張 遷，許 志，李新國(guó)

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引 言

近年來(lái)小衛(wèi)星由傳統(tǒng)的搭載開(kāi)始向商業(yè)購(gòu)買(mǎi)發(fā)射服務(wù)轉(zhuǎn)變，呈現(xiàn)個(gè)性化、定制化、眾籌化的特點(diǎn)，而小型固體運(yùn)載火箭憑借快速機(jī)動(dòng)發(fā)射、可靠性高、成本低等特點(diǎn)業(yè)已成為發(fā)射任務(wù)的首要選擇。2013年“Epsilon”火箭的成功發(fā)射，在快速響應(yīng)航天運(yùn)載器領(lǐng)域產(chǎn)生了很大震動(dòng)，其標(biāo)準(zhǔn)型采用了三級(jí)全固體火箭方案[1]。由于免去了液體火箭在臨射前加注燃料等流程，最短發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間縮短至24 h以?xún)?nèi)，在自然災(zāi)害、突發(fā)事件的應(yīng)急發(fā)射任務(wù)中具有顯著優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在商業(yè)航天領(lǐng)域同樣有著強(qiáng)大的競(jìng)爭(zhēng)力[2]。然而，相對(duì)于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，固體火箭為了提高質(zhì)量比及可靠性取消了推力終止機(jī)構(gòu)，導(dǎo)致只能采取燃料耗盡關(guān)機(jī)而不能進(jìn)行制導(dǎo)關(guān)機(jī)；此外，固體發(fā)動(dòng)機(jī)具有工作時(shí)間短、推力大等特點(diǎn)，必須采用“助推-滑行-助推”飛行模式才能保證對(duì)不同發(fā)射任務(wù)的適應(yīng)性。上述特點(diǎn)給全固體火箭的制導(dǎo)技術(shù)帶來(lái)了新的困難與挑戰(zhàn)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)上升段制導(dǎo)算法的研究主要集中在液體運(yùn)載火箭的最優(yōu)閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題。Brown等[3]針對(duì)大氣層外飛行器的在線制導(dǎo)給出了線性模型最優(yōu)解析解。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種迭代制導(dǎo)算法在線迭代求解最優(yōu)解析解的待定參數(shù)；文獻(xiàn)[5]對(duì)閉環(huán)最優(yōu)制導(dǎo)進(jìn)行梳理，總結(jié)了多種任務(wù)約束下迭代制導(dǎo)方法的最新研究成果。文獻(xiàn)[6-8]等根據(jù)變分法最優(yōu)控制原理推導(dǎo)了燃料最省的上升段軌跡最優(yōu)解，并分別采用了多重打靶法、有限差分法、配點(diǎn)法等數(shù)值算法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[9-10]開(kāi)展了固體火箭上升段彈道快速設(shè)計(jì)方法研究，設(shè)計(jì)了基于Gauss偽譜法的軌跡優(yōu)化策略使軌跡優(yōu)化效率進(jìn)一步提高。對(duì)于液體火箭或具有液體上面級(jí)的固體火箭，上述算法能夠在滿(mǎn)足終端約束的同時(shí)保證飛行軌跡的最優(yōu)性；然而，針對(duì)耗盡關(guān)機(jī)的全固體運(yùn)載火箭，必須考慮剩余能量管控與發(fā)動(dòng)機(jī)大散差抑制等問(wèn)題，這與以燃料最省的液體運(yùn)載火箭制導(dǎo)方法有顯著的差別。因此，在快速響應(yīng)需求下全固體運(yùn)載火箭制導(dǎo)必須解決具有固定總沖約束的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。

