馬 馳， 劉世忠

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

波形鋼腹板PC組合箱梁是由波形鋼腹板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的混凝土腹板改進(jìn)而成的一種新型組合梁橋。文獻(xiàn)[1-3]對(duì)波形鋼板、波形鋼腹板Ⅰ型鋼梁及波形鋼腹板PC組合箱梁橋的抗剪強(qiáng)度、剪切屈曲開(kāi)展研究。文獻(xiàn)[4-5]研究波形鋼腹板剪切變形對(duì)波形鋼腹板組合梁受力行為的影響，提出把該結(jié)構(gòu)在承受彎曲荷載作用時(shí)的變形形式分離成桁架和彎曲作用計(jì)算鋼腹板剪切變形。文獻(xiàn)[6]制作波形鋼腹板混凝土試驗(yàn)箱梁，對(duì)試驗(yàn)箱梁的動(dòng)力特性進(jìn)行計(jì)算和分析。文獻(xiàn)[7]導(dǎo)出分析波形鋼腹板組合箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的有效辦法，證明設(shè)置橫隔板可以提高結(jié)構(gòu)的抗扭慣性矩，改善動(dòng)力特性。文獻(xiàn)[8]基于能量變分理論，得到計(jì)入剪力滯與剪切變形效應(yīng)的波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁結(jié)構(gòu)自振頻率解析解。文獻(xiàn)[9]考慮剪滯剪切效應(yīng)的影響，運(yùn)用能量變分法與Hamilton原理，推導(dǎo)獲得該橋型自由彎曲振動(dòng)的控制微分方程，以提高波形鋼腹板組合梁橋的自振頻率計(jì)算精度。文獻(xiàn)[10-14]對(duì)薄壁箱梁剪力滯、剪切變形雙重效應(yīng)的自振特性進(jìn)行分析研究?，F(xiàn)階段，很少有學(xué)者對(duì)波形鋼腹板組合箱梁剪滯剪切雙重效應(yīng)的自振特性進(jìn)行研究。本文利用能量變分原理，考慮剪滯剪切變形雙重效應(yīng)，在獲得單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)荷載矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)波形鋼腹板組合箱梁的一致質(zhì)量矩陣，使波形鋼腹板組合箱梁矩陣位移法更加系統(tǒng)、完整，為計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁的剪滯剪切效應(yīng)提供一種新的分析方法。

1 波形鋼腹板組合箱梁的控制微分方程及單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

圖1所示的波形鋼腹板組合箱梁在對(duì)稱彎曲作用下，截面上梁的豎向撓度為W(x)，彎曲撓度引起的轉(zhuǎn)角為φ(x)，其縱向位移U(x,y,z)滿足

( 1 )

式中：x、y、z分別為橋梁縱向、橫向、豎向坐標(biāo)；b為箱梁凈寬的一半；u(x)為最大縱向位移差函數(shù)。

圖1 波形鋼腹板箱梁橫截面

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，波紋鋼腹板的有效剪切模量計(jì)算公式為

( 2 )

式中：Es為鋼材的彈性模量；νs為鋼材的泊松比。其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。

圖2 波形鋼腹板幾何參數(shù)

波形鋼腹板部分僅考慮剪切應(yīng)變能，忽略其彎曲應(yīng)變能，波形鋼腹板剪應(yīng)變?chǔ)脁z=W′(x)-φ(x)，W′(x)為豎向撓度W(x)一階導(dǎo)數(shù)，全梁應(yīng)變能為

( 3 )

式中：E為混凝土的彈性模量；ε為縱向應(yīng)變；G為混凝土的剪切模量。

設(shè)z方向的、沿縱向分布的荷載為q=q(x)，l為梁長(zhǎng)，M、Q為梁右端的彎矩和剪力，外力做功為

( 4 )

總勢(shì)能為Π=V-Γ，由最小勢(shì)能原理δΠ=0得到波形鋼腹板組合箱梁的控制微分方程組及自然邊界條件為

( 5 )

波形鋼腹板組合箱梁在均布荷載作用下的初參數(shù)解為

( 6 )

( 7 )

( 8 )

將x=l代入式( 6 )～式( 8 )，整理可得均布荷載作用下直線梁?jiǎn)卧胶夥匠虨?/p>

( 9 )

(10)

(11)

(12)

式中：i表示單元左端；j表示單元右端。

(13)

等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣中的元素分別為

(14)

式(13)、式(14)中各符號(hào)的意義如下：

(15)

