張 磊，于戰(zhàn)果，李世民

(1.陸軍邊海防學(xué)院， 西安 710108； 2.陸軍軍事交通學(xué)院， 天津 300161；3.中國人民解放軍63963部隊， 北京 100072)

一直以來，裝備維修器材的消耗需求預(yù)測都作為裝備保障的重要環(huán)節(jié)而倍受關(guān)注[1-4]，其基本過程是基于歷史數(shù)據(jù)，采用適當模型，進而推算其在下一階段所需的器材消耗數(shù)量[1-8]。對于輔助決策工作而言，具有極其重要的意義。

由于影響作用不同歷史時期的維修器材消耗量的因素很多，作用規(guī)律復(fù)雜且歷史數(shù)據(jù)有限[1-3,5-8]，因此大樣本需求量的模型并不適用。在這種情況下，灰色GM(1,1)模型得到了廣泛使用[1-3,5-8]。該模型非常適合用于處理具有“小樣本”、“貧信息”特點的不確定性復(fù)雜系統(tǒng)問題。

灰色GM(1,1)模型認為，系統(tǒng)內(nèi)的數(shù)據(jù)積累和發(fā)展一般都存在能量的積累、存儲和釋放等過程，加之生成數(shù)列一般都有較強的指數(shù)變化趨勢，所以灰色系統(tǒng)理論指出，離散的隨機數(shù)經(jīng)過累加生成變?yōu)殡S機性被顯著削減的帶有指數(shù)變化規(guī)律的生成數(shù)列，進而運用指數(shù)形式函數(shù)構(gòu)建預(yù)測模型。但是在維修器材預(yù)測的實際運用中，由于隨機因素的作用，數(shù)據(jù)列疊加后隨機特性消除并不徹底，造成實際數(shù)據(jù)圍繞預(yù)測曲線上下波動較大的情況[1-4]，這種“波動”可以通過擬合值和實際值之間的差值(殘差)來體現(xiàn)，因此很多研究通過運用各類模型針對不同歷史值的殘差進行分析，并推算下一階段的殘差作為修正值，對灰色GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果進行修正，提高預(yù)測準確率。如運用Markov模型預(yù)測灰色GM(1,1)模型的殘差修正值[2-3]；運用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測灰色GM(1,1)模型的殘差修正值[1]；運用傅里葉變換模型預(yù)測灰色GM(1,1)模型的殘差修正值等[5]。

然而，以上對于灰色GM(1,1)模型的運用僅僅適用于在序列累加后數(shù)據(jù)“大體上”呈指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化的情況[7]。不適用于具有復(fù)雜函數(shù)形式規(guī)律的情形。為更加準確地反映數(shù)據(jù)列的變化規(guī)律，部分學(xué)者運用灰色線性回歸組合模型[8-9]體現(xiàn)并擬合出了指數(shù)函數(shù)規(guī)律和線性函數(shù)規(guī)律疊加序列的情形，取得了很好的效果。但是在隨機特性更加明顯的裝備維修器材需求變化序列中顯然不止這兩種規(guī)律，應(yīng)該是更為復(fù)雜的函數(shù)形式。因此本文運用灰色多項式回歸組合模型深入挖掘數(shù)據(jù)列中除指數(shù)函數(shù)規(guī)律外的復(fù)雜變化規(guī)律，為各類基于灰色GM(1,1)模型殘差修正模型的廣泛應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

由于灰色線性回歸模型[8-9]中通過序列累減的方式消除掉組合模型的線性函數(shù)項部分，運用求比值的方法消除指數(shù)函數(shù)的部分常系數(shù)以及變量部分，最后通過求對數(shù)值的方法確定指數(shù)函數(shù)的常系數(shù)。然而，這種方法對于數(shù)據(jù)列的要求較為苛刻，一旦累減序列出現(xiàn)負值時，便不能通過求對數(shù)的方法確定系數(shù)，而這種情況在實際預(yù)測時十分常見，顯然在運用灰色多項式回歸組合模型進行維修器材需求預(yù)測時不能夠運用這種方法確定系數(shù)。

本文運用函數(shù)的Taylor級數(shù)展開形式表示任意復(fù)雜函數(shù)并論證了灰色多項式回歸模型的合理性，通過推導(dǎo)給出了組合模型指數(shù)項系數(shù)的求解方法，最后運用最小二乘法確定灰色多項式回歸模型中的各項系數(shù)。

