劉立漢，崔曉英，蔡靜秋

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶401331)

外部反散射問題是一類典型的反散射問題。如一個物體被平面入射波或者點源散射，其反問題是從遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)或者近場數(shù)據(jù)重構(gòu)散射物體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。這樣的問題出現(xiàn)在各種醫(yī)學(xué)成像、超聲波斷層、材料科學(xué)、無損探測、雷達(dá)、遙感和地震勘測等領(lǐng)域，見文獻(xiàn)[1-4]。本文我們研究如何從位于腔體內(nèi)部的點源測量數(shù)據(jù)來重構(gòu)腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)，即內(nèi)部反散射問題，這類問題出現(xiàn)在工業(yè)應(yīng)用中的非結(jié)構(gòu)探測，如檢測聚變反應(yīng)堆的結(jié)構(gòu)完整性，見文獻(xiàn)[5]。近年來，內(nèi)部反散射問題已經(jīng)吸引了很多的研究者，在文獻(xiàn)[5]中，Jakubik和Potthast通過電位法和量程檢驗得到Cauchy問題的解，利用這些解來研究一些聲學(xué)腔體的完整性；之后，線性采樣方法被用來處理部分涂層的腔體和可穿透性腔體的內(nèi)部反散射問題，如Cakoni和Liu的文獻(xiàn)[6]、Qin和Liu的文獻(xiàn)[7]、Cakoni、Colton和Meng的文獻(xiàn)[8]、Liu的文獻(xiàn)[9]；此外，因式分解法(見文獻(xiàn)[10])和近場成像法(見文獻(xiàn)[11])也被用來決定腔體的形狀；類似地，Qin和Cakoni的文獻(xiàn)[12]使用的是非線性積分方程方法，Zeng、Suarez和Sun的文獻(xiàn)[13]使用的是分裂法。

本文我們用另一個采樣方法，即交互間隙方法來處理內(nèi)部反散射問題，這種方法最早由Colton和Haddar提出來的。正如文獻(xiàn)[4]中標(biāo)注的那樣，這種方法有兩個優(yōu)點，一是不需要散射物體的物理性質(zhì)的先驗知識；二是它避免對格林公式的背景介質(zhì)的計算；但交互間隙方法的一個顯著特點是使用柯西數(shù)據(jù)。在文獻(xiàn)[14]，Cakoni等一些人進(jìn)一步分析了該方法對Maxwell方程和層狀介質(zhì)的影響，在文獻(xiàn)[15]中，Shifrin和Shushpannikov應(yīng)用交互間隙方法來識別彈性固體的球狀缺陷，在文獻(xiàn)[16]中，Monk和Selgas采用交互間隙方法處理反流-固體耦合問題。

本文結(jié)構(gòu)如下：首先，我們闡述了內(nèi)部反散射問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。然后，根據(jù)線性積分方法介紹交互間隙方法，并研究相應(yīng)的定理和結(jié)論。最后，對交互間隙方法進(jìn)行了數(shù)值驗證，并且我們提出的數(shù)值例子顯示了交互間隙方法的可行性。

1 反散射問題

Δu+k2n(x)u=0,x∈D{x0},

(1)

這里的υ是曲線的單位向外法向量，k是波數(shù)。我們假定B有有限多個組合并且這個曲線穿過B,n(x)是不連續(xù)且分段光滑的，u=ui+us是總場，us是散射場。從文獻(xiàn)[8]，我們可以得到，ui,us滿足交互關(guān)系，即

us(x,x0)=us(x0,x),

ui(x,x0)=ui(x0,x),

我們注意到ui可以被寫作

ui(x,x0)=Φ(x,x0)+Φs(x,x0)=G(x,x0),

x∈R2

對x≠x0,這里的Φ(x,x0)是Helmholtz方程的基礎(chǔ)解，且

ΔG+k2n(x)G=-δ(x-x0),

并且適合Sommerfeld輻射條件，即

r=|x|

令

U={u?Du∈H1(D{x0}):

Δu+k2u= 0,x∈D{x0};

其中g(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，由文獻(xiàn)[17]中可知，上述方程有唯一解。

現(xiàn)在讓Ω是D中的一個有界Lipschitz域，因此DC?Ω?D,這里的DC表示C的內(nèi)部。本文中的散射問題，我們需要的是從?Ω的總場u的柯西數(shù)據(jù)來決定散射物體的形狀。

定義1 設(shè)非零的數(shù)k2∈C,若存在一個非平凡的解u∈H1(D),滿足

Δu+k2n(x)u=0,x∈D,

則稱k2是-Δ在D內(nèi)的一個廣義的Neumann特征值。

接下來，證明反散射問題的唯一性定理。

定理1 若k2不是Ω中的一個廣義Neumann特征值，則?D被C上的所有點源x0在?Ω上的散射場us(x,x0)唯一確定。

證明假定D1≠D2是包含Ω的兩個有界區(qū)域，并且ui,us分別是方程(1)的點源G(x,x0)的區(qū)域D被D1,D2替代后的解。

Δvs+k2n(x)vs=0,x∈Ω,

(i)Bε,x1∩D1≠?,

(ii)Bε,x1∩D2?D2,

因此yn∈Bε,x1,且x1∈Bε,x1?D2??D2.

