一種新的考慮接觸角的弓網(wǎng)接觸模型

周 寧，蔚 超，鄒 歡，鄒 棟，張衛(wèi)華，趙 晨

(1. 西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031;2. 廣州鐵路(集團(tuán))公司，廣州 510000)

隨著高速電氣化鐵路的快速發(fā)展，弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)研究作為車輛大系統(tǒng)動力學(xué)研究的主要分支之一，對高速列車穩(wěn)定受流起著至關(guān)重要的作用。由于接觸網(wǎng)系統(tǒng)距離長、跨數(shù)多，導(dǎo)致試驗(yàn)平臺搭建困難，除少數(shù)單位擁有受電弓—接觸網(wǎng)地面模擬試驗(yàn)臺外[1-2]，研究人員主要通過仿真計算進(jìn)行弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)研究[3-6]。作為弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)仿真計算的關(guān)鍵技術(shù)，弓網(wǎng)接觸模型對動力學(xué)響應(yīng)有著重要影響。傳統(tǒng)接觸模型通過罰函數(shù)法模擬弓網(wǎng)接觸，通過調(diào)整罰剛度因子以真實(shí)反映弓網(wǎng)之間的接觸行為[7]。在罰函數(shù)法的基礎(chǔ)上，Collina等[8]在接觸模型中加入了線性阻尼項，分析弓網(wǎng)接觸中速度項的作用，以考慮弓網(wǎng)接觸過程中的能量損失。Lankarani等[9]基于赫茲接觸理論，提出了一種連續(xù)接觸力模型以模擬多體系統(tǒng)碰撞過程中的相互作用，并推導(dǎo)了相關(guān)公式，此后諸多學(xué)者采用此接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)動力學(xué)方面的研究[10-11]。

無論是傳統(tǒng)接觸模型或赫茲接觸模型，都僅考慮了受電弓與接觸網(wǎng)之間在垂直方向上的接觸行為。然而在列車實(shí)際運(yùn)行過程中，受接觸網(wǎng)波動以及接觸線不平順等因素的影響，受電弓與接觸網(wǎng)的接觸將偏離垂直方向[12]，由此也造成接觸線在弓網(wǎng)接觸點(diǎn)位置的切向與水平方向存在一定的夾角，這里將該夾角稱之為弓網(wǎng)接觸角。由此，本文通過考慮弓網(wǎng)滑動接觸過程中實(shí)際存在的接觸角的影響，對Lankarani等提出的赫茲接觸模型進(jìn)行修正，提出一種新的考慮接觸角的弓網(wǎng)接觸模型，然后與傳統(tǒng)接觸模型和赫茲接觸模型進(jìn)行對比，研究不同接觸模型對弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響，對不同接觸模型的合理性和適用范圍進(jìn)行分析。

1 受電弓—接觸網(wǎng)模型

1.1 接觸網(wǎng)模型

將接觸線、承力索和彈性吊索等效為歐拉梁結(jié)構(gòu)，吊弦簡化為兩端具有集中質(zhì)量的彈簧結(jié)構(gòu)，同時將定位器及支撐桿簡化為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，選用質(zhì)量單元和彈簧單元模擬簡化系統(tǒng)。通過有限單元法提取接觸網(wǎng)模態(tài)信息，進(jìn)而采用模態(tài)疊加法建立總共包含十跨的接觸網(wǎng)模型，單跨接觸網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)及參數(shù)如圖1所示。

圖1 接觸網(wǎng)單跨模型Fig.1 Single span model of catenary

接觸網(wǎng)運(yùn)動微分方程可表示為

(1)

(2)

求解模態(tài)空間下廣義坐標(biāo)u(t)后，通過坐標(biāo)反變換即可得到系統(tǒng)響應(yīng)a(t)。

1.2 受電弓模型

諸多學(xué)者對受電弓建模方法已進(jìn)行了大量研究，形成了比較完備的受電弓模型庫[13]，如多剛體模型，歸算質(zhì)量模型以及剛?cè)峄旌夏Ｐ偷?，其中以歸算質(zhì)量模型的應(yīng)用最為廣泛，圖2和表1分別給出了這里采用的歸算質(zhì)量模型以及參數(shù)，其運(yùn)動微分方程為

(3)

式中：Mp，Cp，Kp分別為受電弓質(zhì)量歸算模型的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣;up為垂向位移，F(xiàn)p為載荷向量。

圖2 受電弓歸算質(zhì)量模型Fig.2 Lumped mass model of pantograph表1 受電弓等效參數(shù)Tab.1 Pantograph equivalent parameters

參數(shù)數(shù)值弓頭質(zhì)量m1/kg7.2框架質(zhì)量m2/kg15弓頭剛度k1/(N·m-1)4 200框架剛度k2/(N·m-1)50弓頭阻尼c1/(N·s·m-1)10框架阻尼c2/(N·s·m-1)90靜態(tài)抬升力Fu/N120

