周震寰, 徐旺, 鄧子辰, 徐新生, 徐成輝

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024;2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072)

隨著材料科學(xué)的發(fā)展,具有多物理場(chǎng)耦合特性的電磁彈性復(fù)合材料已經(jīng)廣泛用于智能器件的開(kāi)發(fā)與制造中[1-2]。該類材料往往由兩相或多相壓電和壓磁材料按照一定的方式復(fù)合而成。由于不同材料相間的失配性,電磁彈性復(fù)合材料在制造和使用過(guò)程中會(huì)不可避免地出現(xiàn)界面裂紋。這些裂紋會(huì)在外荷載作用下產(chǎn)生應(yīng)力集中,進(jìn)而引發(fā)結(jié)構(gòu)失效破壞,造成安全事故。因此,研究電磁彈性復(fù)合材料的界面斷裂問(wèn)題具有重要的理論和實(shí)際意義。

在現(xiàn)有研究中,解析方法往往僅限于求解無(wú)限大或半無(wú)限大電磁彈性材料中的裂紋問(wèn)題,如積分方程方法[3]、Stroh變換方法[4]。對(duì)于有限幾何尺寸的含裂紋電磁彈性材料還主要依賴于數(shù)值方法,如有限元方法[5]、邊界元法[6]和無(wú)網(wǎng)格方法[7]。然而,大部分?jǐn)?shù)值方法僅適用于單相電磁彈性材料,無(wú)法直接應(yīng)用于雙相電磁彈性復(fù)合材料的界面斷裂分析。為解決上述問(wèn)題,本文提出一種適用于電磁彈性復(fù)合材料反平面界面斷裂分析的辛離散有限元方法。該方法將一類基于哈密頓體系的解析方法[8]與傳統(tǒng)有限元方法相結(jié)合,能夠簡(jiǎn)單、高效地獲得相關(guān)斷裂參數(shù),并同時(shí)獲得裂紋尖端附近奇異物理場(chǎng)的顯式表達(dá)式。目前,該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于彈性材料與壓電材料的斷裂分析中[9]。

本文提出的辛離散有限元方法可以分為2步：第一,根據(jù)裂紋尖端的位置將整體結(jié)構(gòu)分為2類區(qū)域,即包含奇異性的近場(chǎng)和無(wú)奇異性的遠(yuǎn)場(chǎng)；第二,通過(guò)在裂紋尖端附近引入解析的辛本征解函數(shù),實(shí)現(xiàn)該區(qū)域內(nèi)的未知量變換,將數(shù)量龐大的節(jié)點(diǎn)未知量轉(zhuǎn)化為少量的辛本征解待定系數(shù)。該方法可以避免傳統(tǒng)有限元方法在計(jì)算斷裂參數(shù)時(shí)的網(wǎng)格敏感性和路徑依賴性,直接提高計(jì)算效率和計(jì)算精度。

1 電磁彈性材料反平面有限元列式

考慮如圖1所示的含界面裂紋的電磁彈性復(fù)合材料。上下層材料分別記為材料1(M1)和材料2(M2),z軸選取為電磁彈性介質(zhì)的極化方向,坐標(biāo)原點(diǎn)位于裂紋尖端。結(jié)構(gòu)承受反平面剪應(yīng)力τ0,平面內(nèi)電位移D0和磁感應(yīng)強(qiáng)度B0。曲線Γ0將整體結(jié)構(gòu)劃分為2類區(qū)域,即近場(chǎng)區(qū)域和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域。

在直角坐標(biāo)系下,電磁彈性復(fù)合材料在反平面荷載作用下的基本方程可以表示為:

本構(gòu)方程

(1)

幾何方程

(2)

平衡方程

(3)

圖1 含裂紋電磁彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)

本文使用的電磁彈性材料單元為八節(jié)點(diǎn)四邊形單元。單元內(nèi)任意點(diǎn)未知量由節(jié)點(diǎn)未知量表示

(4)

式中，Nj是形函數(shù)。單元?jiǎng)菽芸梢员硎緸?/p>

(5)

式中，L(i)為應(yīng)變能密度函數(shù)

(6)

將(1)式、(2)式和(4)式帶入(5)式可得

(7)

根據(jù)最小勢(shì)能原理δΠ(i)=0,可得

(8)

式中，Ke是單元?jiǎng)偠染仃嚒８鶕?jù)節(jié)點(diǎn)編號(hào),組集整體剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)位移向量和整體載荷向量,可得電磁反平面有限元列式為

