鏡像單元周期性固液聲子晶體中諧振的研究

席 鋒，陳 剛

(1.重慶工商大學(xué) 檢測控制集成系統(tǒng)重慶市市級工程實驗室, 重慶 400067;2.重慶工商大學(xué) 計算機科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

0 引言

聲子晶體是不同密度的介質(zhì)周期性交替排布的人工材料。聲波在這種周期性結(jié)構(gòu)中傳輸時，由于Bragg多重散射某些頻率的聲波因相干相消而成為聲子禁帶，某些頻率的聲波因相干相長而形成聲子允帶，即產(chǎn)生了聲子帶隙。故利用聲子晶體的帶隙特性可以有效地控制彈性波的傳播[1-10]。聲波在固體介質(zhì)中傳播時有P波和S波兩種形式，但在理想液體中，由于只能產(chǎn)生容變不能產(chǎn)生切變，故僅傳輸縱波。文獻(xiàn)[7-10]采用傳輸矩陣法研究了縱波在一維(AB)結(jié)構(gòu)周期聲子晶體中的傳輸特性。但在多層結(jié)構(gòu)中，由于相位因子的累積，傳輸矩陣的計算結(jié)果穩(wěn)定性較差。因此，本文利用散射矩陣法研究縱波在(ABBA)周期結(jié)構(gòu)固液聲子晶體中的傳輸特性。由于每一個單元都可看成一個諧振腔，周期性(ABBA)結(jié)構(gòu)的聲子晶體，相當(dāng)于多個諧振腔串聯(lián)。由于腔的諧振作用， 聲波在其中的傳輸特性和新現(xiàn)象，是值得研究的問題。

1 模型及原理

一維鏡像周期單元聲子晶體，由兩種不同的固體介質(zhì)A和B以ABBA的順序交替排布形成，介質(zhì)密度分別為ρ1、ρ2，厚度分別為d1、d2，空間周期d= 2(d1+d2)，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 鏡像單元聲子晶體結(jié)構(gòu)

聲縱波從端面入射，進(jìn)入多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)中后，在每層介質(zhì)中都有前向波和反向波。忽略時間因子，其聲壓p解為

p=a+exp(-ikz) +b-exp(ikz)

(1)

式中:a+和b-分別為前行波和后行波的幅值，上標(biāo)“+”和“-”分別為z的正向和反向;k為聲波次矢。

彈性波在相鄰層的前、后向波的振幅與散射矩陣S聯(lián)系起來，則

(2)

式中al，bl，al+1和bl+1分別為l和(l+1)層的前、后向波的振幅。另外，al，bl，al+1和bl+1的關(guān)系又可由界面轉(zhuǎn)移矩陣表示為

(3)

式中：fl為相位因子，且fl=exp(ikldl)；dl為第l層介質(zhì)的物理厚度;mij為矩陣中的元素。由式(2)和(3)可得到彈性波在單層介質(zhì)中的散射矩陣。根據(jù)Bloch定理，m(l,l+4)即為一個周期單元中的散射矩陣，由此可得其色散關(guān)系。因此，彈性波在整個分層結(jié)構(gòu)中的傳輸，入射界面和出射界面波的振幅用總的散射矩陣表示為

(4)

其中

(5)

(6)

S21(0,n)=S22(0,n-1)M21S11(0,n)+

S21(0,n-1)

(7)

S22(0,n)=S22(0,n-1)M21S12(0,n)+

S22(0,n-1)M22fn+1

(8)

初始條件S(0,0)=I，(I為單位矩陣)。通過迭代算法，即可得到彈性縱波在該結(jié)構(gòu)中傳輸?shù)目偵⑸渚仃?。在S(0,n)的各元素中，未出現(xiàn)相位因子的累積，故具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性。在出射介質(zhì)中無反射波，即波的反射系數(shù)bn=0，由式(5)～(8)可得反射波和透射波的振幅為

an=a0S11(0,n)

(9)

b0=a0S21(0,n)

(10)

式中：a0為入射波振幅；an為透射波振幅；b0為端面反射波振幅。相應(yīng)地，透射率和反射率為

(11)

(12)

2 帶隙結(jié)構(gòu)

聲縱波以入射角θ0入射一維固液結(jié)構(gòu)聲子晶體(ABBA)N，設(shè)周期數(shù)N=4，固體介質(zhì)A層為氧化鎂，其密度ρ1= 1 740 kg/m3,縱波波速為c1L=5 790 m/s,橫波波速為c1T=3 100 m/s,厚度d1=c1L/(4f0)；液體介質(zhì)B層為水，其密度ρ2=1 000 kg/m3、波速c2=1 480 m/s、厚度d2=c2/(4f0)；假設(shè)入射、出射空間介質(zhì)也是水。令歸一化頻率g=f/f0，f為入射縱波的頻率，取中心頻率f0=100 kHz。

