基于鈍化微分的壓電微動(dòng)平臺(tái)PID控制

劉爾春，孫慶龍，盧志誠(chéng)，惠相君，周鵬飛，汪家樂(lè)，孫靖康，崔玉國(guó)

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211; 2.首信自動(dòng)化有限公司，河北 遷安 064400)

0 引言

壓電微動(dòng)平臺(tái)是一種由壓電執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)的微位移機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)小巧緊湊,輸出力大,分辨率高,響應(yīng)速度快及負(fù)載能力強(qiáng)的特點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用于高精密定位系統(tǒng)中。如在超精密加工中，它可以推動(dòng)刀架使刀具實(shí)現(xiàn)微移動(dòng)，進(jìn)而使加工更精準(zhǔn)[1]；在微結(jié)構(gòu)表面形貌測(cè)量中，它可以作為掃描探針顯微鏡的掃描平臺(tái)，進(jìn)而和微探針相配合，實(shí)現(xiàn)對(duì)微結(jié)構(gòu)表面的精密測(cè)量[2]；在微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)裝配中，它可作為微零件、微部件的載物臺(tái)，帶動(dòng)微零件、微部件產(chǎn)生微運(yùn)動(dòng)，從而在微機(jī)器人操作手的配合下，將微零件裝配成微部件，或?qū)⑽⒉考b配成微系統(tǒng)[3]。另一方面，由于壓電執(zhí)行器存在遲滯誤差特性，會(huì)使由其驅(qū)動(dòng)的微動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生定位誤差，因此需要采取相應(yīng)的控制方法對(duì)平臺(tái)進(jìn)行控制，如前饋控制[4]、比例、積分、微分(PID)控制[5-7]、魯棒控制[8]、自適應(yīng)控制[9]、復(fù)合控制[10-11]等。宋林等基于所提出的閾值優(yōu)化Prandtl-Ishilinskii(PI)遲滯模型，設(shè)計(jì)了壓電微動(dòng)平臺(tái)的前饋控制器，平臺(tái)在前饋控制作用下，達(dá)到5 μm階躍參考位移的響應(yīng)時(shí)間為0.01 s，跟蹤最大值為17 μm的變幅值三角波參考位移時(shí)，使定位誤差變化范圍由-1.15～1.35 μm減小為-1.15～-0.05 μm[4]。Lin等采用灰色相關(guān)分析法來(lái)整定壓電微動(dòng)平臺(tái)的PID控制器參數(shù)，使平臺(tái)在PID控制下的穩(wěn)態(tài)誤差減小了97%[6]。Ghafarirad等將基于改進(jìn)觀測(cè)器的魯棒控制同PI逆模型相結(jié)合，設(shè)計(jì)了壓電微動(dòng)平臺(tái)的魯棒控制器，實(shí)現(xiàn)了平臺(tái)在預(yù)估干擾作用下的精密定位[8]。張桂林等基于傳統(tǒng)PI遲滯模型來(lái)描述壓電執(zhí)行器的遲滯特性，并采用自適應(yīng)投影法來(lái)在線辨識(shí)壓電執(zhí)行器的PI遲滯模型，進(jìn)而設(shè)計(jì)出了壓電執(zhí)行器的自適應(yīng)PI逆控制器，使執(zhí)行器的定位精度提高了49.8%[9]。Lin等將雙前饋補(bǔ)償與反饋控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)出了壓電微動(dòng)平臺(tái)的復(fù)合控制器，在復(fù)合控制作用下，平臺(tái)沿x、y向的定位誤差分別達(dá)到21.5 nm、20 nm[11]。

在上述這些控制方法中，前饋控制屬于開(kāi)環(huán)控制，無(wú)需傳感器，系統(tǒng)構(gòu)成簡(jiǎn)單，成本低，但因無(wú)反饋環(huán)節(jié)，很難實(shí)現(xiàn)平臺(tái)的高精度定位。PID控制、魯棒控制、自適應(yīng)控制屬于反饋控制，在對(duì)平臺(tái)進(jìn)行控制時(shí)，往往需要精密位移傳感器，故成本較高，但能夠?qū)崿F(xiàn)平臺(tái)的高精度、高分辨率定位。其中，PID控制技術(shù)最成熟，簡(jiǎn)單易用，且不需要被控對(duì)象的精確模型，故應(yīng)用更廣泛。復(fù)合控制可使平臺(tái)獲得良好的靜、動(dòng)態(tài)特性，但整個(gè)控制系統(tǒng)構(gòu)成較復(fù)雜。

本文為提高壓電微動(dòng)平臺(tái)的定位精度，并消除其工作過(guò)程中所受到的擾動(dòng)或沖擊(包括控制過(guò)程中的超調(diào))，引入低通濾波器來(lái)降低PID控制器中微分環(huán)節(jié)對(duì)擾動(dòng)或沖擊的敏感性，進(jìn)而來(lái)設(shè)計(jì)平臺(tái)的PID反饋控制器，并實(shí)現(xiàn)平臺(tái)的精密定位控制。