而固體火箭制導(dǎo)算法的研究主要是對(duì)經(jīng)典的閉路制導(dǎo)[11-13]進(jìn)行改進(jìn)。針對(duì)閉路制導(dǎo)魯棒性問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]考慮發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)散布特性，提出需用速度增益曲面的概念并設(shè)計(jì)了基于該概念的大氣層外導(dǎo)引方法。針對(duì)以軌道根數(shù)為終端約束的制導(dǎo)問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]根據(jù)實(shí)時(shí)飛行狀態(tài)與軌道根數(shù)之間的關(guān)系推導(dǎo)出需要速度求解方程，并應(yīng)用于發(fā)射近圓軌道的閉路制導(dǎo)控制中。文獻(xiàn)[13]考慮了地球非球形J2攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)彈道的影響，改進(jìn)了需要速度求解算法以修正地球引力攝動(dòng)在長(zhǎng)時(shí)段飛行過(guò)程中引起的求解偏差。由于未考慮耗盡關(guān)機(jī)方式下火箭的速度管控問(wèn)題，上述閉路制導(dǎo)算法無(wú)法直接應(yīng)用于具有軌道能量約束的太陽(yáng)同步軌道(SSO)發(fā)射任務(wù)。針對(duì)耗盡關(guān)機(jī)能量管理問(wèn)題，文獻(xiàn)[14-16]等通過(guò)設(shè)計(jì)不同的能量管理曲線來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)耗盡關(guān)機(jī)速度矢量的管控。但是，上述算法由于以需要速度矢量為導(dǎo)引量而忽略了制導(dǎo)過(guò)程中位置矢量變化對(duì)終端約束產(chǎn)生的影響，故針對(duì)終端多約束條件的入軌任務(wù)其制導(dǎo)精度較差，魯棒性無(wú)法保證。

為滿(mǎn)足終端多軌道根數(shù)約束，文獻(xiàn)[17-20]根據(jù)軌道動(dòng)量矩守恒定律推導(dǎo)出具有速度矢量及位置矢量約束的定點(diǎn)制導(dǎo)算法。本文在PA[20]制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種適應(yīng)于多子級(jí)“助推-滑行-助推”模式的制導(dǎo)算法，通過(guò)具有軌道能量約束的滑行過(guò)渡軌道將多級(jí)推進(jìn)段制導(dǎo)統(tǒng)一起來(lái)，根據(jù)當(dāng)前飛行狀態(tài)與終端軌道根數(shù)約束推導(dǎo)出滿(mǎn)足發(fā)動(dòng)機(jī)耗盡關(guān)機(jī)條件的過(guò)渡軌道求解方程，進(jìn)而確定出軌道根數(shù)約束與火箭點(diǎn)火時(shí)間及推力矢量方向的數(shù)學(xué)關(guān)系。

1 固體火箭上升段制導(dǎo)問(wèn)題

1.1 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型

在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下運(yùn)載火箭質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程[20]表示為：

(1)

T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，軸向和法向氣動(dòng)力分別為A和N，其表達(dá)式為：

A=qSCA，N=qSCN

xb和yb分別表示彈體軸向和法向。固體運(yùn)載火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小與秒流量不可調(diào)節(jié)，式(1)中實(shí)際上需要確定出彈體方向xb的控制指令，使運(yùn)載火箭以耗盡關(guān)機(jī)的方式滿(mǎn)足入軌約束條件。當(dāng)運(yùn)載火箭進(jìn)入真空環(huán)境，大氣壓強(qiáng)P(h)產(chǎn)生的推力及火箭所受的氣動(dòng)力予以忽略，運(yùn)載火箭所受的氣動(dòng)載荷及氣動(dòng)角等過(guò)程約束也隨之消失，為自主制導(dǎo)算法的設(shè)計(jì)提供了更大的空間。由于大氣層內(nèi)飛行軌跡的偏差可以通過(guò)大氣層外自主制導(dǎo)算法進(jìn)行修正，本文重點(diǎn)研究大氣層外多約束自主制導(dǎo)算法。

1.2 實(shí)際推力非線性問(wèn)題

固體發(fā)動(dòng)機(jī)能夠提供的視速度模量WM隨推進(jìn)劑質(zhì)量ms變化的表達(dá)式為：

(2)

在耗盡關(guān)機(jī)模式下，當(dāng)推進(jìn)劑質(zhì)量ms確定則視速度模量WM為常值。視位置模量RM隨推進(jìn)劑質(zhì)量ms變化的表達(dá)式為：

(3)

發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)推進(jìn)過(guò)程的形心時(shí)間Tc表達(dá)式為：

(4)

