黑龍江省哈爾濱市民生路小學(xué)校數(shù)學(xué)課題組 高瑛琦 馬 晶 孫莎莎

如果說數(shù)學(xué)猜想的靈魂是創(chuàng)新，那么數(shù)學(xué)驗證的核心就是創(chuàng)造?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，一個個偉大的數(shù)學(xué)家攻克了一個個數(shù)學(xué)猜想，一次次推動著數(shù)學(xué)發(fā)展。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)驗證與數(shù)學(xué)猜想同樣重要。顧汝佐先生說過這樣一句話：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是掌握前人創(chuàng)造的經(jīng)驗，通過相應(yīng)的載體，讓學(xué)生自己觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、實施。讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去探索新知，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)驗證就是學(xué)生構(gòu)建探究學(xué)習(xí)的過程。因此，在小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中，就要培養(yǎng)學(xué)生的驗證能力，讓學(xué)生通過驗證學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在探究數(shù)學(xué)知識中培養(yǎng)驗證能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的空間和圖形領(lǐng)域是學(xué)生必須掌握的一個內(nèi)容，在實際的教學(xué)中又怎樣培養(yǎng)學(xué)生的驗證能力呢？經(jīng)過我們課題組老師的教學(xué)實踐，實踐課的老師通過自己的課堂實例來介紹在空間與圖形領(lǐng)域如何提高學(xué)生的驗證能力。

本學(xué)期科研課題小組馬晶老針對《如何在空間與圖形領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生的驗證能力》展開了研究，在教學(xué)《平行與垂直》一課時，對這節(jié)課說說她的思考。本節(jié)課馬老師通過兩個觀測點(diǎn)進(jìn)行了研究：1.驗證在同一個平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。2.驗證兩條直線怎樣能互相垂直。在驗證兩條直線位置關(guān)系的時候，學(xué)生通過動手操作畫出了很多位置關(guān)系，比如：相交、互相平行、互相垂直，還有看上去沒交上的關(guān)系，畫的都沒有問題，但是在驗證的過程中就會摩擦出火花，學(xué)生往往會分很多類，如相交成x 型的一類，相交成T 型的一類，兩條線的端點(diǎn)正好碰到成角的一類（有些是看似不相交實則相交的）等。接下來驗證很重要，經(jīng)過學(xué)生的思考，他們發(fā)現(xiàn)看似成角的一類，和沒有交到一起的直線經(jīng)過延長后會變成已經(jīng)存在的位置關(guān)系，這樣的驗證讓學(xué)生找出了兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、重合（小學(xué)階段不研究）。這些過程都是學(xué)生一點(diǎn)一點(diǎn)、一步一步發(fā)現(xiàn)并研究出來的。這種從發(fā)現(xiàn)到驗證再到得出結(jié)論的過程，更能讓孩子對新學(xué)的知識記憶猶新。在驗證第二個觀測點(diǎn)的時候，孩子們的思維更加活躍了，想出了不同的方法得出90 度的角，這些重大的發(fā)現(xiàn)孩子們是最大的受益者，我們的研究方法也得到了肯定。

高瑛琦老師在執(zhí)教三年級上冊“長方形和正方形的認(rèn)識”一課時，一方面注意讓學(xué)生通過實際操作獲得豐富的感性經(jīng)驗，另一方面則是讓學(xué)生通過自主探索獲得對知識的理解。教學(xué)時，高老師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在探索長方形、正方形的特征時，首先讓學(xué)生通過觀察猜想長方形和正方形的邊、角的特征，然后提供學(xué)具（每組長方形、正方形紙片各一，大小不一），讓學(xué)生自己想辦法，通過量一量、折一折、比一比等方法去驗證猜想是否正確。學(xué)生通過觀察、操作、推理、交流等活動，經(jīng)歷了探索圖形特征的過程，從而積累了數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗和思維經(jīng)驗。