1 PID控制原理

PID控制通過(guò)對(duì)被控對(duì)象的偏差(即被控對(duì)象參考輸入與實(shí)際輸出的差值)進(jìn)行比例(P)、積分(I)、微分(D)的線性運(yùn)算，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的控制，如圖1所示。圖中，s為復(fù)數(shù)變量，1/s、s分別為積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)。PID控制器的控制規(guī)律為

(1)

式中k=0, 1, 2,…為采樣序號(hào)，即0,T, 2T,…采樣時(shí)刻；u(k)為在kT采樣時(shí)刻的控制量；e(k)、e(k-1)分別為在kT、(k-1)T采樣時(shí)刻的偏差；KP、TI、TD分別為比例系數(shù)、積分時(shí)間常數(shù)、微分時(shí)間常數(shù)；T為采樣周期。

圖1 PID控制框圖

式(1)給出的PID控制器的輸出，包含了當(dāng)前和以往所有時(shí)刻偏差的積分，這樣會(huì)占用較大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，使計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng)，被控對(duì)象的響應(yīng)時(shí)間變慢。為此，本文采用具有遞推關(guān)系的PID控制。由式(1)可得，PID控制器在(k-1)T時(shí)刻的輸出為

(2)

將式(1)減去式(2)可得具有遞推關(guān)系的PID表達(dá)式為

u(k)=u(k-1)+KP{e(k)-e(k-1)+

g1e(k-1)+g2e(k-2)

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

由式(3)可知，具有遞推關(guān)系的PID的控制量u(k)僅與u(k-1)、e(k)、e(k-1)、e(k-2)有關(guān)，不僅減小了計(jì)算機(jī)內(nèi)存的占用量，且還可顯著縮短計(jì)算時(shí)間，易于實(shí)現(xiàn)快速控制。

對(duì)式(3)兩端同時(shí)進(jìn)行z變換，可得具有遞推關(guān)系的PID控制器的離散脈沖傳遞函數(shù)為

(7)

2 平臺(tái)的改進(jìn)PID控制器設(shè)計(jì)

2.1 平臺(tái)控制器設(shè)計(jì)

在PID控制中，微分項(xiàng)能夠提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，縮短瞬態(tài)響應(yīng)的過(guò)度過(guò)程，但其對(duì)干擾或沖擊信號(hào)非常敏感，它會(huì)使干擾所引起的控制量變化幅度增大。對(duì)壓電微動(dòng)平臺(tái)而言，控制量的這種大幅度變化不僅會(huì)造成平臺(tái)定位精度的下降，有時(shí)還會(huì)使壓電執(zhí)行器及平臺(tái)受到破壞。

干擾或沖擊信號(hào)為高頻信號(hào)，而低通濾波是去除高頻干擾信號(hào)的有效方法。為此，本文在PID控制器中引入低通濾波器，以降低PID控制中微分環(huán)節(jié)對(duì)擾動(dòng)或沖擊信號(hào)的敏感性，即使微分環(huán)節(jié)對(duì)擾動(dòng)或沖擊產(chǎn)生鈍化(見(jiàn)圖2)。圖中，E(s)為偏差e(t)的拉氏變換，U′(s)為PID控制器輸出的拉氏變換，U(s)為低通濾波器輸出的拉氏變換，τ′為低通濾波器的時(shí)間常數(shù)。

圖2 鈍化微分PID控制框圖

(8)

式中α為常數(shù)，且α<1，則有

(9)

于是，鈍化微分PID控制器的離散脈沖傳遞函數(shù)為

(10)

2.2 平臺(tái)控制系統(tǒng)仿真

基于所設(shè)計(jì)的平臺(tái)改進(jìn)PID控制器以及所建立的壓電執(zhí)行器與平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)出了平臺(tái)的控制系統(tǒng)，其MATLAB/simulink仿真框圖如圖3所示。

圖3 平臺(tái)控制仿真框圖

圖4 濾波器對(duì)平臺(tái)控制結(jié)果的影響

圖4為平臺(tái)在干擾(其幅值為0.5 μm，頻率為10～100 Hz)作用下，對(duì)階躍目標(biāo)位移(其值為5 μm)的響應(yīng)。其中，圖4(a)為無(wú)濾波器時(shí)平臺(tái)的響應(yīng)，這時(shí)平臺(tái)輸出已不穩(wěn)定；圖4(b)為有濾波器時(shí)平臺(tái)的響應(yīng)，此時(shí)平臺(tái)輸出仍穩(wěn)定，且無(wú)超調(diào)，也無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差?？梢?jiàn)，所設(shè)計(jì)的鈍化PID控制器可有效消除干擾對(duì)平臺(tái)輸出位移的影響。