然而，發(fā)動(dòng)機(jī)在燃燒過(guò)程中由于外界壓強(qiáng)、溫度等環(huán)境因素以及燃燒過(guò)程化學(xué)反應(yīng)程度的影響，實(shí)際性能參數(shù)與工況條件下相比偏差較大，非線性程度較液體發(fā)動(dòng)機(jī)更為明顯，如圖1所示。

圖1 固體發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)曲線在高低溫條件下散布示意圖Fig.1 Profile of the performance distribution with solid motor thrust-time diagrammatic drawing

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量ms一定時(shí)，圖1中不同條件下曲線所圍的面積是相同的，式(2)依然成立，即視速度模量為常值，但視位置模量隨著秒流量的散布而產(chǎn)生偏差。由于火箭在實(shí)際飛行過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)真實(shí)燃燒曲線無(wú)法提前獲知，發(fā)動(dòng)機(jī)模型的不確定性及非線性使制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)更為困難，最優(yōu)化制導(dǎo)算法通常未考慮實(shí)際非線性推力散布模型或者認(rèn)為發(fā)動(dòng)機(jī)的模型提前已知，因此無(wú)法直接應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題。針對(duì)上述發(fā)動(dòng)機(jī)特性，要求制導(dǎo)律在滿(mǎn)足約束條件下盡可能減小姿態(tài)角變化率以增加終端制導(dǎo)精度。

1.3 耗盡關(guān)機(jī)多約束問(wèn)題

運(yùn)載火箭的終端約束為衛(wèi)星載荷的軌道要素，通常軌道根數(shù)約束為半長(zhǎng)軸a、偏心率矢量e及軌道傾角i等，表達(dá)式如下：

(5)

固體運(yùn)載火箭入軌任務(wù)約束為軌道要素方程式(5)，由于終端軌道根數(shù)約束條件的不同，運(yùn)載火箭受到約束的狀態(tài)量也隨之改變。此外，由于固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)以燃料耗盡的方式關(guān)機(jī)，推進(jìn)段發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的總速度增量和總位置增量為定值，滿(mǎn)足式(2)及式(3)約束。

固體運(yùn)載火箭由于在大氣層外通常采取“助推-滑行-助推”飛行模式，即在滑行階段確定發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間，在推進(jìn)階段確定制導(dǎo)指令，使式(1)滿(mǎn)足終端約束。因此，針對(duì)全固體運(yùn)載火箭，制導(dǎo)算法本質(zhì)上是求解具有固定總沖約束的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，而其算法的核心則是：

(1) 推導(dǎo)出推力矢量、點(diǎn)火時(shí)間與終端狀態(tài)約束之間的理論關(guān)系；

(2) 確定能量匹配的滑行過(guò)渡軌道以保證推進(jìn)段耗盡關(guān)機(jī)約束要求。

2 PA制導(dǎo)算法

2.1 PA理論基礎(chǔ)

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力脈沖大，工作時(shí)間短，可以快速產(chǎn)生瞬時(shí)速度沖量，此時(shí)火箭彈體方向沿著速度沖量方向[11-13]。實(shí)際上，發(fā)動(dòng)機(jī)需要經(jīng)過(guò)額定工作時(shí)間才能完全耗盡產(chǎn)生相應(yīng)的速度沖量，PA制導(dǎo)算法主要研究“瞬時(shí)脈沖矢量”與“定向持續(xù)推力矢量”在實(shí)現(xiàn)入軌任務(wù)時(shí)的理論關(guān)系[17-20]。因此，假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)推進(jìn)過(guò)程中推力矢量方向始終沿著速度沖量方向Γ。詳細(xì)理論推導(dǎo)過(guò)程參考文獻(xiàn)[20]。

當(dāng)運(yùn)載火箭在真空環(huán)境中以定向的推力矢量方向飛行，其動(dòng)力學(xué)方程為：

(6)

式中，由引力產(chǎn)生的狀態(tài)分量表達(dá)式為：

式(6)所描述的運(yùn)載火箭運(yùn)動(dòng)方程可分解為：沿原來(lái)的開(kāi)普勒軌道繼續(xù)滑行及沿定向推力的作用產(chǎn)生位移矢量和速度矢量，表達(dá)式如下：

(7)

