楊姬

[摘? ?要]折疊問題的類型多樣.其中以求解點(diǎn)坐標(biāo)、線段長和圖形面積最為常見.此類問題題型新穎、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)獨(dú)特，能夠全面考查學(xué)生的空間幾何觀念和幾何知識(shí)綜合應(yīng)用的能力.圖形折疊過程中存在一些幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)是問題突破的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞]圖形;折疊;分類

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0007-02

圖形折疊是圖形變化的一種重要方式，圖形折疊的動(dòng)態(tài)過程中隱含著眾多的幾何性質(zhì)和變化規(guī)律，這些性質(zhì)和規(guī)律是幾何問題分析的關(guān)鍵.在近幾年的中考中出現(xiàn)了大量以圖形折疊為背景，求解幾何元素的問題，涉及點(diǎn)坐標(biāo)、線段長和圖形面積等.筆者下面對(duì)其歸類探析.

一、圖形折疊中的點(diǎn)坐標(biāo)確定

求解點(diǎn)的坐標(biāo)必然需要將圖形折疊與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合，這也是圖形折疊重要的綜合形式之一.坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與幾何線段之間有著緊密的關(guān)聯(lián)性，因此解題的關(guān)鍵是基于這種關(guān)聯(lián)建立已知與未知之間的聯(lián)系.該類折疊問題不僅可以考查學(xué)生靈活運(yùn)用折疊性質(zhì)的能力，還能考查學(xué)生的推理、計(jì)算能力.

[例1]如圖1所示，矩形AOCD位于平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將其沿著直線AE進(jìn)行折疊（已知點(diǎn)E位于邊CD上），若折疊后矩形的頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處.如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8），試求點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析：本題將圖形折疊與直角坐標(biāo)系相結(jié)合.求解點(diǎn)的坐標(biāo)除了需要利用圖形折疊的性質(zhì)，還需要利用三角形的一些性質(zhì).根據(jù)題意可知，△ADE與△AFE互為全等三角形，結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)可知AD=OC=AF=10，DE=EF.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知OA=CD=8，在Rt△AOF中使用勾股定理可得OF2+OA2=AF2，解得OF=6，則CF=4.求點(diǎn)E的坐標(biāo)實(shí)際上就是求線段CE的長.設(shè)CE=x，則DE=8-x，在Rt△EFC中使用勾股定理，可得CF2+CE2=EF2，即42+x2=（8-x）2，從而可解得x=3，即CE的長為3，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3）.

評(píng)注：上述為圖形折疊中的點(diǎn)坐標(biāo)分析題，實(shí)際上求解坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)就是求幾何線段長，解題的關(guān)鍵是將圖形折疊的性質(zhì)與坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合，并利用相關(guān)的幾何性質(zhì)構(gòu)建求解未知線段的模型.而上述在求解時(shí)充分利用了圖形折疊中隱含的全等三角形，結(jié)合勾股定理構(gòu)建了求解關(guān)鍵線段的代數(shù)方程.

二、圖形折疊中的線段長度求值

圖形折疊的過程中含有眾多的幾何“變化”元素，但折疊過程中對(duì)應(yīng)線段長度相等是其隱含的“不變”規(guī)律，也是解題突破的關(guān)鍵性質(zhì)之一.分析圖形折疊中的線段長度，前提是需要充分了解圖形折疊的過程，然后在此基礎(chǔ)上利用圖形折疊的性質(zhì)來分析圖形折疊前后的線段關(guān)系，逐步厘清求線段長的思路.

[例2]如圖2所示，△ABC為直角三角形，∠C=[90°]，∠A=[30°]，BC=1，點(diǎn)D位于邊AC上，若將△ADB沿著直線BD進(jìn)行折疊，折疊后點(diǎn)A落在三角形之外的點(diǎn)E處，且DE⊥AD，設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，試求線段DE的長.

解析：本題為圖形折疊中的線段長分析題.圖形折疊的過程是以BD為折痕將△ADB翻折到△EDB的位置，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知△ADB與△EDB互為全等三角形，則DE=AD，∠E=∠A=[30°].由于∠C=[90°]，DE⊥AD，則BC∥DE，進(jìn)而可得∠CBF=∠E=[30°]，題干給出了△ABC的內(nèi)角度數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)可得CF= [33]，AC=[3]，tan∠E=[DFDE=33] .設(shè)DF=x，則AD=DE=[3]x，AC= CF+FD+AD = [33] +x+[3]x = [3].解得x=1-[ 33]，所以DE=[3]x=[3]-1.

