幾何直觀：構(gòu)建“可視化”的數(shù)學(xué)教學(xué)

張曉芳

摘 要：幾何直觀是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一種策略，也是學(xué)生解決問題的一種能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行直觀表征、直觀明理、直觀思考和直觀梳理，從而構(gòu)建“可視化”的數(shù)學(xué)教學(xué)。在這個(gè)過程中，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、直觀推理和直觀概括能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；可視化；數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂“可視化教學(xué)”，就是運(yùn)用圖形、動(dòng)作或者媒體設(shè)備，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容直觀展現(xiàn)出來的一種教學(xué)方式。運(yùn)用“幾何直觀”，能夠構(gòu)建可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題”。換言之，幾何直觀可以將復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于催生學(xué)生的問題解決策略。可以這樣說，幾何直觀不僅存在于“圖形與幾何”教學(xué)中，對(duì)“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都發(fā)揮著重要作用。

一、直觀表征：讓問題觸手可及

德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在其著作《直觀幾何》中認(rèn)為：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生審題常常會(huì)出現(xiàn)偏差，不能抓住題目的關(guān)鍵條件，由此導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)理解出現(xiàn)障礙。波利亞說，“圖形是一種重要的幫手”。借助直觀的圖形，能夠幫助學(xué)生更好地理解題意，客觀地描述數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解。

比如，教學(xué)《用兩步連乘解決實(shí)際問題》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)），有這樣一道思維拓展題：一捆電線，工人師傅第一周用去全長的一半多25米，這時(shí)還剩下45米。這捆電線原來有多少米？在解決這樣的有一定思維難度的問題時(shí)，學(xué)生如果不借助幾何直觀，是很難形成清晰的解決問題思路的。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生用線段畫“示意圖”，還原題目中的條件。（如圖1）

通過線段圖，學(xué)生能夠清晰地看到工人師傅用去全長一半后所剩電線長度，進(jìn)而又會(huì)發(fā)現(xiàn)這一部分電線也就是這捆電線的長度的一半。這時(shí)，對(duì)應(yīng)思想（一半對(duì)應(yīng)70米）在學(xué)生心中悄然建立。幾何直觀，讓數(shù)學(xué)問題變得觸手可及。

法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說，“沒有圖形就沒有思考”；而另一位數(shù)學(xué)家斯蒂恩則這樣說，“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題”。學(xué)生由于年齡和心理特征的影響，對(duì)問題感知程度低，認(rèn)識(shí)模糊、思路不清。借助幾何直觀，學(xué)生能夠?qū)栴}進(jìn)行直觀表征，從而精準(zhǔn)地解決問題。

二、直觀明理：讓本質(zhì)有跡可循

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說，“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”。借助于幾何直觀，不僅可以讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀，而且可以讓抽象的數(shù)學(xué)算法、算理直觀地展現(xiàn)出來。所謂“數(shù)形結(jié)合”，就是要讓學(xué)生借助“形”的直觀來研究“數(shù)”的特征，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)變得有跡可循。教學(xué)中，教師要搭建思維支架，建構(gòu)算理、算法、算律三位一體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)的《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》例題3，幼兒園購進(jìn)12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)。一共有多少個(gè)？教材在引導(dǎo)學(xué)生交流算理時(shí)，主要是讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，先算2箱是多少個(gè)，再算10箱是多少個(gè)。其根本目的是導(dǎo)引出“豎式計(jì)算”，讓學(xué)生理解豎式計(jì)算的算理。但在這個(gè)過程中，學(xué)生的理解是膚淺的。他們不知道為什么需要將12箱分成2箱和10箱，難道這樣“分”就是為了豎式計(jì)算？筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)形結(jié)合”的角度進(jìn)行探究。學(xué)生借助“長方形圖”展開研究，畫出了如圖2所示的直觀示意圖。

有學(xué)生歸納，計(jì)算12個(gè)24，可以先算2個(gè)24，再算6組；也可以先算3個(gè)24，再算4組；還可以先算4個(gè)24，再算3組……這些都是等分的方法。還可以將12個(gè)24分成2個(gè)24和10個(gè)24，或者3個(gè)24和9個(gè)24，或者4個(gè)24和8個(gè)24……這些都是不等分的方法。據(jù)此，學(xué)生經(jīng)過交流、討論認(rèn)為，在不等分方法中，將12個(gè)24拆分成10個(gè)24和2個(gè)24比較簡(jiǎn)便，因?yàn)榭梢缘玫秸當(dāng)?shù)。這樣的學(xué)習(xí)，不僅讓學(xué)生“知其然”，更讓學(xué)生“知其所以然”。學(xué)生“理法通融”，自然就能深刻掌握豎式計(jì)算形式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)如同呼吸一樣自然。

有了幾何直觀，學(xué)生就能把抽象的算法具體化，就能從具體中進(jìn)行抽象。這是一種直觀明理，只有將抽象的算法和直觀的算理聯(lián)通起來，學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué)。基于學(xué)生的認(rèn)知心理，引領(lǐng)學(xué)生通過畫直觀圖表達(dá)自己的見解，同時(shí)也便于彼此相互啟發(fā)，在啟發(fā)中創(chuàng)新。