那么，持續(xù)推力過(guò)程引起運(yùn)載火箭動(dòng)量矩的變化為：

ΔH=mfrorb, f×vorb, f-m0r0×v0

(8)

將式(7)代入式(8)得到：

ΔH=mf(rsub, f×vsub, f+rsub, f×WMΓ+

RM?！羦sub, f+RMΓ×WMΓ)-m0r0×v0

(9)

化簡(jiǎn)式(9)并整理得：

ΔH=mfrsub, f×vsub, f-m0r0×v0+

mf[rsub, f-(RM/WM)vsub, f]×(WMΓ)

(10)

在過(guò)渡軌道面和目標(biāo)軌道面確定出軌道面交線Rimp，軌道相關(guān)參數(shù)的矢量關(guān)系如圖2所示。

圖2 PA制導(dǎo)算法運(yùn)動(dòng)分解圖Fig.2 Motion analysis of pointing guidance method

令等效位置矢量rimp為：

rimp=rsub, f-(RM/WM)vsub, f

(11)

將式(11)代入式(10)得：

ΔH=mfrimp×(vsub,imp+WMΓ)-m0rimp×vimp

(12)

式(12)表明：“定向持續(xù)推進(jìn)過(guò)程”對(duì)軌跡的改變與在等效脈沖點(diǎn)Pimp處施加“瞬時(shí)脈沖矢量”對(duì)軌跡的影響等效。

2.2 PA制導(dǎo)指令解算

運(yùn)載火箭的狀態(tài)矢量(r,v) 通常建立在地面發(fā)射坐標(biāo)系，通過(guò)地心慣性赤道坐標(biāo)系與發(fā)射系之間的變換矩陣得到火箭的慣性狀態(tài)矢量，從而得到相應(yīng)的軌道根數(shù)。在軌道面交點(diǎn)Pimp處，速度矢量關(guān)系如圖3所示,通過(guò)滑行軌道參數(shù)求得：

圖3 軌道交點(diǎn)處速度矢量關(guān)系Fig.3 Vector diagram of the orbit intersection point

(13)

同樣地，根據(jù)目標(biāo)軌道參數(shù)得到：

(14)

根據(jù)式(13)和式(14)，求解出軌道面交點(diǎn)Pimp處的真近點(diǎn)角、切向速度及法向速度。同時(shí)根據(jù)軌道傾角i和Pimp的經(jīng)度、緯度，求解出速度矢量的方位角Asub和Aorb。因此，在兩軌道交點(diǎn)Pimp處速度矢量表示如下：

(15)

進(jìn)而得到PA制導(dǎo)所需的速度矢量大小和方向：

(16)

軌道面交點(diǎn)Pimp根據(jù)終端軌道根數(shù)約束而求得，則火箭從當(dāng)前點(diǎn)飛行至交點(diǎn)Pimp處的時(shí)間為：

(17)

timp-sub, f=timp+RM/WM

(18)

根據(jù)式(4)、式(17)和式(18)得運(yùn)載火箭點(diǎn)火時(shí)間為：

ta-ig=ta-imp-Tc

(19)

綜上所述，以定向推力矢量的方式進(jìn)行制導(dǎo)時(shí)，終端軌道位置矢量約束通過(guò)滑行軌道的點(diǎn)火時(shí)間式(19)來(lái)滿(mǎn)足，速度矢量約束通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)定向推力矢量式(16)來(lái)滿(mǎn)足，從而滿(mǎn)足終端多軌道根數(shù)約束。

3 多子級(jí)改進(jìn)PA算法

3.1 PA理論拓展

對(duì)于耗盡關(guān)機(jī)的固體運(yùn)載火箭，由于無(wú)法制導(dǎo)關(guān)機(jī)，火箭對(duì)速度、位置的管控能力受限。為滿(mǎn)足終端多軌道要素約束條件，單子級(jí)火箭采取附加姿態(tài)機(jī)動(dòng)的方式耗散多余能量，導(dǎo)致姿態(tài)角速率變化劇烈；多子級(jí)火箭可以通過(guò)“助推-滑行-助推”的模式，使火箭的動(dòng)能與勢(shì)能轉(zhuǎn)換，通過(guò)最佳的滑行軌道來(lái)匹配各級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的總沖量，能量管控的實(shí)現(xiàn)機(jī)理如圖4所示。

