幾何畫板（GSP）輔助高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的實(shí)踐研究
——以吉林省前郭縣第五中學(xué)為例

（前郭縣第五中學(xué)，吉林前郭131100）

一、研究意義

教育部發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)。”由此可見，數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，更是一種普遍運(yùn)用的技術(shù)。從古至今，數(shù)學(xué)產(chǎn)生的作用都是不可估量的，它的地位也是不可代替的。

而作為高中數(shù)學(xué)選修（文）1-1，（理）2-1第二章重要模塊的圓錐曲線，不管是在高考中還是在生活中，從不缺乏壓軸的分量。圓錐曲線模塊是各省、直轄市高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容，從高考數(shù)學(xué)學(xué)科占比來說，其中存在著考點(diǎn)較多的情況，這些考試所涉及的知識(shí)點(diǎn)覆蓋了離心率、準(zhǔn)線方程等諸多方面。筆者專門就2018年我國各地?cái)?shù)學(xué)高考試卷中圓錐曲線問題考察情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（如表1）。

表1 2018年各省、直轄市高考試卷中圓錐曲線問題考察情況匯總表

考卷全國Ⅲ卷（理數(shù)）分值22分總分150分所占比例14.67%全國Ⅲ卷（文數(shù)）17分150分11.33%北京卷（理數(shù)）北京卷（文數(shù)）天津卷（理數(shù)）天津卷（文數(shù)）19分19分19分19分150分150分150分150分12.67%12.67%12.67%12.67%江蘇卷21分13.13%150分浙江卷15.33%上海卷題目及分值選擇題（11）5分填空題（16）5分解答題（20）12分選擇題（10）5分解答題（20）12分填空題（14）5分解答題（19）14分填空題（12）5分解答題（20）14分選擇題（7）5分解答題（19）14分選擇題（7）5分解答題（19）14分填空題（8）5分解答題（18）16分選擇題（2）4分填空題（17）4分解答題（21）15分填空題（2）4分選擇題（13）5分解答題（20）16分平均值25分20.54分23分160分150分150.77分16.67%13.63%

圖1 2018年各省、直轄市高考數(shù)學(xué)試卷中圓錐曲線問題考察所占分值雷達(dá)圖

從表1中可以清楚地看到，數(shù)學(xué)高考試卷中必定有一部分涉及圓錐曲線的考點(diǎn)，通常情況下都是以解答題形式出現(xiàn)。也有不少地區(qū)高考數(shù)學(xué)試卷中除解答題之外，還會(huì)附帶一道選擇題或是填空題，甚至還會(huì)出現(xiàn)該考點(diǎn)覆蓋三種題型的情況。從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，在滿分為150分的高考卷中（江蘇為160分），涉及圓錐曲線的考點(diǎn)所占分值占較大比重，基本上在11%-16%區(qū)間，這也就意味著，一張150分的卷子中，圓錐曲線大概占17-25分。全國各省、直轄市的高考試卷中圓錐曲線考察平均分?jǐn)?shù)達(dá)到了20.54分，所占比例為13.63%。

2017年，我國教育部在發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中首次提出了數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科的核心素養(yǎng)具體為：一是數(shù)學(xué)抽象；二是邏輯推理；三是數(shù)學(xué)建模；四是直觀想象；五是數(shù)學(xué)運(yùn)算；六是數(shù)據(jù)分析。本次課標(biāo)修訂堅(jiān)持結(jié)合時(shí)代要求并著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。其中，“直觀想象”作為高中課標(biāo)修訂組精心提煉的六大核心素養(yǎng)之一，主要表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，幾何直觀和空間想象能力。

有直觀，可想象，正是幾何畫板軟件自身的特點(diǎn)。幾何畫板軟件的使用既可以達(dá)到為學(xué)生形象地展示動(dòng)態(tài)幾何問題的形成過程，也可以令學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形相結(jié)合的數(shù)學(xué)美，最重要的是可以輔助學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)知識(shí)。

可見，研究此課題是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)迫切需要的，同時(shí)，也推動(dòng)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的力度和進(jìn)度，對(duì)數(shù)學(xué)教育改革中充分運(yùn)用多媒體教學(xué)，及更有效地利用幾何畫板也有著重要的實(shí)際意義。

二、幾何畫板輔助圓錐曲線教學(xué)實(shí)踐研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

研究對(duì)象選擇吉林省松原市前郭縣第五中學(xué)高二年級(jí)的任意四個(gè)平行班級(jí)。將其分為兩個(gè)對(duì)照班和兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班，下文中我們分別標(biāo)記為D班和S班。D班在接觸圓錐曲線的新知識(shí)以及課堂練習(xí)中采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式，即數(shù)學(xué)教師使用靜態(tài)的圖片或板書引入課堂教學(xué)當(dāng)中；S班授課時(shí)采用幾何畫板繪圖軟件，能夠?qū)A錐曲線的構(gòu)造過程動(dòng)態(tài)的顯示出來。我們通過考試測(cè)驗(yàn)以及問卷調(diào)查的方法對(duì)比對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班的學(xué)習(xí)效果。

（二）研究?jī)?nèi)容設(shè)計(jì)