又由于k2不是Neumann特征值，則由文獻(xiàn)[1, 17]可知，方程(1)滿足解的適定性，則存在一個常數(shù)c1>c0>0,有

對所有的n≥1均成立，這里的Γ表示?D1?Bε,x1的子集。

另一方面，證明從x1出發(fā)的入射波是有界的。由于在?D上，有

則

又由交互關(guān)系可得

令D*是一個有界Lipschitz域，因此D0?D*且Bε,x1∩?D*=Γ,令Γ1=?D*Γ,則x1到Γ1的距離大于h,因此存在一個常數(shù)c2>0,使得

ui(x,x1)=Φ(x,x1)=

則

▽ui(x,x1)=

于是當(dāng)x→x1時，

▽ui(x,x1)→∞

矛盾，所以D1=D2。

2 交互間隙法

在這一部分，我們利用交互間隙法來重構(gòu)這個腔體的位置及其形狀。首先定義兩個空間

(i) 對于一個無界的開區(qū)域，定義

(ii) 定義

U*={u|u是方程(1)的解且

ui=G(x,x0),x0∈C}

(2)

Rv(x0)=R(u,v)

(3)

下面，證明如果k2不是DC內(nèi)的一個廣義的Neumann特征值，則R是單射且有稠密值域。對于接下來的討論，我們定義單層勢能vg

(4)

R(u,v)=0

則根據(jù)格林公式和邊界條件有

即

令w是下列方程的解，即

Δw+k2n(x)w=0,x∈D;

由于k2不是廣義的Neumann特征值，則上述方程在H1(D)中有唯一的解，且它連續(xù)依賴于ν。

又對?u∈U*,u=us+G(·,x0),有

(Rv,φ)=0

由(2)式和R的雙線性性，可得

0=R(h,v)=

Δh(x)+k2h(x)=0

Δh(x)+k2h(x)=0

且k2不是一個廣義的Neumann特征值，則在Dc內(nèi)h(x)=0。由單層勢能的跳躍關(guān)系有

則算子R的稠密性得證。

R(u,vg)=R(u,Φz)

(5)

此處Φz=Φ(·,z),z∈Ω°(Ω°是Ω的內(nèi)部)。特別地，我們將說明如何使用這個函數(shù)g來描述?D的特征。這個交互間隙法的優(yōu)點在于對非均勻腔體，只需要基本解，相比于其他定性方法如線性抽樣方法，需要背景格林函數(shù)，而這些函數(shù)要么是未知的，要么是很難計算的。

一般來說，這個積分方程(5)無解，然而如果k2不是Dc內(nèi)的廣義的Neumann特征值，它可能提供了積分方程(5)的近似解的可能性。接下來證明本篇論文的主要結(jié)論。

定理4 假定k2不是Dc內(nèi)的廣義的Neumann特征值，則有

且

R(u,vgn-Φz)=

由于u∈U*,即u是方程(1)的解，即?υu=0,則

(6)

vgn→Φz

R(u,vgn)→R(u,Φz)

即

且

R(u(·,x0),Φz)=

(7)

R(u(·,x0),Φz)=v(x0)+

再通過格林公式有

R(u(·,x0),Φz)=v(x0)-Φ(z,x0)

由式(7)可知，v(x0)-Φ(z,x0)作為Δu+k2n(x)u=0在DC內(nèi)的解可以是連續(xù)的。

另一方面，

R(u(·,x0),vgn)=

又u∈U*由邊界條件可得

假定存在一個數(shù)列{gn},gn∈L2(C),對?u∈U*,當(dāng)n→∞時，有

R(u(·,x0),vgn)→R(u(·,x0),Φz)

又由于當(dāng)n→∞時，對?x0∈C,有vgn→f, 則

?υvgn-?υf=?υ(vgn-f)→0

即對?x0∈C,當(dāng)n→∞時，有?υvgn→?υf,則當(dāng)n→∞時，有

有

Δw+k2nw=0,x0∈DC；

3 數(shù)值例子

在這一部分，我們將給出幾個數(shù)值例子來驗證我們前面兩部分理論結(jié)果的有效性。在接下來的例子中，我們選擇n=1.2,k=5。

利用交互間隙法來重構(gòu)腔體的邊界?D的步驟如下：

(i)選一個包含未知腔體的樣本點區(qū)域。在我們的例子中，樣本區(qū)域為[-1,1]2。

(ii)對于每個樣本點z,解如下正則化型的數(shù)據(jù)方程

(iii)計算指示函數(shù)I(z)。

(iv)描點畫圖I(z)。

第一個例子，我們考慮重構(gòu)一個半徑為0.5的圓，分沒有噪聲和帶1%噪聲兩種情況，結(jié)果分別見圖1(a)和1(b)。

第二個例子，我們考慮重構(gòu)一個長為0.8的正方形，結(jié)果分別見圖2。第三個例子，我們考慮重構(gòu)一個長軸長為1，短軸長為0.8的橢圓，結(jié)果分別見圖3。

如上的數(shù)值例子說明我們提出的交互間隙法來重構(gòu)腔體的邊界?D是一種有效的算法。

圖1 (a) 重構(gòu)半徑為0.5的圓(無噪音) 圖1(b) 重構(gòu)半徑為0.5的圓(有噪音)Fig.1 (a) Reconstruct a circle of radius 0.5(no noise) (b) Reconstruct a circle of radius 0.5(1% noise)

圖2 重構(gòu)邊長為0.8的正方形Fig.2 Reconstruct a square of length 0.8

圖3 重構(gòu)長軸為1，短軸為0.8的橢圓Fig.3 Reconstruct an ellipse of x-axis 1, y-axis 0.8