圓錐曲線中離心率問題的解題策略

廣西省貴港市桂平市第三中學(xué) 何漢蓮

橢圓和雙曲線的離心率是反映橢圓的扁平程度和雙曲線開放程度，求解圓錐曲線離心率是高考的熱點。在求解有關(guān)離心率的問題時，一般很少是直接求出和的值，而是根據(jù)題設(shè)結(jié)合橢圓或雙曲線的幾何特征，建立關(guān)于含有的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍，下面談?wù)劤Ｓ玫膸追N方法。

題型一 直接計算法

解析： 如圖，設(shè)|AF|=x，

點評：應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)求橢圓的離心率的技巧與方法

1.技巧：與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形.

2.方法：通過已知條件列方程組，解出a,c的值，從而求解e.

3.注意數(shù)形結(jié)合思想在求離心率中的應(yīng)用.

題型二 利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的值或取值范圍

例2 已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-y=0，則該雙曲線的離心率為___.

點評：解決有關(guān)漸近線與離心率關(guān)系問題的兩個注意點

討論.

(2)求離心率的范圍一般是根據(jù)條件建立a,b,c的不等式，通過解不等式得或的范圍，再求得離心率的范圍.

若l與C有兩個不同的交點，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.

分析：將l與C的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長；由l與C相交，知0＞Δ，從而求出a的范圍，可得離心率的范圍.

點評：知直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，用代數(shù)方法，通過判別式求解，方法簡單、思路清晰.

題型三 利用圓錐曲線的定義求離心率

例5 已知F1，F(xiàn)2雙曲線的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦.如果，求雙曲線的離心率.知

點評：求雙曲線離心率的常見方法：依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程，求出后利用求離心率.

題型四 綜合數(shù)列與a,b,c的關(guān)系求離心率

例6 若橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率.

即3a2-2ac-5c2=0，∴

點評：求e的值或范圍問題就是尋求它們的方程，若a,c的值不可求，可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式，借助于，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程，再將方程兩邊同除以的a最高次冪，得到關(guān)于e的方程，即可求得e的值.

題型五 利用幾何性質(zhì)求離心率

點評：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程知識，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

總之求圓錐曲線的離心率的常用方法有兩大類，一是求得a,c的值，直接代入公式求得；二是列出關(guān)于a,b,c的齊次方程（或不等式），然后根據(jù),消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程（或不等式）求解。另外，解關(guān)于離心率e的二次方程時，要注意利用各個圓錐曲線離心率的取值范圍進(jìn)行根的取舍，否則會產(chǎn)生增根。