錢 前，張愛華

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

機(jī)械臂控制系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合性和復(fù)雜的非線性，系統(tǒng)中存在的不確定干擾和建模誤差會(huì)降低控制性能。傳統(tǒng)的控制方法難以保證控制效果和控制精度[1-2]。滑?？刂仆ㄟ^控制量的切換，使系統(tǒng)狀態(tài)能夠沿著滑模面運(yùn)動(dòng)，具有對(duì)外部擾動(dòng)以及參數(shù)變化的高度適應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)。徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有對(duì)任意不確定非線性函數(shù)逼近的優(yōu)點(diǎn)。因此，具有強(qiáng)魯棒性滑?？刂婆c神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合的方法廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂控制系統(tǒng)[3-10]。

本文提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?，對(duì)滑模控制添加指數(shù)趨近律，并使用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近不確定項(xiàng)。為了更好地削弱因誤差而引起的抖振、提高系統(tǒng)魯棒性，添加了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差自適應(yīng)補(bǔ)償控制項(xiàng)。采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 多關(guān)節(jié)機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

對(duì)于n關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，考慮外界擾動(dòng)和建模誤差影響，并利用拉格朗日方程建立機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型[11-12]：

(1)

(2)

2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?/h2>

2.1 滑?？刂破?/h3>

n關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差表示為：

(3)

設(shè)計(jì)滑模面：

(4)

式中：Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}，λ1,λ2,…,λn>0。

對(duì)式(4)求微分：

(5)

設(shè)計(jì)控制變量：

(6)

為滑模添加指數(shù)趨近律，令：

(7)

式中：η>0;k>0。

根據(jù)等價(jià)控制設(shè)計(jì)控制器：

u(t)=u1+u2

(8)

(9)

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(5)，得到：

(10)

選擇李雅普諾夫函數(shù)：

(11)

對(duì)其求微分，并代入式(10),得到：

(12)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

2.2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器

(13)

(14)

式中：φ(x)=[φ1,φ2,…,φn] 為高斯基函數(shù)的輸出；g(x)=exp(-x)為高斯基函數(shù)；ci、σi為高斯基函數(shù)的中心值和基寬；θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

定義ζ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近存在誤差，則有：

(15)

設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律,為:

(16)

式中：Γ∈Rn×n為調(diào)整系數(shù)。

由于此處存在學(xué)習(xí)誤差，特別當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)較少時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大誤差，故重新設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂坡蔀閡=u1+u2+u3。

(17)

式中：u3為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差的自適應(yīng)補(bǔ)償控制項(xiàng)。

(18)

對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)逼近時(shí),作以下合理假設(shè)。

假設(shè)1 RBF網(wǎng)絡(luò)逼近存在一個(gè)最優(yōu)權(quán)值θ*，使：

ρ(t)=θ*Tφ(x)+ε

(19)

假設(shè)2 RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出是連續(xù)的，并且存在一個(gè)特別小的實(shí)數(shù)ε0，使式(20)成立：

(20)

3 穩(wěn)定性分析

定義理想的逼近權(quán)值為θ*，有:

(21)

選擇RBF網(wǎng)絡(luò)理想逼近誤差,為：

ρ(t)-ρ(x,θ*)=w*

(22)

最佳逼近權(quán)值與實(shí)時(shí)權(quán)值誤差為：

(23)

補(bǔ)償誤差的自適應(yīng)控制器的誤差為：

(24)

選擇李雅普諾夫函數(shù)為：

(25)

求微分可得：

(26)

4 仿真研究

(27)

(28)

(29)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用5個(gè)輸入單元、7個(gè)中間單元、2個(gè)輸出單元的結(jié)構(gòu)。其中：基寬b=2,c=[-3 -2 -1 0 1 2 3] ，自適應(yīng)調(diào)節(jié)矩陣為Γ=diag{5,5}?？刂破髦袇?shù)如下：η=0.8,k=diag(50,50),rw=1。設(shè)定仿真時(shí)間為10 s，仿真步長(zhǎng)為0.01 s，進(jìn)行相關(guān)仿真。

圖1與圖2為無擾動(dòng)的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖2可以看出，系統(tǒng)能以一定速度收斂到平衡點(diǎn)，大大削弱因干擾而引起的抖振，同時(shí)能實(shí)現(xiàn)良好的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。

圖1 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(無外部擾動(dòng))

圖2 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(無外部擾動(dòng))

圖3為無擾動(dòng)的雙關(guān)節(jié)控制力矩圖。從圖3可看出，系統(tǒng)對(duì)關(guān)節(jié)的控制力矩平穩(wěn)，幾乎無抖振，可避免機(jī)器因抖振而損壞。

圖3 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(無外部擾動(dòng))

圖4與圖5為加強(qiáng)外部擾動(dòng)情況下的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖4和圖5可以看出，系統(tǒng)在加強(qiáng)外部擾動(dòng)情況下，仍可保持良好平穩(wěn)的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。

圖4 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(有外部擾動(dòng))

圖6為加強(qiáng)外部擾動(dòng)情況下雙關(guān)節(jié)的控制力矩圖。從圖6可以看出系統(tǒng)對(duì)關(guān)節(jié)的控制力矩仍然保持平穩(wěn)，雖在3.5～4 s之間出現(xiàn)輕微抖振現(xiàn)象，但可通過本文提出的控制方法進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，達(dá)到良好的抑制效果。

圖5 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(有外部擾動(dòng))

圖6 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(有外部擾動(dòng))

5 結(jié)束語

本文提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂扑惴ǎ山鉀Q存在不確定性和系統(tǒng)建模誤差的多關(guān)節(jié)機(jī)械臂跟蹤控制問題。通過自適應(yīng)項(xiàng)改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不確定項(xiàng)ρ(t)的逼近效果，并引入指數(shù)趨近率，改善了控制器的響應(yīng)速度；通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過調(diào)節(jié)參數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB仿真試驗(yàn)表明，當(dāng)外部擾動(dòng)變大時(shí)，控制算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，具有較好穩(wěn)定性與魯棒性。