(9)

式中，K為剛度矩陣,f為荷載向量,下標(biāo)N和F分別代表近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域。

2 電磁彈性材料Ⅲ型界面斷裂辛方法

在近場(chǎng)區(qū)域,定義全狀態(tài)向量為

Ψ(i)={q(i),p(i)}T=

(10)

則電磁彈性復(fù)合材料Ⅲ型界面斷裂問(wèn)題的哈密頓控制方程可以表示為

(11)

式中，H(i)為哈密頓矩陣,見(jiàn)附錄(A-2)。界面連續(xù)條件為

q(1)|θ=0=q(2)|θ=0,R(1)gq(1)|θ=0=R(2)gq(2)|θ=0

(12)

裂紋面邊界條件為

R(1)gq(1)|θ=π=0,R(2)gq(2)|θ=-π=0

(13)

利用分離變量法求解哈密頓方程(11),并結(jié)合(12)式和(13)式得到問(wèn)題的辛本征值和本征解,見(jiàn)附錄(A-3～A-7)。因此,雙材料電磁反平面的位移,電勢(shì)和磁勢(shì)可以表示為

(14)

式中，M是所取的本征解項(xiàng)數(shù),cj, k為待定系數(shù)。

3 辛離散有限元方法

由(14)式,近場(chǎng)區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)未知量可以表示為

uN=Φc

(15)

式中，c={c0, 1,c0, 2,c0, 3,c1, 1, …,c1, 6,c2, 1, …,cM, 6}T為辛展開(kāi)函數(shù)的待定系數(shù)向量

(m=1, 2, …,NΩN;j=1, 2,…, 3M+6),NΩN為近場(chǎng)區(qū)域內(nèi)總節(jié)點(diǎn)數(shù),(rm,θm)是第m個(gè)節(jié)點(diǎn)的極坐標(biāo)。將(15)式代入(9)式,則電磁反平面斷裂問(wèn)題的辛離散有限元表達(dá)式為

(16)

4 強(qiáng)度因子和能量釋放率

由(1)式和辛本征解可知,在裂紋尖端(r=0)[10],廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子可以表示為

(17)

式中,K3,KD和KB分別為應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子和磁感應(yīng)強(qiáng)度因子,是由反平面剪應(yīng)力τ0,平面內(nèi)電位移D0和磁感應(yīng)強(qiáng)度B0耦合作用的結(jié)果。能量釋放率為

(18)

5 數(shù)值算例

為驗(yàn)證本文提出方法的正確性與有效性,數(shù)值算例計(jì)算了3種典型裂紋對(duì)應(yīng)的斷裂參數(shù)。本節(jié)中所有計(jì)算數(shù)據(jù)均采用無(wú)量綱形式[10],涉及的材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

圖2 含邊裂紋電磁彈性矩陣板

5.1 算例1

表2 不同高度和寬度對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度因子和能量釋放率

5.2 算例2

圖3為1個(gè)含有平行裂紋的電磁彈性材料矩形板,其裂紋長(zhǎng)度分別為2a1和2a2。該板兩端受到均布荷載τ0=1,D0=1和B0=1作用。令W=1,H/W=0.5,H1/W=0.5,表3給出了不同裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的裂紋尖端A處的強(qiáng)度因子與能量釋放率。從表中數(shù)據(jù)可以看出,對(duì)于給定的a2,各強(qiáng)度因子與能量釋放率總是隨著的a1增加而增大;而對(duì)于給定的a1,斷裂參數(shù)表現(xiàn)出相反的變化趨勢(shì)。表4給出了裂紋長(zhǎng)度相同時(shí)(a1=a2)斷裂參數(shù)隨H/W的變化規(guī)律。從表中可以看到,各斷裂參數(shù)隨著H/W單調(diào)變化,并逐漸趨近于某一固定值。該現(xiàn)象可以通過(guò)圣