在練習(xí)環(huán)節(jié)，設(shè)計“猜一猜信封里裝的是一個什么形狀的四邊形？”這既是一個進(jìn)一步認(rèn)識圖形特征的練習(xí)，更是一個圖形表象印刻的重要時機(jī)。由此，將其設(shè)計成一個連續(xù)的活動，先出示一個直角，再出示兩個直角，最后出示第三個直角……讓學(xué)生根據(jù)“角”和“邊”的特點(diǎn)，從兩個維度來不斷縮小四邊形的范圍，知道最終判定結(jié)果。讓學(xué)生經(jīng)歷概念內(nèi)涵不斷增加、外延不斷縮小的圖形形成過程，并在每次判斷時讓學(xué)生充分地表達(dá)自己判斷的理由，在引導(dǎo)學(xué)生對各種四邊形特征進(jìn)一步認(rèn)識的同時，借助了一個從形象上升到抽象，又從抽象轉(zhuǎn)化為直觀的“猜測——驗證”過程，其數(shù)學(xué)思考價值是不言而喻的。

孫莎莎老師在教學(xué)四年級《平行四邊形和梯形》一節(jié)課時，通過一系列的操作活動，讓學(xué)生通過探究、交流、推理、驗證歸納出平行四邊形與梯形的特征，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生對“空間與圖形”的興趣，培養(yǎng)學(xué)生推理驗證的能力。 平行四邊形和梯形概念的建立，孫老師打破了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，設(shè)計了3 個環(huán)節(jié)來幫助學(xué)生認(rèn)識、理解、歸納概念。

第一，先觀察這兩種圖形有什么共同的特點(diǎn)，學(xué)生最先感知觀察到的是“這兩種圖形都是四邊形”；第二，學(xué)生通過觀察進(jìn)一步感知到這兩組圖形都有“對邊平行”；第三，通過觀察——學(xué)生動手驗證——電腦驗證不同形狀平行四邊形和梯形，得出結(jié)論：“平行四邊形是兩組對邊分別平行”“梯形是只有一組對邊平行”。在探究活動中學(xué)生直觀地理解并歸納出平行四邊形和梯形的概念。平行四邊形和梯形概念的建立，我沒有把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生，而是讓學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、歸納自主建構(gòu)概念，變教師單純地“教數(shù)學(xué)”為學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)數(shù)學(xué)”。課堂上，孫老師充分體現(xiàn)學(xué)生的自主地位，釋放學(xué)生想象的時間和空間，將學(xué)生的感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，從而培養(yǎng)了學(xué)生在空間與圖形領(lǐng)域的推理驗證能力。

PPT 鄭毓信教授在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中的一段話，他指出：“任何一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動都要以如何能在思想中實際建構(gòu)相關(guān)的數(shù)學(xué)對象作為必要的前提”“如何能把新的知識納入主體已有的知識體系之中，并使之真正成為整個知識體系的一個有機(jī)組成部分”。

張路娜在執(zhí)教《平行四邊形的面積》一課時，是以長方形面積計算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知轉(zhuǎn)化為已知的基本方法開展學(xué)習(xí)。

本節(jié)課中，張老師針對以上情況設(shè)計了兩個驗證教學(xué)：1.驗證底6，高3 的平行四邊形和長6，寬3 的長方形的面積的關(guān)系。2.驗證底6，斜邊3 的平行四邊形和長6，寬3 的長方形的面積關(guān)系。以格子圖為輔助，以剪、平移等方法進(jìn)行操作，進(jìn)而建立平行四邊形的面積的表象及正確的概念。

課上，學(xué)生通過先猜想，再驗證，形成結(jié)論后再嘗試應(yīng)用于其他特殊或一般的平行四邊形，最終形成定論。進(jìn)而為后續(xù)三角形、梯形的面積計算奠定基礎(chǔ)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程目標(biāo)”里指出，空間與圖形的數(shù)學(xué)思考目標(biāo)是：“豐富對空間和圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。”顯然，空間觀念的培養(yǎng)是“空間與圖形”學(xué)習(xí)的首要目標(biāo)，而以此為載體，在空間與圖形領(lǐng)域如何培養(yǎng)學(xué)生的驗證能力，便成為我們課題組老師們認(rèn)真思考、研究的課題。（參與撰寫教師：孫勝濤，于勇，張路娜）