吉林省松原市前郭縣第五中學(xué)作為省級(jí)示范高中，該校引入幾何畫板的時(shí)間較早，在每個(gè)班級(jí)中均配備多媒體教學(xué)設(shè)備，學(xué)生對(duì)什么是幾何畫板已經(jīng)具有一定的認(rèn)識(shí)，且會(huì)簡(jiǎn)單操作及繪圖。四個(gè)班級(jí)的授課教師均相同，時(shí)間跨度方面為兩周，共計(jì)為70課時(shí)。其中選定D班作為對(duì)照班，并在該班級(jí)采用的是傳統(tǒng)教學(xué)模式來進(jìn)行教學(xué)，而S班則為實(shí)驗(yàn)班，在該班的教學(xué)則采用幾何畫板教學(xué)方式。

三、基于案例研究的教學(xué)效果對(duì)比分析

（一）利用定義解題的案例教學(xué)效果對(duì)比分析

在使用不同教學(xué)方法講解利用圓錐曲線定義解題的方法后，給出了關(guān)于圓錐曲線用定義解題方面的考試試題，同時(shí)對(duì)D班和S班進(jìn)行了分班級(jí)、排考場(chǎng)、拉單桌的專門模擬考試。結(jié)果顯示，D班的很多學(xué)生圓錐曲線的測(cè)試卷成績(jī)明顯要低于S班學(xué)生的成績(jī)?？荚嚦煽?jī)?cè)?5分以下，D班人數(shù)明顯多于S班，而95-115分、115-135分、135分以上的三個(gè)區(qū)間當(dāng)中，D班人數(shù)明顯分別少于S班人數(shù)（如圖2）。

圖2 D班與S班圓錐曲線定義解題成績(jī)對(duì)比圖

（二）求標(biāo)準(zhǔn)方程問題的案例教學(xué)效果對(duì)比分析

同理，在實(shí)施不同教學(xué)方法講解求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程問題后，給出了關(guān)于求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程方面的考試試題，同時(shí)對(duì)D班和S班進(jìn)行了分班級(jí)、排考場(chǎng)、拉單桌的專門模擬考試。結(jié)果顯示，D班的很多學(xué)生圓錐曲線的測(cè)試卷成績(jī)明顯要低于S班學(xué)生的成績(jī)。在95分以下，D班人數(shù)明顯多于S班，而95-115分、115-135分、135分以上的三個(gè)區(qū)間當(dāng)中，D班人數(shù)明顯分別少于S班人數(shù)（如圖3）。

圖3 D班與S班求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解題成績(jī)對(duì)比圖

（三）問卷調(diào)查數(shù)據(jù)結(jié)果分析

本次問卷調(diào)查共發(fā)放問卷248份，回收240份，其中，有效問卷240份，有效率達(dá)97.56%，其中，兩個(gè)對(duì)照班級(jí)的學(xué)生共發(fā)放各124份調(diào)查問卷，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生共發(fā)放124份調(diào)查問卷。其中，收回D班有效問卷119份，S班有效問卷121份，兩份調(diào)查問卷的有效度各為：95.97%、97.58%，均符合問卷調(diào)查的效度要求，所以，調(diào)查結(jié)果成立，以此為基礎(chǔ)展開分析研究。

在研究對(duì)象的248人中挑選出有效問卷的240人，對(duì)其圓錐曲線相關(guān)測(cè)試進(jìn)行學(xué)業(yè)成績(jī)的排名，前27%即總排名前65人作為高分組，后27%即總排名后65人作為低分組。

1.不同學(xué)業(yè)成績(jī)學(xué)生在兩種教學(xué)模式上的差異分析

對(duì)于高中生在幾何畫板輔助教學(xué)模式和傳統(tǒng)教學(xué)模式的使用上進(jìn)行差異性檢驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在方差齊性的條件下，不同學(xué)業(yè)成績(jī)的學(xué)生在幾何畫板輔助教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的得分上存在顯著性差異，進(jìn)行事后檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在選擇幾何畫板輔助教學(xué)模式上，優(yōu)等生高于困難生，在選擇傳統(tǒng)教學(xué)模式上困難生高于優(yōu)等生（如表2）。

表2 不同學(xué)業(yè)成績(jī)學(xué)生在幾何畫板教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)模式上的差異結(jié)果（M+SD）

2.兩種教學(xué)模式與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的相關(guān)分析

本研究對(duì)幾何畫板輔助圓錐曲線教學(xué)和傳統(tǒng)圓錐曲線教學(xué)模式對(duì)學(xué)業(yè)成績(jī)的影響進(jìn)行了相關(guān)分析。由表3可知，幾何畫板輔助圓錐曲線教學(xué)與學(xué)業(yè)成績(jī)的高低之間存在顯著的正相關(guān)。說明，幾何畫板的使用越多越主動(dòng)，學(xué)習(xí)成績(jī)就會(huì)越高；反之，不主動(dòng)使用幾何畫板，也就不會(huì)取得好的學(xué)業(yè)成績(jī)（如表3）。

表3 幾何畫板輔助教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)模式與學(xué)業(yè)成績(jī)的相關(guān)結(jié)果（n=240）