維南原理解釋,當(dāng)H/W增加到一定值時(shí),邊緣效應(yīng)不再對(duì)裂紋尖端物理場(chǎng)分布產(chǎn)生影響。

圖3 含2條平行裂紋電磁矩陣板

a2/Wa1/W0.20.40.50.60.70.80.2K*30.977 41.068 01.131 51.216 71.344 61.570 4K*D0.979 41.070 11.133 61.218 61.346 11.571 3K*B1.055 41.148 61.210 91.288 81.401 61.606 3G0.342 90.818 91.148 91.594 12.271 23.540 60.5K*30.810 20.946 11.040 71.155 91.308 61.552 6K*D0.817 10.951 41.044 91.159 11.310 81.553 9K*B1.068 71.145 21.201 61.277 71.392 31.600 6G0.235 70.642 60.971 91.438 72.151 23.460 90.8K*30.694 90.818 90.916 71.047 01.226 61.504 1K*D0.705 10.827 70.924 41.053 11.231 01.506 6K*B1.076 91.151 31.204 91.277 51.389 61.597 5G0.173 40.481 60.754 31.180 61.890 43.248 0

表4 裂紋尖端A的強(qiáng)度因子和能量釋放率(a1=a2)

5.3 算例3

考慮如圖4所示的1個(gè)含有折線裂紋的電磁彈性材料矩形板。裂紋與水平方向的偏離角度分別為θA和θB。令W=H,a=0.4H,τ0=1,D0=1和B0=1,表5和表6分別給出了的裂紋尖端A和B處的強(qiáng)度因子和能量釋放率隨θA和θB的變化規(guī)律。從表5中可以看出,所有斷裂參數(shù)隨θA的增大均表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)θA=0時(shí),應(yīng)力、電位移強(qiáng)度因子和能量釋放率達(dá)到最大值。表6表現(xiàn)出與表5相似的變化趨勢(shì)。從上述現(xiàn)象可以看出,合理控制外部電磁場(chǎng)可以有效改變電磁彈性材料裂紋尖端的能量釋放率,從而阻滯裂紋擴(kuò)展。

圖4 含有折線裂紋電磁矩形板

θBθA-π/4-π/100π/10π/4-π/6K*30.757 30.968 51.017 10.982 10.789 0K*D0.771 90.979 51.025 10.987 10.788 9K*B1.301 41.383 71.323 81.171 80.781 7G0.412 00.673 60.742 80.692 50.446 90K*30.798 21.019 51.073 61.043 00.855 3K*D0.805 41.022 61.073 61.039 90.847 4K*B1.061 61.135 91.073 70.926 10.554 5G0.457 50.746 10.827 40.780 80.524 9π/6K*30.788 71.017 91.076 81.050 80.869 8K*D0.788 71.013 41.069 11.040 10.854 8K*B0.784 00.853 30.791 30.650 50.300 9G0.446 60.743 60.832 10.792 30.542 7

表6 裂紋尖端B強(qiáng)度因子和能量釋放率隨θA的變化

6 結(jié) 論

本文將辛離散有限元方法成功應(yīng)用于電磁彈性復(fù)合材料在反平面荷載作用下的界面斷裂分析中。該方法將傳統(tǒng)有限元方法與哈密頓體系辛方法有機(jī)結(jié)合,可以直接計(jì)算出高精度的應(yīng)力、電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度因子和能量釋放率,并同時(shí)獲得裂紋尖端附近區(qū)域各物理場(chǎng)的顯式表達(dá)式。相比其他數(shù)值方法,該方法有三方面優(yōu)勢(shì):①在裂紋尖端奇異區(qū)域內(nèi)引入具有辛展開(kāi)形式的解析解,將該區(qū)域內(nèi)傳統(tǒng)有限元對(duì)應(yīng)的大量節(jié)點(diǎn)未知量轉(zhuǎn)化為少量辛本征解待定系數(shù),解決了傳統(tǒng)有限元方法中斷裂分析的網(wǎng)格敏感性問(wèn)題,并同時(shí)大幅提高了計(jì)算效率;②引入的辛本征解函數(shù)能夠直接表征裂紋尖端的奇異性,避免了傳統(tǒng)有限元方法中斷裂參數(shù)計(jì)算的路徑依賴性問(wèn)題,直接提高了應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算精度;③無(wú)需額外引進(jìn)新的單元以及后處理程序,可以直接獲得裂紋尖端附近奇異物理場(chǎng)的顯式表達(dá)式,有利于該類結(jié)構(gòu)的前期優(yōu)化設(shè)計(jì)與后期安全評(píng)估。

附錄A

(A-1)

(A-2)

式中

(A-3)

(A-4)

(A-5)

(A-6)

(A-7)

式中，φj=rμjsin(μjθ),φj=rμjcos(μjθ);μj=j/2是辛本征值;ρ=(R(2))-1R(1),n=1, 2, 3, …。