■江蘇省宿豫中學 丁先寶

二項式定理是中學數(shù)學不可或缺的組成部分，它是初中學習的多項式乘法的延續(xù)，是排列組合的直接應用，也與概率理論中的二項分布有著密切關系，是高考熱點隨機變量及其分布的基礎。掌握好二項式定理既可以為學習多項式的變形起到很好的作用，也可以為進一步學習概率統(tǒng)計做好必要的知識儲備。二項式定理是高考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題、填空題，偶爾出現(xiàn)在解答題中。一般考查二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、某項或者項數(shù)等，甚至有時還會與其他數(shù)學知識綜合考查。整體難度不大，屬于完全可以掌握的知識。如果有好的解題方法和意識，做到基礎知識扎實，重難點明確清晰，規(guī)避易錯問題，就會收到事半功倍的效果!

易錯題型1：混淆二項式系數(shù)和項的系數(shù)

在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，須注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。二項式系數(shù)是二項展開式中各項所含有的組合數(shù)，即，而項的系數(shù)是各項的字母變量的系數(shù)，這兩個概念是既有區(qū)別又有聯(lián)系的，如果在解題中不注意區(qū)分，就很容易出錯。

例1的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則n 的取值所構成的集合為____。

錯解分析：由已知條件可得，化簡可得n2-5n+2=0，此方程無整數(shù)解，故沒有滿足條件的n 值。

上述解法顯然是審題不清，沒有弄清二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別。在解此類問題時，關鍵要抓住二項式(a+b)n的展開式的通項是指展開式的第r+1項，因此展開式中第1，2，3，…，n 項的二項式系數(shù)分別是

正解：由題設，得，即n2-9n+8=0，解得n=8，n=1(舍去)。故答案為{8}。

易錯題型2：混淆二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項

例2已知的展開式中，第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比為10∶1，求展開式中系數(shù)最大的項。

錯解分析：由題意知，第五項系數(shù)為24，第三項的系數(shù)為則有

上述解法顯然是錯誤地認為展開式中的二項式系數(shù)最大項就是展開式中系數(shù)的最大項，混淆了兩個概念。

正解：由題意知，第五項系數(shù)為第三項的系數(shù)為則有所以n=8。

設展開式中的第r 項，第r+1項，第r+2項的系數(shù)分別為2r+1，若第r+1項的系數(shù)最大，則解得5≤r≤6，

易錯題型3：二項式(a+b)n的展開式的通項中，因a 與b 的順序顛倒而出錯

例3若的展開式中，第五項是常數(shù)，則中間項是第幾項?

錯解分析：的展開式中的第五項是由第五項是常數(shù)，得解得所以題目無解。

上述解法顯然是顛倒了(a+b)n的展開式中a 與b 的順序，所以項也隨之發(fā)生變化，最終導致出錯。

正解的展開式中的第五項是由第五項是常數(shù)，得即n=16，則展開式中的中間項是第9項。

易錯題型4：利用賦值法求解時出錯

二項式定理的一個典型應用——賦值法，在使用賦值法時，令a，b 等于多少，應就具體問題而定，有時取“1”，有時取“-1”，或其他值。

例4已知(1-2x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求a1+a2+…+a100的值。

錯解分析：由二項展開式系數(shù)的性質(zhì)可知，(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n。顯然，a0就是展開式中的=1，因此a1+a2+…+a100的值為2n-1。

上述解答顯然忽略了a0，a1，a2，…，a100是項的系數(shù)，而不是二項式系數(shù)，從而導致錯誤。

正解：由二項展開式的結構特征可知a0，a1，a2，…，a100是項的系數(shù)，而不是二項式系數(shù)。觀察式子特征，如果x=1，則等式右邊為a0+a1+a2+…+a100，出現(xiàn)所求式子的形式，而a0就是展開式中的=1，因此(1-2×1)100=a0+a1+a2+…+a100，即1=1+a1+a2+…+a100，所以a1+a2+…+a100=0。

易錯題型5：利用逆向思維解決二項式時出錯

例5在多項式的展開式中，含x6的項的系數(shù)為____。

錯解分析：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1，所以x6項的系數(shù)為0。

上述解法顯然忽視了n 的范圍，得出的結果是在n 不等于6 的前提下得到的，而這個條件并不是已知的。

正解：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1。

所以 當n ≠6 時，x6項的系數(shù)為0；當n=6時，x6項的系數(shù)為1。

二項式定理的學習是很有樂趣的，學生不僅能從中感受到對初中知識的延伸和拓展，也能感受到類似“楊輝三角”的數(shù)學美。高考中，二項式定理的試題難度并不高，但是因為“會而不對，對而不全”，而導致學生數(shù)學成績提高受到限制，這也成為學生和老師揮之不去的痛，所以每個人都應該想辦法解決這個問題。平時學習中，對二項式定理的基礎知識和易錯、易混的典型問題給予足夠的重視，在易錯點上給予更多的關注，以及針對性的訓練，那么就一定能做到“會而對，對而全”。