三、直觀引思：讓思維動(dòng)態(tài)展現(xiàn)

學(xué)生幾何直觀的形成需要一個(gè)過程。在小學(xué)階段，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生依托圖形進(jìn)行導(dǎo)學(xué)、創(chuàng)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。一方面，要利用教材中已有的圖，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、用圖，借助圖，實(shí)現(xiàn)言語與表象的相互轉(zhuǎn)化；另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生自己創(chuàng)圖、構(gòu)圖，讓學(xué)生掌握畫圖方法，習(xí)得畫圖技能。通過圖形直觀，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維動(dòng)態(tài)展現(xiàn)，從而發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深入。

比如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》，筆者引用了經(jīng)典名題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是：把雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳。雞和兔各有多少只？雞兔同籠問題蘊(yùn)含著多種解決問題的策略。在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生用“列舉法”“畫圖法”“假設(shè)法”等解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。在探究的過程中，筆者要求學(xué)生將自己的思維過程用圖表示出來。由此產(chǎn)生了多樣化的有趣的圖，如“增足法”“砍足法”（有點(diǎn)殘忍）等。有一位學(xué)生，別出心裁地畫出了長方形圖，巧妙地解決了問題。他用兩個(gè)長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數(shù)，寬分別表示它們的只數(shù)，用長方形的面積表示雞和兔腳的總只數(shù)。（如圖3）借助下面的圖形直觀，學(xué)生將自身的思維可視化。

由于每只兔的腳數(shù)是每只雞的腳數(shù)的2倍，所以下面的長方形的長是上面長方形的長的2倍。這樣，這位學(xué)生將上面這幅圖又轉(zhuǎn)化成了下面這幅圖，如圖4。借助圖形直觀，讓自身的思維動(dòng)態(tài)展現(xiàn)。

轉(zhuǎn)化后的長方形一目了然，面積是94（94只腳），長是2（2只腳），所以寬就是94÷2=47（只）。這47只腳就是雞和兔的總只數(shù)再加上兔的只數(shù)。所以移動(dòng)過來的長方形的寬，也就是兔的總只數(shù)就是47-35=12只。這樣，雞的總只數(shù)也就是35-12=23只。

正是由于筆者讓學(xué)生畫圖，也由于學(xué)生在畫圖的時(shí)候不拘一格，才誕生了如此美妙的、創(chuàng)新的解決問題的方法。幾何直觀將學(xué)生的內(nèi)隱思維可視化，更為可喜的是，在這位學(xué)生的啟發(fā)下，班上的另一位學(xué)生也用這一幅長方形圖，形成了另一種拼法，也成功解決了問題。在這樣的相互啟發(fā)中，學(xué)生深度體驗(yàn)到幾何直觀的力量。

四、直觀梳理：讓結(jié)構(gòu)形象搭建

幾何直觀的意義在于引導(dǎo)學(xué)生形成各種直觀的概念意象、表象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀梳理，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)形象搭建。常見的梳理方式可以借助集合圖、韋恩圖等。通過直觀梳理，厘清概念的種屬關(guān)系。在這個(gè)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、直觀推理和直觀概括能力。

比如教學(xué)《三角形的面積》和《梯形的面積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)）后，筆者在觸摸一體機(jī)的白板上畫下了梯形，然后拖動(dòng)梯形的上底，將其演變成三角形。這時(shí)，再次啟發(fā)學(xué)生，三角形的面積可以看成什么？學(xué)生若有所悟：當(dāng)梯形上底為0時(shí)，梯形的面積就是三角形的面積；據(jù)此，有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)梯形的上下底相等時(shí)，梯形的面積就是平行四邊形的面積；有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)梯形上下底相等并且有一個(gè)角是直角時(shí)，梯形的面積就是長方形的面積；還有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)梯形的上下底和高相等時(shí)，梯形的面積就是正方形的面積，等等。在幾何直觀中，學(xué)生進(jìn)行了公式梳理，將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)形象地搭建。

借助幾何直觀，小學(xué)平面圖形的面積公式得以溝通、得以統(tǒng)一，這讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的一個(gè)結(jié)構(gòu)性整體。正是借助幾何直觀，引發(fā)了學(xué)生的空間想象力，拓展了學(xué)生的幾何直觀思維空間，培育了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。在這個(gè)過程中，教師有時(shí)要借助多媒體課件，這樣可以動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)圖形的演變過程，拓展學(xué)生的視野，啟迪學(xué)生的思路。

幾何直觀不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種能力。幾何直觀不僅能讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、直觀化，而且能讓學(xué)生的內(nèi)隱思維可視化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特質(zhì)和學(xué)生的心理特點(diǎn)，直觀假設(shè)從抽象到直觀的橋梁，讓學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行直觀表征，對(duì)算理進(jìn)行直觀描述，對(duì)知識(shí)進(jìn)行直觀思考，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行直觀梳理。如此，學(xué)生穿梭于直觀圖形與抽象知識(shí)之間，提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！