1.3 弓網(wǎng)耦合模型

組合受電弓與接觸網(wǎng)模型可得弓網(wǎng)耦合動力學(xué)模型，其運(yùn)動微分方程為

(4)

其中，式(4)等號右端為受電弓—接觸網(wǎng)系統(tǒng)的載荷向量，該向量是與弓網(wǎng)間接觸力Fc相關(guān)的向量。對于弓網(wǎng)間接觸力，采取如下三種方式進(jìn)行描述。

1.3.1 經(jīng)典接觸模型

傳統(tǒng)經(jīng)典接觸模型計算簡單，效率較高，在弓網(wǎng)動力學(xué)仿真分析中應(yīng)用也較為廣泛。該模型是基于罰函數(shù)法引入接觸剛度來模擬弓網(wǎng)間接觸力，接觸力表達(dá)式為

(5)

式中:Fc為接觸力;Kc為接觸剛度;up和uc分別為受電弓和接觸線垂向位移。

1.3.2 赫茲接觸模型

受電弓沿接觸線滑動接觸過程中，時常伴有沖擊、碰撞過程的發(fā)生。從碰撞的角度分析，接觸力不僅與受電弓和接觸網(wǎng)的相對位移有關(guān)，也與其速度項相關(guān)。Lankarani等基于赫茲接觸理論，通過考慮遲滯阻尼效應(yīng)，提出了一種連續(xù)接觸力模型，并推導(dǎo)了相關(guān)公式，用于描述多體系統(tǒng)碰撞過程中的接觸力。葡萄牙學(xué)者Rauter首先將該接觸模型引入弓網(wǎng)仿真分析中，其接觸力表達(dá)式如式(6)所示

(6)

1.3.3 新接觸模型

對于上述經(jīng)典接觸模型和赫茲接觸模型，主要考察受電弓與接觸網(wǎng)在垂直方向的接觸行為。然而在列車實(shí)際運(yùn)行過程中，受接觸網(wǎng)波動以及接觸線不平順等因素的影響，受電弓與接觸線的接觸法向?qū)⑵x垂直方向，由此也造成弓網(wǎng)間接觸角θc的存在，圖3描述了實(shí)際的弓網(wǎng)接觸關(guān)系。

圖3 弓網(wǎng)實(shí)際接觸關(guān)系圖Fig.3 Contact relationship between pantograph and catenary

當(dāng)考慮弓網(wǎng)間接觸角時，弓網(wǎng)間相對位移應(yīng)為垂向相對位移(up-uc)在接觸法向上的投影，由此與相對位移相關(guān)的接觸力部分為

FK=Kc(up-uc)n(cosθc)n

(7)

式中:up和uc分別為受電弓和接觸網(wǎng)的垂向位移;θc為弓網(wǎng)間接觸角，接觸線切線與水平方向夾角以逆時針方向?yàn)檎?/p>

類似的，在計算弓網(wǎng)間相對運(yùn)動速度時，也需將弓頭和接觸線的垂向速度以及列車速度沿接觸法向進(jìn)行投影，如圖3所示，由此弓網(wǎng)沿接觸法向相對速度為

(8)

式中:vp和vc分別為受電弓和接觸網(wǎng)的垂向速度;vh為列車速度。

進(jìn)而，與相對速度相關(guān)的接觸力部分可寫為

(9)

由此，對于考慮接觸角時的新接觸模型，接觸力表達(dá)式為

(10)

2 計算結(jié)果及分析

2.1 三種接觸模型計算結(jié)果對比

針對上述弓網(wǎng)系統(tǒng)，通過自編程序，分別采用經(jīng)典接觸模型，Lankarani赫茲接觸模型以及所提出的新接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)仿真，計算速度等級包括100 km/h,200 km/h,300 km/h和400 km/h四個工況，圖4和圖5分別為提取的3～7跨內(nèi)弓網(wǎng)接觸力統(tǒng)計值和接觸力變化曲線。

(a) (b)圖4 三種接觸模型接觸力統(tǒng)計值對比Fig.4 The comparison of contact force statistics between three contact models

(a)v=100 km/h (b)v=200 km/h

(c)v=300 km/h (d)v=400 km/h圖5 三種接觸模型接觸力隨里程變化圖Fig.5 The contact force variation with distance of three contact models

由圖4可見，隨著列車運(yùn)行速度的提升，三種模型接觸力均值變化較小，均在116 N附近。接觸力標(biāo)準(zhǔn)差變化較大，其中經(jīng)典接觸模型和新赫茲接觸模型接觸力標(biāo)準(zhǔn)差隨速度提升變化較大，而Lankarani赫茲接觸模型變化相對較小。結(jié)合圖5中的接觸力隨里程變化結(jié)果同時可見，當(dāng)列車速度為100 km/h時，三種接觸模型接觸力曲線差異較小。隨著速度等級的提升，相較于Lankaraini赫茲接觸模型，基于經(jīng)典接觸模型和新接觸模型得到的接觸力表現(xiàn)出更大的振蕩。但經(jīng)典接觸模型接觸力的振蕩在接觸網(wǎng)各個位置均有體現(xiàn)，而新赫茲接觸模型的振蕩主要表現(xiàn)在定位點(diǎn)附近。