四、結(jié)論與建議

將幾何畫板（GSP）引入高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的教學(xué)對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果是有一定作用的。

（一）運(yùn)用GSP可以提高圓錐曲線課堂教學(xué)效率

幾何畫板作為備受認(rèn)可的重要教學(xué)工具，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入該工具之后能把過去較難解釋清楚的圓錐曲線等數(shù)學(xué)概念直觀地展示出來，能使得學(xué)生對(duì)該知識(shí)更加容易理解，進(jìn)而促使課堂教學(xué)效果實(shí)現(xiàn)有效提升。

在S班進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，學(xué)生均非常積極，學(xué)習(xí)興趣也極為濃厚，非常樂于和教師等進(jìn)行互動(dòng)。在D班開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，盡管學(xué)生也都非常認(rèn)真，不過整個(gè)課堂較為沉悶，基本上教師問什么，學(xué)生就答什么，在主動(dòng)性方面較為薄弱，學(xué)習(xí)興趣也無法和S班相比擬。綜合來說，在實(shí)驗(yàn)班S班開展的課堂教學(xué)效果更為理想，相比之下對(duì)照班D班的課題教學(xué)效果則要差一些。

（二）利用GSP創(chuàng)設(shè)情境更能激發(fā)學(xué)生的求知欲

在D班開展課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，涉及新知導(dǎo)入這部分的教學(xué)采用了PPT圖片靜態(tài)展示方式，未能有效吸引學(xué)生注意力，使得學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的掌握并沒有明確，甚至不了解這些內(nèi)容知識(shí)。學(xué)生在思考時(shí)有的也直接提出測(cè)量方法，但由于PPT未有互動(dòng)性，加上授課時(shí)間本身就有限，這就很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

教師在S班開展課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，涉及新知導(dǎo)入這部分內(nèi)容就可借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能進(jìn)行展示，能抓住學(xué)生關(guān)注點(diǎn)，這在奧蘇貝爾提出的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)理論也有相應(yīng)闡述，能有效激活學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。之后教師就可以把構(gòu)成圓錐曲線的圖形進(jìn)行分離，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，學(xué)生據(jù)此就能初步發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中有關(guān)焦點(diǎn)、定點(diǎn)、焦距等的相關(guān)規(guī)律。三種圓錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線因?yàn)槠錁?gòu)成的不同其圖像規(guī)律等也有很大的差別。

綜合以上分析可以得知，幾何畫板在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與激活其學(xué)習(xí)欲望方面的效果非常明顯，進(jìn)而促使教學(xué)質(zhì)量也獲得相應(yīng)提升。

（三）GSP可提高學(xué)生獨(dú)立思考和動(dòng)手實(shí)踐能力

在D班教師也給學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，且還安排其進(jìn)行自主探究，然而在作圖過程中很難避免不出現(xiàn)偏差，這與數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)性特點(diǎn)不符合，即在對(duì)相應(yīng)問題進(jìn)行說明時(shí)，需要借助精準(zhǔn)的圖形來進(jìn)行說明。從學(xué)生這個(gè)層面上而言，其存在這種誤差猜想自然無法獲得有效驗(yàn)證，這對(duì)提升其學(xué)習(xí)質(zhì)量非常不利，這種情況下進(jìn)行的獨(dú)立思考自然無法獲得相應(yīng)效果。

而在S班則不同，教師先是結(jié)合學(xué)生實(shí)際并給其進(jìn)行自主探究以及獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，學(xué)生在這個(gè)過程中則借助幾何畫板來進(jìn)行精確作圖，當(dāng)存在疑惑時(shí)，可在教師的引導(dǎo)下解決這些問題，使得其獨(dú)立思考能力獲得提升。由此能說明的是，在數(shù)學(xué)課堂中利用幾何畫板這個(gè)工具，能有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考以及動(dòng)手實(shí)踐的能力。

（四）GSP輔助教學(xué)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

幾何畫板給學(xué)習(xí)困難的學(xué)生帶來極大幫助，能為其提供進(jìn)行反復(fù)學(xué)習(xí)的重要機(jī)會(huì)。而借助幾何畫板制作出來的文件非常小，便于學(xué)習(xí)者攜帶。當(dāng)學(xué)生需要反復(fù)認(rèn)識(shí)相應(yīng)的概念時(shí)，就可以把文件復(fù)制回家，之后在家里進(jìn)行反復(fù)學(xué)習(xí)，據(jù)此來達(dá)到掌握這些知識(shí)的目的。此外，這還能促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”以及“邏輯推理”能力的培養(yǎng)。

而且新課標(biāo)中提到的“直觀想象”作為高中課標(biāo)修訂組精心提煉的六大核心素養(yǎng)之一，主要表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，幾何直觀和空間想象能力。有直觀、可想象正是幾何畫板軟件自身的特點(diǎn)。幾何畫板軟件的使用既可以達(dá)到為學(xué)生形象地展示動(dòng)態(tài)幾何問題的形成過程，而且可以令學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形相結(jié)合的數(shù)學(xué)美，最重要的是可以輔助學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)知識(shí)。