diǎn)Ⅳ互為基準(zhǔn)變換點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn).

①若a=3，則b= ▲ ，

②用含以的式子表示6，則b= ▲ ;

（2）對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)A表示的數(shù)乘以曇，再把所得數(shù)表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B.若點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，求點(diǎn)A表示的數(shù);

（3）點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，對(duì)Q點(diǎn)做如下操作：Q1為Q的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后Q1的落點(diǎn)為Q2，Q為Q的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后Q的落點(diǎn)為Q4，…，依此順序不斷地重復(fù)，得到Q5，Q6，…，Q，，若P與Q_4n兩點(diǎn)間的距離是4，直接寫出n的值，

根據(jù)聯(lián)考統(tǒng)一命題要求：本次期末考重點(diǎn)考查北師大2012版七年級(jí)上冊(cè)共6章，其內(nèi)容是“豐富的圖形世界”、“有理數(shù)及其運(yùn)算”、“整式及其加減”、“基本平面圖形”、“一元一次方程”、“數(shù)據(jù)的收集與整理”，特別要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，命題預(yù)設(shè)，將最后一道題命題方向確定為以下兩個(gè)方面：一是要將本冊(cè)主要內(nèi)容融為一體的綜合度，以考查學(xué)生知識(shí)深度、廣度和融會(huì)貫通的能力;二是要圍繞數(shù)學(xué)核心知識(shí)，體現(xiàn)重要數(shù)學(xué)思想方法，以考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力.

2 解題過程及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

（1）①對(duì)于具體數(shù)值，點(diǎn)A表示的數(shù)是3，則這個(gè)點(diǎn)在基準(zhǔn)點(diǎn)的右邊，與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離是2，因此點(diǎn)B在基準(zhǔn)點(diǎn)左邊2個(gè)單位，表示的數(shù)是-1.

②通過絕對(duì)值的幾何意義來表示點(diǎn)A與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離|l-a|，點(diǎn)B與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離為|l-b|.根據(jù)基準(zhǔn)變換的定義得：點(diǎn)A和點(diǎn)B一定分別在點(diǎn)1的

3 解題感悟

本題要考查的知識(shí)點(diǎn)包括：數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù);數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離;絕對(duì)值;平移、對(duì)折變換;找規(guī)律;一元一次方程，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，筆者在講解時(shí)嘗試結(jié)合認(rèn)知策略教學(xué)，

認(rèn)知策略是個(gè)體將其知識(shí)和技能用于問題情境的一些方法，這些問題有可能是個(gè)體早先未曾遇到過的，認(rèn)知策略是“動(dòng)腦”的方法，加涅通過研究前人的研究成果，總結(jié)出如下幾種認(rèn)知策略：注意中的認(rèn)知策略、編碼中的認(rèn)知策略、提取策略、問題解決中的認(rèn)知策略和思維認(rèn)知策略，充分關(guān)注這些認(rèn)知策略，能較完善地進(jìn)行解題教學(xué).

3.1 注意中的認(rèn)知策略

完成閱讀型考題，首先要過“閱讀”關(guān)，即審題，如果不在“閱讀”上要花時(shí)間，不仔細(xì)閱讀，就無法后續(xù)的解題，細(xì)節(jié)決定成敗，因此閱讀時(shí)應(yīng)不放過任何一個(gè)細(xì)節(jié)，研究表明，學(xué)習(xí)者通過應(yīng)用認(rèn)知策略可練習(xí)控制自己在文本閱讀中的注意，注意的含義是選擇性知覺，也就是說，要突出將要在短時(shí)記憶中存貯和加工的那些特征，教會(huì)學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆?hào)標(biāo)注重點(diǎn)，就能達(dá)到強(qiáng)調(diào)所呈現(xiàn)刺激的區(qū)別性特征，宋朝著名學(xué)者朱熹讀書時(shí)就十分喜歡在書上作各種記號(hào)，初讀、再讀、三讀都用不同顏色的筆圈點(diǎn)勾畫，他認(rèn)為這樣能“漸漸向里尋到那精英處”，本題中有兩個(gè)新概念，一是基準(zhǔn)點(diǎn)，二是基準(zhǔn)變換點(diǎn)，理解基準(zhǔn)變換的關(guān)鍵在于“距離相等”，對(duì)題目的關(guān)鍵字詞畫圈、畫線，真正領(lǐng)會(huì)題目給我們的解題暗示或提示.