圖4 多子級(jí)改進(jìn)PA算法能(MPA)量匹配過(guò)程示意圖Fig.4 Profiles of the energy matching process by the MPA

在式(12)基礎(chǔ)上，多子級(jí)火箭持續(xù)推力過(guò)程引起的軌道動(dòng)量矩變化為：

ΔH=mnrn×vn-…-m1r1×v1-m0r0×v0

(20)

根據(jù)PA理論，將式(12)代入式(20)得：

ΔH=mnrn,imp×(vn,imp+WM,nΓn)-…-

m1r1,imp×(v1,imp+WM,1Γ1)-m0r1,imp×v1,imp

(21)

各級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)過(guò)程中動(dòng)量矩的變化通過(guò)脈沖點(diǎn)ri,imp(i∈[1,n]) 聯(lián)系起來(lái)。為滿(mǎn)足耗盡關(guān)機(jī)條件，由式(21)、式(16)及式(2)得：

Wi,PA=WM,i,i=1,2,…,n

(22)

根據(jù)終端軌道根數(shù)約束式(5)，通過(guò)改變定向推力矢量方向Γi(i∈[1,n])來(lái)達(dá)到耗盡關(guān)機(jī)終端多約束條件?；鸺麟A段的點(diǎn)火時(shí)間根據(jù)式(17)得：

(23)

3.2 改進(jìn)算法降階求解

以PA理論為基礎(chǔ)，滑行過(guò)渡軌道將多子級(jí)耗盡關(guān)機(jī)問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)，根據(jù)滑行軌道參數(shù)解算推力矢量方向Γ。以四子級(jí)全固體運(yùn)載火箭發(fā)射SSO軌道為例，求解最佳能量匹配滑行軌道參數(shù)。

根據(jù)終端軌道根數(shù)條件及SSO軌道偏心率eorb為零得：

(24)

根據(jù)開(kāi)普勒軌道的性質(zhì)，火箭處于滑行軌道階段，軌道動(dòng)量矩和軌道能量守恒，因此當(dāng)前軌道參數(shù)與運(yùn)載火箭狀態(tài)量滿(mǎn)足：

(25)

同樣地，滑行過(guò)渡軌道參數(shù)與運(yùn)載火箭狀態(tài)量滿(mǎn)足：

(26)

其中,v0⊥,v1,orb⊥,v2,sub⊥分別表示在點(diǎn)P0，P1,imp，P2,imp處的徑向速度分量。在軌道交點(diǎn)Pi,imp處速度矢量方向如圖3所示，相應(yīng)的表達(dá)式為：

(27)

由于軌道傾角的調(diào)整發(fā)生在P1,imp處完成，火箭的后續(xù)飛行將處于軌道面內(nèi)，將終端約束式(24)代入式(26)，并根據(jù)矢量方向關(guān)系式(27)得：

(28)

同樣地，將滑行過(guò)渡軌道約束式(28)代入式(25)，并根據(jù)矢量關(guān)系式(27)得：

(29)

根據(jù)運(yùn)載火箭導(dǎo)航解算的狀態(tài)向量(r,v) 及等式方程組式(25)、式(26)、式(28)和式(29)，解算滿(mǎn)足耗盡關(guān)機(jī)多約束條件下的推力矢量方向Γ。上述方程組為超越方程無(wú)法直接獲得解析解，為保證算法的有效性，以v1,orb為迭代變量，將非線性方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維求根問(wèn)題，具體流程如下：

(1) 確定迭代變量v1,orb區(qū)間[v1,sub,v1,sub+WM,1]：由于火箭處于上升段有v1,orb≥v1,sub，根據(jù)速度矢量得v1,orb≥v1,sub+WM,1。

(2) 解算推力矢量方向Γ2，從而得到切向速度v2,sub⊥；根據(jù)軌道能量方程式(26)和約束式(28)，得：

(30)

(31)

因此，更新后的速度為：

cos(?1,sub-Γ1,φ)

(32)