2 波形鋼腹板組合箱梁的質(zhì)量矩陣和運(yùn)動(dòng)方程

由虛功原理導(dǎo)出局部坐標(biāo)系下波形鋼腹板組合箱梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣為

(16)

式中：Ne為形函數(shù)矩陣，它是梁?jiǎn)卧獌?nèi)部結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。

令式( 6 )～式( 8 )中的q=0并寫(xiě)成矩陣形式

(17)

(Ki)3×6(δe)6×1=(Fi)3×1+(Ri)3×1

(18)

由式(18)可得

(19)

(20)

式(20)中δe的系數(shù)矩陣就是形函數(shù)矩陣Ne，將Ne代入式(16)即可導(dǎo)出考慮剪力滯、剪切變形效應(yīng)的波形鋼腹板組合箱梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣，單元質(zhì)量矩陣的形式為(Me)6×6，矩陣中各元素的表達(dá)式較復(fù)雜冗長(zhǎng)，不再列出。

根據(jù)虛功原理可得局部坐標(biāo)系下平面梁?jiǎn)卧倪\(yùn)動(dòng)方程

Meδe+Keδe=Fe

(21)

式中：Ke為局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；Me為局部坐標(biāo)系下的質(zhì)量矩陣。

根據(jù)平面結(jié)構(gòu)有限元理論組集系統(tǒng)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚺c一致質(zhì)量矩陣，并列出各結(jié)點(diǎn)滿足的平衡條件，即可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式

Mδ+Kδ=P

(22)

式中：δ為結(jié)點(diǎn)位移總矢量；P為已知的結(jié)點(diǎn)荷載總矢量；K和M分別為系統(tǒng)的總剛度矩陣和總一致質(zhì)量矩陣。

3 動(dòng)力特性分析

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的重要?jiǎng)恿π阅苁亲哉裉匦?即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的頻率與相應(yīng)振型，求解自振特性的過(guò)程即確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率與其相應(yīng)振型的過(guò)程。

在式(22)中令P=0，得

Mδ+Kδ=0

(23)

式(23)為結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程[15]，式(23)基本解的一般形式應(yīng)為

δ(t)=φsin(ωt+β)

(24)

式中：φ為非零n元列向量，它的各分量之間無(wú)關(guān)；ω與β為待定常量。

式(24)的基本解表示的是以ω為圓頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而φ則為與ω相應(yīng)的振型，β為相位角。

將計(jì)算出的基本解代回式(23)，即可得到確定圓頻率ω與相應(yīng)振型φ的方程

Kφ=ω2Mφ

(25)

這是一個(gè)廣義特征值問(wèn)題，也稱為振動(dòng)特征值問(wèn)題。

式(25)可改寫(xiě)為

(K-ω2M)φ=0

(26)

式(26)為關(guān)于φ的n個(gè)分量的線性代數(shù)齊次方程組，該方程組存在非零解φ的充要條件為

det[(K-ω2M)φ]=0

(27)

由式(27)可確定ω，稱該式為頻率方程。記

λ=ω2

并記

p(λ)=det(K-λM)

(28)

稱p(λ)為振動(dòng)特征值問(wèn)題的特征多項(xiàng)式，而方程p(λ)=0的根稱為特征根。

由頻率方程式(27)解得n個(gè)ω，代入式(26)后，可得到非零解φ，即相應(yīng)的振型。本文利用子空間迭代法編制求解廣義特征值的Fortran語(yǔ)言程序BXBOX。

4 算例分析

4.1 算例1

按照本文單元?jiǎng)偠染仃嚭鸵恢沦|(zhì)量矩陣建立運(yùn)動(dòng)方程,對(duì)文獻(xiàn)[8]中的波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行計(jì)算。該試驗(yàn)箱梁跨度為9.745m，模型橫截面尺寸參照文獻(xiàn)[8]中的圖3。箱梁混凝土的實(shí)測(cè)彈性模量為3.45×104MPa，泊松比為0.167，鋼材彈性模量為1.95×105MPa，泊松比為0.3。本文把該試驗(yàn)梁分為40個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]提供的一般梁理論、有限元及實(shí)測(cè)法所得的結(jié)果列于表1。其中一般梁理論為不考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)的結(jié)果，本文方法為考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)的結(jié)果。

表1 波形鋼腹板組合箱梁的自振特性

由表1可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與有限元法和實(shí)測(cè)所得的結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文方法的正確性。本文方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)一般梁理論計(jì)算結(jié)果精度大幅提高，隨著階次的升高一般梁理論誤差也在增大，本文計(jì)算方法的計(jì)算量小，計(jì)算精度高，可用于考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)自振特性的分析計(jì)算，且可得到與文獻(xiàn)[8]同樣的規(guī)律，考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)后，波形鋼腹板組合箱梁的自振頻率有所降低，且降低程度隨著階次的升高迅速增大。

