袁媛

[摘? 要] 三角形的內(nèi)角和是三角形的重要性質(zhì)，其對幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)極為重要. “三角形的內(nèi)角和”的課堂教學(xué)需要處理好起點、生成點、發(fā)展點和提升點四個關(guān)鍵點，文章將結(jié)合新課標(biāo)理念對其加以探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 三角形內(nèi)角和;理性認(rèn)知;探究;證明;例題

“三角形的內(nèi)角和”是蘇教版七年級下冊的重要教學(xué)內(nèi)容，該內(nèi)容探討的是三角形的一個重要性質(zhì)，對三角形內(nèi)角之間的關(guān)系有著深刻的揭示，也是后續(xù)多邊形內(nèi)角、三角形外角性質(zhì)和相關(guān)角度計算與證明的基礎(chǔ)，因此屬于基礎(chǔ)性極強的內(nèi)容，下面對其展開教學(xué)探討.

以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)作為教學(xué)的

起點

教學(xué)的起點設(shè)定關(guān)系到整個教學(xué)過程的成功與否，因此應(yīng)該慎重選取教學(xué)起點，幫助學(xué)生順利完成課堂過渡. 一般教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知水平和已有知識經(jīng)驗作為教學(xué)的基礎(chǔ)，采用“溫故知新”的方式開展課堂引入教學(xué).

學(xué)生在小學(xué)階段通過直觀感受已經(jīng)了解到三角形的內(nèi)角和為180°，而初中階段學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是幫助學(xué)生完成感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的過渡，因此使學(xué)生掌握演繹推理的思路和方法才是教學(xué)的重點. 教師在教學(xué)伊始就需要理清幾個重要的問題，然后基于問題來設(shè)計教學(xué)，即學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，本節(jié)課的教學(xué)重點，如何引導(dǎo)學(xué)生遞進(jìn)思考.

而在實際教學(xué)中可以采用設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從而聯(lián)系舊知探索新知，可設(shè)置如下問題串.

[圖1]

問題1：圖1所示是一個一般的三角形，大家知道它的內(nèi)角和是多少度嗎？

問題2：大家是如何知道的，可以采用哪些方法說明？

問題3：大家小組討論，是否有更為直觀的方式來證明？

在設(shè)問引入階段需要給學(xué)生充分的時間，讓學(xué)生獨立思考，交流探討，充分調(diào)動知識經(jīng)驗來探索三角形內(nèi)角和，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂教學(xué)向著積極有利的方向發(fā)展.

以多樣的探究活動作為教學(xué)的

生成點

“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)的難點和重點是性質(zhì)定理的論證過程，該過程中所滲透的方法和思路對于整個幾何內(nèi)容的教學(xué)有著重要的啟示作用. 一般對于幾何性質(zhì)定理的教學(xué)采用探究式的教學(xué)方式，一般探究的過程中需要借助多樣的探究活動，讓學(xué)生通過體驗探究的過程來完成知識生成，這也是教學(xué)的生成點.

對于三角形的內(nèi)角和的探究論證，一般采用拼圖的方式，該方式的優(yōu)勢在于直觀簡潔，容易操作，因此在教學(xué)中可以設(shè)計多樣的拼圖活動，使學(xué)生充分參與，自我感知. 例如可以設(shè)置如下拼圖活動：請大家準(zhǔn)備一個三角形紙板，將三角形的三個內(nèi)角撕下來，嘗試采用拼圖的方式來證明三角形的內(nèi)角和等于180°. 拼圖的過程學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)體驗過，而中學(xué)教學(xué)中需要使學(xué)生關(guān)注幾個問題點：①學(xué)生拼合的方式可能略有不同，拼圖的總體思路是什么？（使三個內(nèi)角拼接在同一點上，形成一條直線）②拼圖過程的本質(zhì)是什么，主要目的是什么？（拼圖過程的本質(zhì)就是圖形變換，主要目的就是用三個內(nèi)角組成一個平角，實現(xiàn)未知角度的整合）

拼圖過程是相對直觀的教學(xué)活動，為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解，有必要結(jié)合拼圖活動來理解整個過程，完成感性思維向理性思維的初步過渡，為后續(xù)的幾何證明打基礎(chǔ). 如設(shè)置如下活動：將△ABC的三個內(nèi)角撕下來后，可以采用如圖2的兩種方式將三角形的三個頂點拼接在同一處，請大家根據(jù)角的邊線繪制虛線，并思考虛線與∠B形成的幾個角分別對應(yīng)原三角形中的哪個內(nèi)角，進(jìn)一步思考所繪制的虛線是否與原三角形的邊存在平行關(guān)系.

學(xué)生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)拼圖過程中角的對應(yīng)關(guān)系，以及所繪制虛線BF與三角形的邊AC之間是平行關(guān)系，從而深刻理解拼圖的過程實際上就是等角轉(zhuǎn)化的過程，即實現(xiàn)三個內(nèi)角平移到三角形所在平面的同一頂點處，從而得到平角. 上述活動中主要涉及兩大內(nèi)容：一是移動拼圖，二是作輔助線. 前者是后續(xù)圖形變換的教學(xué)基礎(chǔ)，后者讓學(xué)生初步體驗了構(gòu)造輔助線的過程，體會到輔助線參與的轉(zhuǎn)化策略.

