■江蘇省宜興第一中學(xué) 吳繼敏

計(jì)數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)中較難學(xué)的內(nèi)容之一。它與其他知識(shí)聯(lián)系較少，內(nèi)容比較抽象。解決計(jì)數(shù)問題對(duì)同學(xué)們的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，同學(xué)們解決計(jì)數(shù)問題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤往往具有普遍性，因此，分析同學(xué)們解題中常犯的錯(cuò)誤，可以充分暴露其錯(cuò)誤的思維過程，使同學(xué)們認(rèn)識(shí)到出錯(cuò)的原因，可使他們?cè)诒容^中對(duì)正確的思維過程留下更深刻的印象，從而有效地提高解題準(zhǔn)確率。

一、“加法”、“乘法”原理混淆

兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)。如果完成一件事有n 類方法，這n 類方法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事有n 個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理。

例1(2019年西安五校聯(lián)考)50件產(chǎn)品中有4件次品，從中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有____種。

錯(cuò)解：有

錯(cuò)因：分類與分步概念不清，即加法原理與乘法原理混淆。

正解：分為二類。第一類，先取3 件次品，再取2件正品，其抽法有(分兩步，用乘法原理種；第二類，取4件次品的抽法有種。最后由加法原理知不同的抽法共有

二、“排列”、“組合”概念混淆

界定排列與組合問題的唯一標(biāo)準(zhǔn)是“順序”，“有序”是排列問題，“無序”是組合問題。在解答排列與組合并存的問題時(shí)，一般采用先組合后排列的方法。

例2(2019 年渭南模擬考試)有甲、乙、丙3項(xiàng)志愿服務(wù)項(xiàng)目，甲需要2名志愿者承擔(dān)，乙、丙各需要1名志愿者承擔(dān)，從10名志愿者中選派4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則不同的選法有( )。

A.1 260種 B.2 025種

C.2 520種 D.5 040種

錯(cuò)解一：分三步完成。首先從10人中選出4人，有種方法；再從這4人中選出2人承擔(dān)任務(wù)甲，有種方法；剩下的2人去承擔(dān)任務(wù)乙、丙，有種方法。由乘法原理知不同的選法共有

錯(cuò)因：“排列”、“組合”概念混淆不清。承擔(dān)任務(wù)甲的2 人與順序無關(guān)，此處應(yīng)是組合問題，即

錯(cuò)解二：分三步完成。不同的選法共有故選A。

錯(cuò)因：剩下的2人去承擔(dān)任務(wù)乙、丙，這與順序有關(guān)，此處應(yīng)是排列問題，即

正解一：不同的選共法有2 520(種)。故選C。

正解二：先從10人中選出2人承擔(dān)任務(wù)甲；再從余下8人中選出1人承擔(dān)任務(wù)乙；最后從剩下的7人中選出1人去承擔(dān)任務(wù)丙。由乘法原理知不同的選法共有2 520(種)。故選C。

正解三：從10 人中選出2 人承擔(dān)任務(wù)甲；再從余下8 人中選出2 人承擔(dān)任務(wù)乙、丙。由乘法原理知不同的選法共有2 520(種)。故選C。

三、重復(fù)計(jì)數(shù)出增解

例3 (高考試題改編)4個(gè)不同的玻璃球放入編號(hào)為1、2、3、4的四只木盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有____種。

錯(cuò)解一：從四只盒子中取出三只，有種方法，從4個(gè)球中取出3個(gè)放入取出的三只盒子內(nèi)，有種方法，再將余下的玻璃球放入三只有球的盒子中的一只內(nèi)，有種放法，所以共有

錯(cuò)解二：分三步完成。首先取出三只盒子，有種方法；再把球分為三組，有種方法；最后把三組球排列后放入盒子，有種方法。由乘法原理知共有288(種)方法。

錯(cuò)因：錯(cuò)解中出現(xiàn)先取a 后取b 和先取b后取a 兩種情形，顯然兩種取法的結(jié)果是相同的，但卻作為兩種不同取法重復(fù)進(jìn)行了計(jì)數(shù)，即由于組合問題的無序性，使不同的組合方式產(chǎn)生了相同的結(jié)果。

正解一：在錯(cuò)解中消除重復(fù)144(種)放法。

正解二：從4個(gè)球中取出2個(gè)作為一組，與另外2個(gè)玻璃球一起放入四只盒子中的三只內(nèi)，共有

正解三：將4個(gè)球分別放入四只盒子后，取出其中的二只盒子并為一只盒子(自然出現(xiàn)一只空盒)，有

四、思維不嚴(yán)密而漏解（遺漏有關(guān)情形）

例4(2019 年韓城三模測(cè)試)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，如果乙必須站在甲的右邊(甲、乙可以不相鄰)，那么不同的站法有( )種。

A.24 B.60 C.90 D.120

錯(cuò)解：把甲、乙“捆綁”為一個(gè)元素(乙在甲的右邊)，與丙、丁、戊一起全排列，有24(種)站法。故選A。

錯(cuò)因：審題不嚴(yán)，未注意到“甲、乙可以不相鄰”而漏解。

正解一：按乙的位置分為四類。乙排第一、二、三、四位時(shí)的排法數(shù)分別是，所以共有(種)站法。故選B。

正解二：因?yàn)榧自谝业淖筮吪c甲在乙的右邊的情形是對(duì)稱相同的，所以共有(種)站法。故選B。