(5) 根據(jù)v1,orb和v2,sub⊥解算最佳能量匹配滑行軌道參數(shù)：

(33)

運(yùn)載火箭在實(shí)際飛行過(guò)程中，由于受到干擾及不確定性的影響或發(fā)生非災(zāi)難性故障導(dǎo)致原定飛行任務(wù)無(wú)法現(xiàn)實(shí)。在這種特殊情況下，運(yùn)載火箭由于后續(xù)運(yùn)載能力的不足，使原方程的收斂解處于流程(1)的迭代區(qū)間之外，導(dǎo)致迭代算法失效。針對(duì)上述問(wèn)題，制導(dǎo)算法需要根據(jù)當(dāng)前運(yùn)載火箭的飛行條件在線調(diào)整飛行任務(wù)約束以保證火箭的飛行安全，飛行任務(wù)的終端軌道根數(shù)調(diào)整過(guò)程如圖5所示。

圖5 飛行任務(wù)調(diào)整示意圖Fig.5 The adjustment process of trajectory geometry

根據(jù)軌道根數(shù)表達(dá)式(5)可知，軌道半長(zhǎng)軸是軌道能量的函數(shù)，因此，通過(guò)降低軌道半長(zhǎng)軸使原方程的收斂解處于流程(a)的迭代區(qū)間內(nèi)，以保證運(yùn)載火箭盡可能地實(shí)現(xiàn)原定飛行任務(wù)。對(duì)于一維求根問(wèn)題，當(dāng)方程的解在迭代區(qū)間內(nèi)時(shí)，黃金分割法在迭代10～20步以?xún)?nèi)可獲得高精度解，根據(jù)式(33)計(jì)算滿(mǎn)足能量約束的滑行過(guò)渡軌道參數(shù)，然后根據(jù)式(16)解算導(dǎo)航坐標(biāo)系內(nèi)的制導(dǎo)指令，并根據(jù)式(19)計(jì)算火箭點(diǎn)火時(shí)間。隨著火箭持續(xù)飛行，多級(jí)問(wèn)題將轉(zhuǎn)換為單級(jí)問(wèn)題，根據(jù)式(16)和式(19)在線解算制導(dǎo)指令，直至火箭進(jìn)入目標(biāo)軌道。

4 仿真校驗(yàn)與性能評(píng)估

飛行任務(wù)以太陽(yáng)同步軌道(SSO)為例，考慮地球自旋角速度及引力J2項(xiàng)攝動(dòng)。本文研究對(duì)象采用四子級(jí)全固體運(yùn)載火箭，其制導(dǎo)算法流程如圖6所示，制導(dǎo)方案如下所述。

1) 大氣層內(nèi)采用開(kāi)環(huán)方案飛行，二級(jí)耗盡關(guān)機(jī)后，運(yùn)載火箭位于大氣層外飛行軌跡的偏差以導(dǎo)航輸入的方式提供給自主制導(dǎo)算法。

2) 運(yùn)載火箭第三子級(jí)采用多級(jí)改進(jìn)PA算法，在線解算出最佳能量匹配軌道，通過(guò)調(diào)整滑行過(guò)渡軌道的能量與動(dòng)量矩，使發(fā)動(dòng)機(jī)總能量與飛行任務(wù)相匹配，以彌補(bǔ)發(fā)動(dòng)機(jī)采用耗盡關(guān)機(jī)時(shí)運(yùn)載火箭對(duì)速度矢量管控的不足。

3) 由于第三子級(jí)已經(jīng)考慮了發(fā)動(dòng)機(jī)多余能量的消耗問(wèn)題，運(yùn)載火箭第四子級(jí)只需通過(guò)PA制導(dǎo)算法確定實(shí)際點(diǎn)火時(shí)間及推力矢量方向，即可使運(yùn)載火箭以耗盡關(guān)機(jī)的方式進(jìn)入目標(biāo)軌道。

4) 第四子級(jí)耗盡關(guān)機(jī)時(shí)，火箭基本滿(mǎn)足入軌參數(shù)約束，末修級(jí)由于燃料的限制，主要小幅度修正速度偏差。