4.2 算例2

模型試驗(yàn)梁為簡(jiǎn)支箱梁，截面梁長(zhǎng)為5 m，采用C50細(xì)石混凝土，實(shí)測(cè)抗壓強(qiáng)度平均值為49.7 MPa，泊松比為0.2，彈性模量為34.5 GPa；波形鋼腹板選擇Q235，波紋板型號(hào)為H1600，厚度為2 mm，實(shí)測(cè)鋼材彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3；普通鋼筋采用φ6鋼筋，預(yù)應(yīng)力筋采用1860級(jí)7φ5的鋼鉸線。試驗(yàn)梁橫截面尺寸、縱向立面尺寸如圖3、圖4所示，波形鋼腹板波形形狀如圖5所示。本文建立ANSYS實(shí)體模型[16]、考慮剪切變形的Midas梁?jiǎn)卧Ｐ秃筒豢紤]剪切變形的Midas梁?jiǎn)卧Ｐ?，?shí)體模型中箱梁頂板與底板采用solid45單元，波紋板采用薄殼單元shell63單元，且三者采用共節(jié)點(diǎn)方式連接，采用8節(jié)點(diǎn)的單元對(duì)實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分， ANSYS有限元模型如圖6所示，模型試驗(yàn)梁如圖7所示。

圖3 模型梁橫截面設(shè)計(jì)尺寸(單位：mm)

圖4 模型梁縱向立面尺寸(單位：mm)

圖5 波形鋼腹板波形形狀平面圖(單位：mm)

圖6 試驗(yàn)梁有限元模型

圖7 模型試驗(yàn)梁

對(duì)波形鋼腹板簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁進(jìn)行動(dòng)力效應(yīng)測(cè)試，獲得其振動(dòng)頻率及相應(yīng)的振型，采用東華DHDAS信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)對(duì)室內(nèi)模型試驗(yàn)梁進(jìn)行動(dòng)力特性測(cè)試，試驗(yàn)梁的模態(tài)試驗(yàn)采用瞬態(tài)激振法，采樣頻率為512 Hz。模型試驗(yàn)梁上布置DHDAS動(dòng)態(tài)信號(hào)采集器，如圖8所示，該設(shè)備可以采集豎向和橫向的動(dòng)態(tài)信號(hào)。為避免所關(guān)心頻率的丟失，沖擊荷載的位置根據(jù)結(jié)構(gòu)的振型確定，應(yīng)避免敲擊點(diǎn)設(shè)置在結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)振型的結(jié)點(diǎn)上。根據(jù)本試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼裥偷挠?jì)算分析結(jié)果，進(jìn)行敲擊點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)的布設(shè)，如圖9所示。試驗(yàn)中保持激勵(lì)位置不變，在激勵(lì)位置發(fā)射脈沖信號(hào)，測(cè)量測(cè)點(diǎn)位置的加速度響應(yīng)信號(hào)，通過(guò)分析程序進(jìn)行模態(tài)擬合，得到試驗(yàn)梁的各階振型。通常振動(dòng)頻率按由小到大的順序排列，對(duì)應(yīng)的振型也由簡(jiǎn)單變?yōu)閺?fù)雜，如果計(jì)算實(shí)測(cè)沒(méi)有發(fā)生漏根，結(jié)構(gòu)的固有頻率按次序排列與振型一一對(duì)應(yīng)。

圖8 DHDAS動(dòng)態(tài)信號(hào)采集器

圖9 采集器在上翼板的平面布置(單位：mm)

4.2.1 剪滯剪切效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁自振特性的影響

采用本文編制的BXBOX程序分析波形鋼腹板PC組合箱梁的振動(dòng)行為，把簡(jiǎn)支梁分為4個(gè)單元5個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,將實(shí)測(cè)值、本文計(jì)算值與數(shù)值模擬值的前四階自振頻率列于表2、表3。

表2 剪滯剪切效應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)支梁自振特性的影響

表3 不同方法間頻率差值(簡(jiǎn)支梁)

