如何利用波利亞解題模型找出并分析高中生解數(shù)學(xué)題的錯誤

江蘇省海門實驗學(xué)校數(shù)學(xué)組 張 星

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生參與各種習(xí)題的練習(xí)是整個教學(xué)的重要組成部分。在具體的解題過程中，受到多種因素的影響，很多學(xué)生都會出現(xiàn)一定的解題錯誤。對廣大任課教師而言，針對學(xué)生的這些解題錯誤問題，如何通過有效的方式予以尋找和分析、處理，以更好地提高學(xué)生的解題能力至關(guān)重要。

一、波利亞解題模型應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題教學(xué)

高中生在解數(shù)學(xué)題的時候經(jīng)常會出現(xiàn)一定的錯誤。面對學(xué)生的各種解題錯誤，需要引起教師的足夠重視，并積極進(jìn)行分析。但是，教師如果盲目地從題目本身出發(fā)進(jìn)行分析，往往無法作出準(zhǔn)確的判斷，無法很好地了解到學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤的真正原因，相應(yīng)的，在對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和指正的時候，也容易出現(xiàn)一定的不足之處。因此，針對學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤問題，教師需要積極通過有效的方式找出學(xué)生解題錯誤的所在，進(jìn)而進(jìn)行分析，了解學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤的具體原因。而波利亞解題模型則為教師提供了良好的尋找和分析學(xué)生解題錯誤工具，該模型的內(nèi)涵主要包括四個階段，分別是：理解問題階段、制定計劃階段、實施計劃階段以及回顧階段。

二、利用波利亞解題模型進(jìn)行學(xué)生解數(shù)學(xué)題錯誤的尋找與分析

波利亞解題模型為教師提供了一個十分重要的工具，可以幫助教師按照一定的解題錯誤診斷程序，對相應(yīng)的解題錯誤進(jìn)行尋找和分析，進(jìn)而實現(xiàn)“對癥處理”。將波利亞解題模型應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題教學(xué)之中，主要包括以下四個步驟：第一步：解題。結(jié)合一定的題目，分析題目的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而搜索與題目相關(guān)的知識原理、技能及思想方法并將它們運用于題目。第二步：分析題目。 分析題目中所含的知識點、原理、技能及思想方法等，分析在具體的解決問題的過程中，在每一步驟可能會出現(xiàn)的解題錯誤以及相應(yīng)的錯誤原因。第三步：尋找錯誤步驟.。這一過程中，教師要注意針對具體的題目內(nèi)容，通過與學(xué)生進(jìn)行交流等方式，了解到學(xué)生在解題中應(yīng)用的解題思路，掌握其具體的解題過程，進(jìn)而找出學(xué)生出現(xiàn)錯誤或出現(xiàn)障礙的步驟。第四步：分析錯誤原因。通過尋找錯誤步驟，可以找出學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)錯誤的具體步驟，之后便需要對相應(yīng)的錯誤原因進(jìn)行分析。分析的過程中，要注意結(jié)合題目中涉及的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)原理等進(jìn)行分析，了解到學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯誤的原因，進(jìn)而對學(xué)生進(jìn)行針對性的指導(dǎo)。具體的應(yīng)用過程中，尋找學(xué)生解數(shù)學(xué)題的錯誤，指的是找出學(xué)生的解題錯誤錯在哪里，了解到學(xué)生在什么地方遇到解題障礙。分析學(xué)生解數(shù)學(xué)題錯誤指的是在尋找到學(xué)生解題錯誤所在的基礎(chǔ)上，對學(xué)生出現(xiàn)各種錯誤的原因進(jìn)行分析，進(jìn)而予以針對性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生順利解決問題，改正錯誤。

下面結(jié)合案例進(jìn)行分析：已知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，并在（-∞，0)上為減函數(shù)，且f(2)=0。那么，不等式(x-1)f(x-1)＜0的解集是什么？在課堂教學(xué)中，一些學(xué)生在解題的時候出現(xiàn)了一定的錯誤，筆者與學(xué)生進(jìn)行了交流。通過詢問了解到，學(xué)生在解題的時候，想要先把函數(shù)向左平移，但對于之后如何處理xf(x)不夠明白。另外，通過詢問學(xué)生：函數(shù)是奇函數(shù)且是減函數(shù)，是否可以利用圖像來解題，學(xué)生答不出來。于是，筆者指導(dǎo)學(xué)生畫出圖像，并集合圖像對問題進(jìn)行分析，最終解決了問題。結(jié)合案例進(jìn)行分析可以了解到，學(xué)生對于(x-1)f(x-l)＜0這種形式不夠了解，即表明學(xué)生在理解問題階段遭遇到一定的障礙，屬于目標(biāo)范圍定位方面的困難。通過詢問還了解到，學(xué)生不知道是否可以利用圖像來解題，即表明在解題的時候，學(xué)生無法找到合適的方法來處理問題，由此也表現(xiàn)出，學(xué)生在尋找策略階段也遇到了一定的障礙，且屬于技能與思想方法的尋找困難。最后，在對學(xué)生進(jìn)行一定的引導(dǎo)并畫出圖像之后，學(xué)生順利解決了問題，即提示在實施策略階段，學(xué)生沒有遭遇障礙。

總的來說，學(xué)生在解題過程中遇到的最大障礙是在尋找策略階段，并且體現(xiàn)在對數(shù)形結(jié)合思想方法提取困難方面。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在對學(xué)生進(jìn)行解題教學(xué)的時候，不僅僅是要教會學(xué)生如何解題，還要注意高度重視學(xué)生的解題錯誤情況，要注意通過合理的方式正確處理學(xué)生的解題錯誤。通過本次研究也了解到，波利亞解題模型是一個十分有效的工具，可以幫助教師找出學(xué)生的解題錯誤及錯誤原因，以更好地對學(xué)生進(jìn)行針對性的指導(dǎo)。