圖6 制導(dǎo)方案流程圖Fig.6 Flow chart of the guidance scheme

制導(dǎo)算法所需要的諸元參數(shù)按標(biāo)稱(chēng)值預(yù)先裝訂，在仿真模型中偏差散布及不確定性對(duì)飛行軌跡的影響以導(dǎo)航輸入的方式供制導(dǎo)算法在線解算制導(dǎo)指令，各項(xiàng)隨機(jī)偏差由每次打靶隨機(jī)產(chǎn)生，且服從正態(tài)分布，其中發(fā)動(dòng)機(jī)模型采用實(shí)際內(nèi)彈道推力曲線，并通過(guò)高低溫的形式表征發(fā)動(dòng)機(jī)性能散差，模型不確定性及散差分布見(jiàn)表1。

表1 蒙特卡洛仿真散差配置表Table 1 Dispersions in Monte Carlo simulations

4.1 多軌道任務(wù)自適應(yīng)性分析

為驗(yàn)證制導(dǎo)算法對(duì)發(fā)射任務(wù)的適應(yīng)性，考慮700 km SSO軌道最大載荷、空載荷兩種典型情況，并以最大載荷方案設(shè)置終端軌道高度為300 km、700 km兩種常用衛(wèi)星軌道，終端狀態(tài)約束見(jiàn)表2。根據(jù)所設(shè)置的三種典型發(fā)射任務(wù)條件，各方案分別進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真，其散差配置見(jiàn)表1。其中，火箭軌道地心距變量以終端地心距約束值進(jìn)行單位化，絕對(duì)速度變量以終端入軌速度約束值進(jìn)行單位化，三種發(fā)射任務(wù)條件下的蒙特卡洛仿真曲線簇繪制結(jié)果如圖7所示。

表2 運(yùn)載火箭發(fā)射任務(wù)配置表Table 2 Missions and terminal state constraints in Monte Carlo

圖7(b)絕對(duì)速度變化曲線簇中出現(xiàn)飛行過(guò)程絕對(duì)速度超過(guò)目標(biāo)速度的情況，因?yàn)?00 km滿(mǎn)載與700 km空載分別對(duì)應(yīng)軌道高度的變化與有效載荷質(zhì)量的改變，使運(yùn)載火箭均存在發(fā)動(dòng)機(jī)能量過(guò)剩的情況，通過(guò)在線自主制導(dǎo)算法使?fàn)顟B(tài)量均達(dá)到目標(biāo)值，表明制導(dǎo)算法對(duì)不同任務(wù)的適應(yīng)性，且針對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)不同程度的能量過(guò)剩情況均能達(dá)到耗盡關(guān)機(jī)條件。

圖7(a)～圖7(d)中各狀態(tài)量曲線隨時(shí)間推移均達(dá)到目標(biāo)值，表明了制導(dǎo)算法的終端約束能力；

圖7 蒙特卡洛仿真狀態(tài)矢量曲線簇Fig.7 Profiles of the states run for Monte Carlo simulation

雖然偏差干擾源使運(yùn)載火箭飛行軌跡改變，但應(yīng)用在線自主制導(dǎo)算法后狀態(tài)量通過(guò)不同的曲線形式均達(dá)到目標(biāo)值，表明了制導(dǎo)算法對(duì)終端狀態(tài)的高精度約束能力，其中曲線簇的寬度代表了制導(dǎo)算法對(duì)各干擾源的魯棒性。

4.2 制導(dǎo)精度與魯棒性分析

運(yùn)載火箭以軌道根數(shù)為終端約束條件，飛行狀態(tài)矢量(r,v) 與軌道根數(shù)滿(mǎn)足相互對(duì)應(yīng)關(guān)系式，但不同的軌道根數(shù)對(duì)狀態(tài)矢量的敏感度不同。軌道半長(zhǎng)軸受速度大小的影響比較明顯，軌道偏心率與軌道傾角對(duì)速度矢量方向更為敏感。第4.1節(jié)仿真結(jié)果校驗(yàn)了PA制導(dǎo)算法對(duì)終端狀態(tài)的約束能力，而針對(duì)多子級(jí)間軌道能量匹配與耗盡關(guān)機(jī)問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)載火箭飛行過(guò)程中軌道能量與動(dòng)量矩的變化，來(lái)驗(yàn)證多級(jí)PA改進(jìn)算法的自主性、制導(dǎo)精度及魯棒性。軌道能量與動(dòng)量矩的變化如圖8所示。