圖5為平臺(tái)在5 μm的階躍目標(biāo)位移且不受干擾的情況下，不同的KP、KI、KD對(duì)平臺(tái)輸出位移的影響。由圖5(a)可知，隨著KP(此時(shí)KI、KD均為0)的增大，平臺(tái)響應(yīng)加快，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但KP太大時(shí)，平臺(tái)輸出位移會(huì)出現(xiàn)超調(diào)。由圖5(b)可知，KI(此時(shí)KP=4.5、KD=0)可顯著減小平臺(tái)輸出位移的穩(wěn)態(tài)誤差，KI增大到一定程度時(shí)可完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，但KI會(huì)使平臺(tái)輸出位移出現(xiàn)超調(diào)。由圖5(c)可知，隨著KD(此時(shí)KP=4.5、KI=0.45)的增大，平臺(tái)響應(yīng)變慢，但平臺(tái)輸出位移的超調(diào)減小。

圖5 KP、KI、KD對(duì)平臺(tái)控制結(jié)果的影響

3 平臺(tái)PID反饋控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)構(gòu)成

圖6為測(cè)量壓電微動(dòng)平臺(tái)位移特性的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，它由驅(qū)動(dòng)電源、多功能卡、壓電微動(dòng)平臺(tái)及電渦流位移傳感器組成。其工作過(guò)程如下：由計(jì)算機(jī)發(fā)出相應(yīng)的控制信號(hào)，該控制信號(hào)經(jīng)多功能卡上的D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬電壓，施加于驅(qū)動(dòng)電源上，在電源所輸出的驅(qū)動(dòng)電壓作用下，壓電執(zhí)行器伸長(zhǎng)，推動(dòng)微動(dòng)平臺(tái)使其產(chǎn)生微位移，該位移由電渦流位移傳感器所測(cè)得，經(jīng)多功能數(shù)據(jù)卡上的A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，被輸入計(jì)算機(jī)內(nèi)。

圖6 壓電微動(dòng)平臺(tái)位移測(cè)量系統(tǒng)

由圖6可知，電源輸出電壓的紋波為10 mV，線性度為0.1%，頻帶為0～2 kHz；電渦流位移傳感器的測(cè)量范圍為0.36～1.36 mm，非線性誤差為0.4%，分辨率為0.1 μm。多功能數(shù)據(jù)卡上的A/D及D/A轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為16位，采樣速度為100 kS/s。

3.2 階躍響應(yīng)

圖7為采用鈍化微分PID控制時(shí)壓電微動(dòng)平臺(tái)的階躍響應(yīng)。由圖可知，此時(shí)平臺(tái)的響應(yīng)時(shí)間較短(為0.3 s)，穩(wěn)態(tài)誤差為0，且無(wú)超調(diào)，可見(jiàn)所設(shè)計(jì)的鈍化微分PID控制器可使平臺(tái)具有良好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。

圖7 鈍化微分PID作用下微動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際階躍響應(yīng)

3.3 三角波跟蹤

給壓電微動(dòng)平臺(tái)施加最大值為15.25 μm的變幅值三角波信號(hào)，由圖8的測(cè)量結(jié)果可知，平臺(tái)在未受控制的情況下，實(shí)際輸出位移相對(duì)于目標(biāo)位移的誤差中線的變化范圍為-0.7～1.2 μm；在鈍化微分PID反饋控制的作用下，平臺(tái)的實(shí)際輸出位移相對(duì)于目標(biāo)位移的誤差中線的變化范圍為-0.1～0.1 μm。因此，鈍化微分PID反饋控制能較好地跟蹤參考輸入位移，使壓電微動(dòng)平臺(tái)具有較小的定位誤差。

圖8 鈍化微分PID作用下微動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際三角波輸入

4 結(jié)束語(yǔ)

本文為避免壓電微動(dòng)平臺(tái)在工作過(guò)程中受到干擾或沖擊的影響，將低通濾波器引入常規(guī)PID控制中，設(shè)計(jì)出了平臺(tái)的鈍化微分PID控制器。采用MATLAB/simulink對(duì)設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明，鈍化PID控制器可有效消除干擾對(duì)平臺(tái)輸出位移的影響；KP增大時(shí)，平臺(tái)響應(yīng)加快且穩(wěn)態(tài)誤差減小，但太大時(shí)會(huì)出現(xiàn)超調(diào)；KI可消除平臺(tái)輸出位移的穩(wěn)態(tài)誤差，但太大時(shí)也會(huì)出現(xiàn)超調(diào)；KD增大時(shí)，平臺(tái)響應(yīng)變慢，但超調(diào)減小。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的鈍化微分PID控制的有效性，結(jié)果表明，平臺(tái)達(dá)到5 μm階躍目標(biāo)的響應(yīng)時(shí)間為0.3 s，無(wú)超調(diào)，且穩(wěn)態(tài)誤差為0；平臺(tái)在跟蹤最大值為15.25 μm的變幅值三角波時(shí)，定位誤差中線由無(wú)控制時(shí)-0.7～1.2 μm減小為-0.1～0.1 μm。