3.2 提取策略

研究結(jié)果表明，許多學(xué)習(xí)者似乎都可以獲得詞匯表提取的歸類策略，即便是非常年幼的兒童也可能會(huì)習(xí)得它作為一種策略，可促進(jìn)記憶的各種方法被命名為“元記憶”，僅就元記憶而言，包括表格、思維導(dǎo)圖等一些策略，做為一道以數(shù)軸背景的綜合題，本道試題通過變式可以延伸拓展到求兩點(diǎn)的距離、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（相向或同向）等，本題應(yīng)用到的相關(guān)數(shù)軸的知識(shí)可以進(jìn)行如下整理：

3.3 問題解決中的認(rèn)知策略

當(dāng)學(xué)生解決新問題時(shí)，他們學(xué)習(xí)的不僅是可應(yīng)用于那些問題的規(guī)則，而且是完成問題解決的一般方法，也就是說，他們學(xué)習(xí)了訓(xùn)練控制自身思維過程的方法，這些自我控制能力是思維認(rèn)知策略，在進(jìn)行問題解決中的認(rèn)知策略研究時(shí)，懷特和維特羅克發(fā)現(xiàn)存在幾種認(rèn)知策略，這些策略在性質(zhì)上具有一般性，大概可以應(yīng)用于多種問題.

3.3.1 首先也是最重要的策略，是探尋深層含義的策略

本題中，類比互為相反數(shù)的知識(shí)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)表示在數(shù)軸上時(shí)，他們離開原點(diǎn)的距離相等，我們可以當(dāng)作原點(diǎn)是他們的“基準(zhǔn)點(diǎn)”，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)的“基準(zhǔn)變換點(diǎn)”互為相反數(shù)相加得0，類似的，本題中的“基準(zhǔn)變換點(diǎn)”相加得2.

3.3.2 在問題解決研究中表現(xiàn)出來的第二種一般策略是采用局部目標(biāo)的策略.成功的問題解決者不是一步登天，而是使用逐步的“爬山式”方法

對(duì)于剛進(jìn)入初中的七年級(jí)學(xué)生來說，他們習(xí)慣用具體數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，缺乏用字母表示數(shù)的一般思維，在這個(gè)時(shí)候，我們能做的是在順應(yīng)學(xué)生思維習(xí)慣的基礎(chǔ)上，從具體到抽象緩慢過渡，讓學(xué)生會(huì)從特殊到一般的推廣.

對(duì)于第（3）小題，“若P與Q_4n兩點(diǎn)間的距離是4，直接寫出n的值”，說明“P與Q_4n兩點(diǎn)間的距離”與“n的值”有關(guān)，而與點(diǎn)P，Q的起始位置無關(guān)，此時(shí)，學(xué)生如果采用特殊值法逐個(gè)計(jì)算，也可得n的值，如：假設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為3，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為11.與點(diǎn)P距離4個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)為7和-l，依題意順序不斷變換，得到Q4 =7，Ql2=-1.即n的值為1和3.在羅列Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，…，Q_n的過程中，學(xué)生可直觀發(fā)現(xiàn)當(dāng)奇數(shù)變換時(shí)，點(diǎn)Q向左移動(dòng)2個(gè)單位，求得P與Q_4n兩點(diǎn)間的距離是4，需移動(dòng)向左移動(dòng)4個(gè)12個(gè)單位，完成這些后，再進(jìn)一步用字母代替數(shù)，進(jìn)行一般化思考，就能正確完整的解答了.

3.3.3 問題解決中另一個(gè)有用的策略是方法的靈活性.成功的問題解決者不會(huì)將自己限于一種思維方式中

3.3.4 第四種被識(shí)別出來的策略是部分綜合策略，問題解決者須能將“部分綜合成整體”

當(dāng)點(diǎn)A表示的數(shù)是a，不少學(xué)生定勢(shì)思維把點(diǎn)a默認(rèn)在原點(diǎn)右側(cè)，則點(diǎn)A與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離是以a-1.因此點(diǎn)B在基準(zhǔn)點(diǎn)左側(cè)a-l個(gè)單位，表示的數(shù)是l-（a-1）= 2-a，這樣結(jié)果是正確的，但只考慮了點(diǎn)A的特殊情況（在基準(zhǔn)點(diǎn)右側(cè)）.如果用分類討論的辦法，加上考慮當(dāng)點(diǎn)A在基準(zhǔn)點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)A與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離是l-a，因此點(diǎn)B在基準(zhǔn)點(diǎn)右側(cè)l-a個(gè)單位，表示的數(shù)是l+（l-a）= 2-a，這樣思路就完整了，

當(dāng)把以上部分綜合成整體，通過絕對(duì)值的幾何意義來表示點(diǎn)A， B與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離或者觀察題圖，根據(jù)題意，我們還可以知道，點(diǎn)0是線段MN的中點(diǎn)，也就是基準(zhǔn)點(diǎn)是互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)組成線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式，得a+b/2也可能得結(jié)論.

掌握認(rèn)知策略已成為衡量學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考的根本標(biāo)志，解題教學(xué)的最終目的是“授人以漁”，我們常遇到的一類學(xué)生，上課聽得懂，課后自己獨(dú)立做題時(shí)，卻找不到思路，這樣的學(xué)生就是因?yàn)樯倭恕安呗孕灾R(shí)”，某些簡(jiǎn)單的策略可以很快學(xué)會(huì)，但有的策略需要反復(fù)練習(xí)、應(yīng)用，只有堅(jiān)持不懈，才有收到良好的效果，培養(yǎng)認(rèn)知策略，必然在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.