圖8 多級(jí)PA自主能量匹配仿真曲線簇Fig.8 Profiles of the energy matching process by the multistage pointing algorithm

針對(duì)不同的發(fā)射任務(wù)，通過(guò)多級(jí)PA改進(jìn)算法在線解算滑行過(guò)渡軌道根數(shù)約束條件，使發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的速度矢量增量與實(shí)現(xiàn)軌道任務(wù)所需的速度矢量相匹配，來(lái)滿(mǎn)足固體火箭耗盡關(guān)機(jī)條件。在不同初始條件下圖8(a)軌道能量變化和圖8(b)動(dòng)量矩變化均達(dá)到終端約束值，展現(xiàn)出制導(dǎo)算法的自主性，同時(shí)也體現(xiàn)出算法對(duì)不同干擾的魯棒性。

由圖9可知，終端偏差比較集中且散布較小，但依然存在野點(diǎn)，半長(zhǎng)軸偏差的最大值為1520.9 m，軌道傾角偏差的最大值為1.4×10-2(°)。主要原因?yàn)椋阂环矫妫髿鈱觾?nèi)未加橫法向?qū)б拈_(kāi)環(huán)飛行，受氣動(dòng)及風(fēng)干擾影響導(dǎo)致飛行軌跡偏差較大；另一方面，發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)的偏差既不能提前獲知也無(wú)法在線測(cè)量，導(dǎo)致耗盡關(guān)機(jī)點(diǎn)必然存在狀態(tài)偏差。

3000次蒙特卡洛仿真的終端軌道要素偏差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3，不同發(fā)射任務(wù)條件下仿真曲線簇的終端入軌根數(shù)偏差如圖9所示。根據(jù)表3可得，半長(zhǎng)軸偏差的數(shù)學(xué)期望值小于百米級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)差小于200 m；偏心率的數(shù)學(xué)期望值與標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到10-4量級(jí)；軌道傾角的數(shù)學(xué)期望值達(dá)到10-3(°)量級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到10-2(°)量級(jí)。末修級(jí)燃料的平均值為6.5757 kg，最大值為14.761 kg，標(biāo)準(zhǔn)差小于1.7213 kg。數(shù)據(jù)結(jié)果表明，本文所提制導(dǎo)算法對(duì)制導(dǎo)關(guān)機(jī)的液體末修發(fā)動(dòng)機(jī)依賴(lài)不強(qiáng)，對(duì)耗盡關(guān)機(jī)的固體發(fā)動(dòng)機(jī)依然具有高精度終端約束能力。

圖9 終端軌道要素偏差散布Fig.9 Drogue deployment accuracy

5 結(jié) 論

1) PA制導(dǎo)算法根據(jù)軌道動(dòng)量矩矢量方程并引入了速度矢量及位置矢量約束條件，推導(dǎo)出點(diǎn)火時(shí)間令與推力矢量求解方程，具有終端多軌道要素約束能力。

表3 蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Monte Carlo simulations statistic results

2) 多級(jí)改進(jìn)PA算法，通過(guò)具有軌道能量約束的滑行過(guò)渡軌道建立多級(jí)能量匹配方程組，針對(duì)不同的發(fā)射任務(wù)具有在線解算制導(dǎo)指令并滿(mǎn)足耗盡關(guān)機(jī)多終端約束的能力。

3) 在載荷最大條件下，運(yùn)載火箭幾乎無(wú)剩余能量，因此消耗末修級(jí)燃料較多；而在剩余能量過(guò)多的條件下，干擾源的影響使耗盡關(guān)機(jī)點(diǎn)存在狀態(tài)偏差并通過(guò)滑行軌道進(jìn)一步放大，使制導(dǎo)算法的魯棒性降低。

4) 整體制導(dǎo)方案具有很高的制導(dǎo)精度，對(duì)所配置的干擾源具有很強(qiáng)的魯棒性，對(duì)不同的發(fā)射任務(wù)要求具有很強(qiáng)的自主性。