考慮剪力滯和剪切變形雙重效應(yīng)的情況下，本文計(jì)算值與模型實(shí)測(cè)值、ANSYS數(shù)值計(jì)算值幾乎完全吻合，驗(yàn)證了本文理論的正確性；其次采用Midas梁?jiǎn)卧Ｐ陀?jì)算考慮剪切變形、不考慮剪切變形的工況以及不考慮剪力滯和剪切變形效應(yīng)的工況(即一般的箱梁理論)。ANSYS實(shí)體模型的前四階振型如圖10～圖13所示，一階和二階振型表現(xiàn)出梁豎向振動(dòng)特性，三階和四階振型既表現(xiàn)出梁的豎向振動(dòng)又有翼緣板沿梁軸線的振動(dòng)特性。由表2、表3可知，剪切變形效應(yīng)使梁內(nèi)的自振頻率降低，對(duì)高階頻率的影響更大，四階時(shí)所得的結(jié)果頻率差值達(dá)到了7.771%，一般箱梁理論值與本文計(jì)算值的頻率差值在四階時(shí)達(dá)到了44.166%，由此可知剪力滯效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板組合箱梁的動(dòng)力特性起主導(dǎo)作用。

圖10 簡(jiǎn)支梁一階振型

圖11 簡(jiǎn)支梁二階振型

圖12 簡(jiǎn)支梁三階振型

圖13 簡(jiǎn)支梁四階振型

4.2.2 剪滯剪切效應(yīng)對(duì)波形鋼腹板連續(xù)梁自振特性的影響

在算例2簡(jiǎn)支梁的基礎(chǔ)上，在距離梁端2.5 m(即中橫隔板位置)處的跨中截面上增加固定支座，使其變?yōu)閮傻瓤邕B續(xù)梁(2.5 m+2.5 m)，邊跨固定支座變換為活動(dòng)支座，使簡(jiǎn)支梁變成如圖14所示的連續(xù)梁，把全梁分為20個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，并討論考慮剪滯、剪切效應(yīng)對(duì)兩等跨連續(xù)梁振動(dòng)特性的影響。將實(shí)測(cè)值、本文計(jì)算值與數(shù)值模擬值的前四階自振頻率列于表4、表5，連續(xù)梁表現(xiàn)出與表2、表3中簡(jiǎn)支梁相同的振動(dòng)特性。

圖14 連續(xù)梁的支座和單元節(jié)點(diǎn)

表4 剪滯剪切效應(yīng)對(duì)連續(xù)梁自振特性的影響

表5 不同方法間頻率差值(連續(xù)梁)

由表4和表5可知，本文計(jì)算值與模型試驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了本文理論的正確性。剪滯剪切變形效應(yīng)使梁內(nèi)的自振頻率降低，對(duì)高階頻率的影響更大，四階時(shí)所得的結(jié)果頻率差值達(dá)到45.748%，規(guī)律與波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁相同。

5 結(jié)論

本文利用能量變分原理方法，考慮剪滯剪切變形雙重效應(yīng)，在獲得單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)荷載矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出波形鋼腹板PC組合箱梁的一致質(zhì)量矩陣，使波形鋼腹板PC組合箱梁矩陣位移法更加系統(tǒng)、完整，為波形鋼腹板PC組合箱梁的剪滯剪切效應(yīng)提供一種新的計(jì)算方法。與波形鋼腹板PC組合箱梁的板殼或?qū)嶓w單元計(jì)算相比，計(jì)算量小、計(jì)算精度高，在工程實(shí)際中易于應(yīng)用。算例表明：

(1)對(duì)于波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁和連續(xù)箱梁，本文計(jì)算值與模型試驗(yàn)值所得的自振特性值幾乎完全吻合，驗(yàn)證了本文理論的正確性和可靠性。

(2)考慮了剪力滯與剪切變形雙重效應(yīng)的影響后，波形鋼腹板PC組合箱梁結(jié)構(gòu)的自振頻率與Midas梁?jiǎn)卧Ｐ偷哪M數(shù)值相比有所減小。這是因?yàn)榧袅c剪切變形雙重效應(yīng)的影響使混凝土翼板與鋼腹板的有效剛度降低，進(jìn)而減小了組合結(jié)構(gòu)的自振頻率，對(duì)高階頻率影響較大。

(3)對(duì)波形鋼腹板PC組合箱梁進(jìn)行動(dòng)力特性分析時(shí)，考慮剪滯剪切效應(yīng)使結(jié)構(gòu)自振頻率明顯減小，在四階時(shí)約減小45%，剪切效應(yīng)對(duì)其頻率的影響在7%左右，剪力滯效應(yīng)對(duì)該箱梁的動(dòng)力特性影響更大。因此，對(duì)波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行動(dòng)力特性分析時(shí)應(yīng)考慮剪力滯和剪切變形效應(yīng)的影響。