2.2 結(jié)果分析

與經(jīng)典接觸模型相比，Lankarani赫茲接觸模型隨速度等級的提升接觸力標(biāo)準(zhǔn)差變化較小，在接觸力里程圖中接觸力變化更為平緩，主要是由于Lankarani赫茲接觸模型中引入了阻尼項，減緩了弓與網(wǎng)之間的沖擊，從而使得接觸力變化相對較小。

通過對比Lankarani赫茲接觸模型以及新的接觸模型表達(dá)式，可以看到兩種模型的差異主要在于弓網(wǎng)間接觸角θc的考慮。為考察弓網(wǎng)間接觸角對接觸力的影響，提取弓網(wǎng)間接觸角隨列車運(yùn)行里程的變化關(guān)系，如圖6所示。

(a)v=100 km/h (b)v=200 km/h

(c)v=300 km/h (d)v=400 km/h圖6 弓網(wǎng)接觸角隨里程變化圖Fig.6 Pantograph/catenary contact angle variation with distance

由圖6可見，隨著列車速度等級的提升，弓網(wǎng)接觸角的變化幅度逐步增大，從一開始的0.2°提升到0.5°左右。同時可見，在定位點(diǎn)附近接觸角的大小及其變化幅度較大，這與采用新接觸模型計算的接觸力在定位點(diǎn)附近的變化規(guī)律相符，而越靠近跨中接觸角及其變化幅度越小。另一方面，通過計算發(fā)現(xiàn)cosθc=0.999 9≈1，sinθc=0.007≈0，接觸角的影響理應(yīng)較小，但考慮到列車運(yùn)行速度要遠(yuǎn)大于弓網(wǎng)振動速度，因此不能單獨(dú)以接觸角的影響進(jìn)行評判。為進(jìn)一步對上述現(xiàn)象做出解釋，以下對新接觸模型中關(guān)鍵項vpcosθc,vccosθc和vhsinθc進(jìn)行對比分析，如圖7所示。

(a)v=100 km/h (b)v=200 km/h

(c)v=300 km/h (d)v=400 km/h圖7 接觸力關(guān)鍵項vpcos θc,vccos θc和vhsin θc隨里程變化圖Fig.7 The contact force critical items vpcos θc, vccos θc and vhsin θc variation with distance

由圖7可見，當(dāng)列車速度較低時，接觸模型關(guān)鍵項vpcosθc,vccosθc和vhsinθc基本處于同一量級水平；而隨著速度提升，vhsinθc相較于vpcosθc和vccosθc逐步占據(jù)主導(dǎo)作用，而且隨車速的增大越來越明顯，特別是在定位點(diǎn)附近這種主導(dǎo)作用越強(qiáng)，越靠近跨中作用越弱。由此說明，在低速情況下，即vh較小時，vhsinθc與vpcosθc和vccosθc相當(dāng)，因此低速情況下兩種接觸模型計算的接觸力結(jié)果相差不大；但隨著列車速度vh的提升，接觸角θc迅速增大，尤其是在定位點(diǎn)附近，vh與θc共同作用使得vhsinθc遠(yuǎn)大于vpcosθc和vccosθc，因此在高速情況下新接觸模型與Lankarani赫茲接觸模型相比，計算的接觸力會表現(xiàn)出更大的振蕩，且這種振蕩主要表現(xiàn)在定位點(diǎn)附近。

3 結(jié) 論

通過考慮弓網(wǎng)滑動接觸過程中實(shí)際存在的接觸角的影響，對Lankarani提出的赫茲接觸模型進(jìn)行修正，提出了一種新的弓網(wǎng)接觸模型，并與傳統(tǒng)接觸模型和Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行對比，辨識了不同接觸模型對弓網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響，通過分析得知：

(1)與弓網(wǎng)經(jīng)典接觸模型相比，Lankarani赫茲接觸模型考慮了弓網(wǎng)接觸中阻尼的影響，減緩了弓與網(wǎng)的沖擊，使得接觸力的變化更為平緩。

(2)與Lankarani赫茲接觸模型相比，新接觸模型考慮了列車速度和弓網(wǎng)間接觸角對接觸力的影響。當(dāng)列車低速運(yùn)行時這種影響較小，而高速運(yùn)行時對接觸力的影響較為明顯，尤其在定位點(diǎn)附近影響較大，甚至?xí)l(fā)離線，而越靠近跨中影響越小。

(3)在低速運(yùn)行時，弓網(wǎng)間阻尼以及接觸角的影響較小，采用經(jīng)典接觸模型或Lankarani赫茲接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)動力學(xué)仿真即可滿足要求。在高速運(yùn)行條件下，阻尼以及接觸角的影響不可忽略，采用新提出的接觸模型進(jìn)行弓網(wǎng)動力學(xué)仿真更為合理。