以嚴(yán)密的幾何證明作為教學(xué)的

發(fā)展點

數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，讓學(xué)生形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維，因此教學(xué)中需要設(shè)置相應(yīng)的環(huán)節(jié)使學(xué)生完成感性認(rèn)識到理性思考的過渡. 在知識的發(fā)展階段需要銜接之前的拼圖活動，從拼圖中抽象出幾何模型，通過嚴(yán)密的幾何證明來強化學(xué)生認(rèn)知，形成具有科學(xué)性的結(jié)論，這是教學(xué)的發(fā)展點.

實際教學(xué)中利用拼圖模型來抽象出幾何模型，讓學(xué)生思考證明思路，可以設(shè)置如下活動：圖3所示是某位學(xué)生將三角形三個內(nèi)角拼接在一起的過程，請根據(jù)該過程的證明思路完成幾何說理證明. 在實際教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照幾何構(gòu)造、說理的方式來進(jìn)行，具體如下.

[圖3]

已知：如圖3所示，∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內(nèi)角. 求證：∠A+∠B+∠C=180°.

證明：延長BC至點D，過△ABC的頂點C作邊AB的平行線EC，因為EC∥AB，所以∠1=∠A（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）. 因為∠C+∠1+∠2=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，證畢.

根據(jù)上述幾何證明過程，教學(xué)引導(dǎo)需要分三步進(jìn)行：第一步引導(dǎo)學(xué)生按照拼圖思路繪制輔助線，即繪制與邊AB相平行的直線;第二步引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖中的∠1和∠A，∠2和∠B分別是同旁內(nèi)角和同位角中的哪種關(guān)系;第三步引導(dǎo)學(xué)生利用兩線平行的性質(zhì)定理來構(gòu)建相應(yīng)的等角關(guān)系，逐步完成等角代換證明.

為培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和多樣性，在完成上述引導(dǎo)證明后，還可以讓學(xué)生從不同的角度、不同的方位思考證明三角形的內(nèi)角和為180°的方法. 如給出圖4所示的拼圖示意圖，讓學(xué)生通過自我思考，小組討論的方式來完成圖中的說理證明，教師要適時對學(xué)生的說理進(jìn)行糾正，提升學(xué)生的語言表述能力.

[圖4]

上述是從幾何證明角度來完成知識發(fā)展，在該過程中完成了文字語言和幾何語言之間轉(zhuǎn)化，這是需要學(xué)生在初中階段掌握的基本技能，對于學(xué)生今后的推理證明學(xué)習(xí)有著極大的幫助，因此在教學(xué)中教師需要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，有效把握學(xué)生的思維沖突來推進(jìn)課堂教學(xué).

以開放的例題變式作為能力

的提升點

“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中主要有兩大任務(wù)：一是使學(xué)生掌握相應(yīng)的性質(zhì)，學(xué)習(xí)證明過程，二是使學(xué)生掌握性質(zhì)的應(yīng)用方法. 對于后者需要以開放的例題來培養(yǎng)，這也是教學(xué)的能力提升點. 教學(xué)中需要適應(yīng)學(xué)生的個性需要設(shè)置多變的例題，充分調(diào)動學(xué)生思維的變通性和創(chuàng)造性來加以解決.

問題設(shè)置需要從兩個角度進(jìn)行：一是引導(dǎo)學(xué)生直接利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)來完成未知角的求解;二是從知識聯(lián)系性出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相關(guān)知識，應(yīng)用性質(zhì)定理分析問題. 基于上述設(shè)計原則，設(shè)計如下兩道例題.

例1如圖5所示，在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠C=45°，若AD是△ABC的角平分線，試求∠ADB的大小.

[圖5]

例題涉及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，教學(xué)時首先需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAC的的大小，然后引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)推理出∠ADC的大小，最后由平角的意義來獲得答案. 在例題求解結(jié)束后，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考整個問題突破的思路，幫助學(xué)生形成新的解題策略.

例2已知△ABC中∠A ∶ ∠B ∶ ∠C=1 ∶ 2 ∶ 3，試求∠A、∠B、∠C的大小，并判斷△ABC的形狀.

對于該例題，教學(xué)中首先需要教師引導(dǎo)學(xué)生思考比例分配問題的求法，即通過設(shè)元的方法將三個角的大小表示出來，然后引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)構(gòu)建相應(yīng)的方程來求解. 該例題很好地體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，因此教學(xué)結(jié)束后可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方程思想解析問題的策略，即“設(shè)未知量→分析數(shù)量關(guān)系→建立方程→解方程求答案”.

考慮到方程思想解析問題的過程較為抽象，教學(xué)時需要教師結(jié)合具體的問題，例如對于上述試題，設(shè)∠A=x，則對應(yīng)的有∠B=2x，∠C=3x;分析數(shù)量關(guān)系階段引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，即三個內(nèi)角之和為180°;建立方程階段只需要引導(dǎo)學(xué)生將三個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系方程化即可，即x+2x+3x=180°;最后引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照解方程的步驟求解.

利用開放的例題可以有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在例題教學(xué)時需要注重分析方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生掌握文字語言提煉、分段說理推斷、逐條演繹說理的方法，逐步使學(xué)生掌握相應(yīng)的解題策略，形成良好的解析思維.

總之，“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)需要在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念指導(dǎo)下進(jìn)行，準(zhǔn)確把握課堂教學(xué)的起點、生成點、發(fā)展點和提升點，做好課堂教學(xué)引導(dǎo)，尊重學(xué)生的主體地位，使學(xué)生充分參與探究過程，使學(xué)生掌握相應(yīng)知識的同時獲得能力的提升.