評(píng)注：上題在求解圖形折疊中的線段長時(shí)充分利用了折疊的特性，即折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等.而在求未知線段時(shí)巧妙利用了直角三角形中的三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，最后結(jié)合線段之間的長度關(guān)系構(gòu)建了相應(yīng)的代數(shù)方程，從而達(dá)到了高效求解的目的.整個(gè)解題思路采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，利用直觀的圖像來輔助分析，通過代數(shù)計(jì)算完成線段求值.

三、圖形折疊中的幾何面積求解

圖形的面積是數(shù)學(xué)幾何重要的研究內(nèi)容，也是圖形折疊中常見的問題類型.分析圖形折疊中的面積，除了需要熟識(shí)相關(guān)圖形的面積公式，還需要把握圖形折疊的實(shí)質(zhì)，利用折疊特性來輔助思考，靈活運(yùn)用圖形的面積公式來對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

[例3]如圖3所示的四邊形ABCD為一矩形，現(xiàn)按照圖中所示的方式對(duì)其進(jìn)行折疊，使四邊形的頂點(diǎn)A和B分別落在點(diǎn)[A′]和[B′]處，其中[B′]與頂點(diǎn)D相重合，折痕為EF.設(shè)AB和BC的長分別為3 cm和5 cm，試求重疊部分△DEF的面積.

解析：本題求解圖形折疊后幾何三角形的面積，求解△DEF的面積有兩種思路.一是直接利用三角形的面積;二是通過圖形割補(bǔ)的方式來轉(zhuǎn)化.如果直接求解很難獲得底邊BD的長，則可以考慮利用圖形割補(bǔ)的方式來獲得，即△DEF的面積等于梯形[A′]DFE的面積減去△[A′]ED的面積，后續(xù)只需要分別求梯形[A′]DFE和△[A′]ED的面積即可.

根據(jù)圖形折疊的特性可知，梯形[A′]DFE與梯形ABFE全等，AE=[A′]E，[A′]D=AB.設(shè)AE=[A′]E=x，則DE=5-x.在Rt△[A′]ED中利用勾股定理可得ED2=[A′]E2+[A′]D2，即（5-x）2=x2+32，解得x= [85] .由于點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于折痕EF對(duì)稱，所以線段EF經(jīng)過了對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則梯形ABFE的面積為矩形ABCD面積的一半，進(jìn)一步分析可知△[A′]ED與△CFD全等.其中S梯形ABFE= [12×3×5=152] （cm2），S△CFD= [12×3×85=125? ]（cm2）， 所以S△DEF = 5.1（cm2） .

評(píng)注：上述求解圖形折疊中幾何三角形的面積時(shí)采用了圖形割補(bǔ)的方式，從而實(shí)現(xiàn)問題的簡單轉(zhuǎn)化.根據(jù)面積公式可知，實(shí)際上求解幾何圖形的面積的關(guān)鍵依然是分析線段長，同樣需要充分利用圖形折疊的特性來構(gòu)建線段之間的聯(lián)系，對(duì)于一些較為復(fù)雜的線段長，則可以通過設(shè)未知，建立方程的方式來求解.

總之，求解折疊問題首先需要準(zhǔn)確把握圖形折疊的實(shí)質(zhì)，然后綜合應(yīng)用常規(guī)的幾何性質(zhì)和折疊特性，建立折疊前后圖形之間的性質(zhì)聯(lián)系，最后合理利用幾何定理建立求解線段長的代數(shù)模型，實(shí)現(xiàn)問題的簡單解答.另外，解答折疊問題需要學(xué)生具備一定的空間想象和邏輯推理能力，因此，在實(shí)際解題時(shí)需要教師采用合理的教學(xué)方式，全方位展示圖形折疊的過程.同時(shí)，設(shè)置引導(dǎo)性的問題，促進(jìn)學(xué)生積極思考、探索，進(jìn)行推理判斷，使學(xué)生體驗(yàn)圖形折疊的魅力，掌握折疊問題的思路.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 徐浩.用“心”聚“折”，折出精彩：“利用勾股定理解決折疊問題”的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（18）：12-14.

[2]? 謝良毅.知識(shí)綜合巧運(yùn)用，一題多解闊思維：以一道初中平面幾何題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（Z3）：14-15.

[3]? 白雪峰，張彥伶.聚焦中考折疊問題 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：以中考試題中的一類折疊問題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（14）：78-80.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）