由Bloch定理可得無限周期(ABBA)結(jié)構(gòu)聲子晶體的色散關(guān)系，其 Bloch波矢(κd)與歸一化頻率的關(guān)系如圖2所示。 (ABBA)與(AB)型無限周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)不同，(ABBA)型的帶隙寬度只有(AB)型帶隙寬度的一半[11]；這使允帶中心出現(xiàn)在倍頻處，禁帶中心呈現(xiàn)在(N-0.5)g處，N為整數(shù)。

圖2 鏡像單元聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)

3 傳輸特性

色散關(guān)系反映了聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征，但還不能反映聲縱波在其中的傳輸規(guī)律，而透射譜可以彌補這一不足。由式(9)、(10)可得聲縱波以不同入射角進(jìn)入 (ABBA)4結(jié)構(gòu)的聲子晶體中的傳輸特性。

3.1 正入射傳輸特性

圖3為聲縱波正入射時透射率與歸一化頻率的關(guān)系。此時，允帶的特性并不完全相同，在奇數(shù)倍頻允帶中出現(xiàn)6條品質(zhì)因數(shù)很高的諧振透射峰，而在偶數(shù)倍頻處出現(xiàn)5條較弱的諧振透射峰。這一現(xiàn)象可以解釋為：由于入射、出射端也為介質(zhì)B，故在(ABBA)4結(jié)構(gòu)中，介質(zhì)B有6層，而介質(zhì)A有5層，諧振峰數(shù)與介質(zhì)層數(shù)相對應(yīng)；在該固液聲子晶體中c2

圖3 SH波在鏡像單元聲子晶體中的透射

3.2 斜入射的諧振特性

聲縱波以不同角度斜入射該聲子晶體中時的透射如圖4所示。此時透射譜線沒有明顯的規(guī)律性，但諧振明顯增強。在圖4(a)中，入射角為10°，奇數(shù)倍頻附近的諧振峰減少，而偶數(shù)倍頻附近的諧振顯著增強?；l和二倍頻處諧振峰頻移很小，但三、四倍頻附近的諧振峰明顯向高頻(短波)方向移動。

圖4 不同角度斜入射時縱波的透射

聲縱波在介質(zhì)B、A中的傳播速度c0

1) 隨入射的增大，透射譜寬減小(允帶變窄)，諧振透射的振幅減小。

2) 諧振峰均偏離倍頻點，向高頻方向移動。

3) 入射角大于θc時(見圖4(c))，透射譜中的諧振帶變窄，且隨著頻率增加面減小。這表明，此時產(chǎn)生了諧振隧穿效應(yīng)。當(dāng)聲縱波以25°入射時，低頻處仍有一允帶，但此時高頻諧振消失，僅在0.85g附近出現(xiàn)弱諧振透射(見圖4(d))。以此推理，當(dāng)入射角增大到某一值時，將不再有聲縱波透射。

由圖4(c)、(d)表明，聲縱波以大于臨界角入射該聲子晶體時，出射端仍有透射波，稱此為全反射的隧穿效應(yīng)。這一現(xiàn)象可由倏逝波解釋：在入射端介質(zhì)B、A的界面上大于臨界角入射的縱波，并非完全不能進(jìn)入介質(zhì)A中，而是以倏逝波進(jìn)入介質(zhì)A約一個波長的深度，稱為趨膚深度[13]。由于介質(zhì)A只有1/4(或1/2)波長厚度，故該倏逝波可以從介質(zhì)A中透射并繼續(xù)傳播，由于結(jié)構(gòu)的諧振作用，進(jìn)而從該一維聲子晶體中透射，產(chǎn)生了諧振隧穿效應(yīng)。

4 結(jié)束語

本文利用散射矩陣法，研究了一維(ABBA)鏡像單元固液體介質(zhì)周期聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性。其周期單元(ABBA)的介質(zhì)厚度是(AB)周期聲子晶體的2倍，相反，(ABBA)結(jié)構(gòu)的帶隙寬度只有(AB)結(jié)構(gòu)帶隙的一半。由于(ABBA)鏡像單元自身形成諧振腔，聲縱波在介質(zhì)B中的傳播速度小于在介質(zhì)A中的傳播速度，對波有更強的局域作用，從而產(chǎn)生了更強的局域諧振透射峰。進(jìn)而，當(dāng)聲縱波以大于臨界角入射時，在透射譜中形成了強烈的諧振隧穿，這一現(xiàn)象可以用倏逝波的趨膚深度來解釋。并且，聲緣分波在(ABBA)周期結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的諧振隧穿效應(yīng)較(AB)周期結(jié)構(gòu)更強烈。但是，即使在全反射條件下，只要透射波中有諧振透射峰，在其低頻段都有較強的聲縱波透射，這對于低頻濾噪、減振都是不利的。