托勒密定理巧解2018福建質(zhì)檢理數(shù)16題

江智如

1 試題呈現(xiàn)

2018年4月福建省質(zhì)檢卷理科數(shù)學第16題：在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=√5，BD⊥BC，BD= 2BC，則AD的最小值為____.

本小題以平面四邊形為載體，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等，但計算量較大，考生無法選擇合適的三角形及相應(yīng)的邊角關(guān)系，導致失分，屬于難題，根據(jù)已知條件和圖形結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到托勒密（ Ptolemy）定理.

2 廣義托勒密（Ptolemy）定理（或托勒密不等式）

在任意平面凸四邊形ABCD中，均有AB.CD+AD.BC≥ AC.BD，當且僅當AB，C，D四點共圓時，等號成立，它揭示了平面凸四邊形中對邊和對角線間的數(shù)量關(guān)系，廣泛應(yīng)用于解決幾何與代數(shù)的問題.

3 解析過程

4 應(yīng)用案例

5 應(yīng)用感悟

廣義托勒密（ Ptolemy）定理揭示平面凸四邊形中對邊和對角線之間的數(shù)量關(guān)系，在幾何知識中起著獨特的作用，因其兼具代數(shù)的數(shù)量關(guān)系，我們可把定理應(yīng)用于代數(shù)領(lǐng)域，能起到“妙不可言”的作用，這不僅能培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，更能提高學生自主探究的能力，促進學生邏輯推理、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng)的提升.

參考文獻

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