算例結(jié)果表明：該模型的擬合效果較傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型以及傳統(tǒng)灰色線性回歸模型有明顯提高，且隨著擬合采用項數(shù)增加，擬合精度也越高，證明了該模型的有效性和實用性。

1 灰色多項式回歸組合預(yù)測模型的建立

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色GM(1,1)模型是各類預(yù)測中經(jīng)常用到的模型之一[7]，假設(shè)一維原始序列為{x(0)(k)}，k=1,2,…,n。其預(yù)測式可以表示為[7]

(1)

(2)

其中：

z(k)=[x(k)+x(k-1)]/2

其中，N為樣本個數(shù)。由(1)式確定的發(fā)展系數(shù)a反應(yīng)了維修器材消耗量的發(fā)展態(tài)勢，若a< 0，則說明器材消耗數(shù)量的發(fā)展態(tài)勢是增長的，a的絕對值越大，增長越快；若a> 0，說明數(shù)據(jù)的態(tài)勢是減小的，a越大，減小越快。

1.2 灰色多項式回歸組合預(yù)測模型的形式[8-9]

由于方程式(1)的預(yù)測形式可以記為

其中：C1=x(0)(1)-b/a,C2=b/a,-a=v；可以看出，預(yù)測式(1)本質(zhì)上為一個指數(shù)函數(shù)。

用線性回歸方程Y=aX+b及指數(shù)方程Y=aeX的和的形式來擬合疊加生成序列{x(1)(t)}，因此便得到灰色線性回歸組合模型的基本形式：

(3)

其中，C1、C2、C3和v均為模型的待定系數(shù)，由式(3)可以看出，灰色線性回歸組合模型可以很好地同時反映出疊加序列{x(1)(t)}中指數(shù)和線性的變化規(guī)律。

因此有：

(4)

除單一指數(shù)函數(shù)規(guī)律和線性函數(shù)外，維修器材需求數(shù)據(jù)的變化往往體現(xiàn)出更為復(fù)雜的函數(shù)規(guī)律。假設(shè)除單一指數(shù)函數(shù)規(guī)律外，隨機序列一次累加后所體現(xiàn)出的復(fù)雜規(guī)律的函數(shù)為一個關(guān)于時間t的連續(xù)函數(shù)f(t)。用函數(shù)方程Y=f(X)及指數(shù)方程Y=aeX的和的形式來擬合疊加生成序列{x(1)(t)}：

(5)

同時，f(t)可以展開為其Taylor級數(shù)形式：

f(t)=f(t0)+f′(t0)(t-t0)+…+

其中，Rn(t)為Taylor級數(shù)的余項，是(t-t0)n的高階無窮小項，f(t0)及其在點t0處的各階導(dǎo)函數(shù)值f(n)(t0)(n=1,2,…)均可視為常數(shù)。在展開、化簡、合并同類項并忽略高階無窮小項后，函數(shù)f(t)可以近似表示為n階多項式的形式：

f(t)=C2+C3t+C4t2+…+Cn+2tn

因此灰色多項式回歸組合模型的形式(即式(5))可以表示為

(6)

1.3 模型灰色發(fā)展系數(shù)的確定

這主要是由于函數(shù)(6)為變量t的連續(xù)函數(shù)，而式(6)所需要擬合的函數(shù)則是僅僅“大體上”呈現(xiàn)出式(6)變化規(guī)律的隨機離散值點，其隨機特性使得序列累減后求得級比值小于0的情況經(jīng)常發(fā)生。因此，傳統(tǒng)灰色線性回歸組合模型中用于確定指數(shù)系數(shù)的方法并不適用于維修器材消耗需求的預(yù)測。

由1.2節(jié)的論述可以知道，灰色GM(1,1)模型的預(yù)測式可表示為

(7)

雖然式(6)和式(7)描述的為不同類型的曲線，但均是用于擬合同一組隨機離散點的近似曲線，兩曲線在相同時刻帶入擬合方程的點相同。也就是說，在理想狀況下，兩曲線重合，且均經(jīng)過序列{x(1)(k)}上各點。在一般狀況下，兩類曲線的具體形式均是通過擬合隨機序列{x(1)(k)}的最小二乘法得到，兩曲線也是大致接近的，因此可以近似認為

(8)

對式(8)兩端求n+1階導(dǎo)可得：

化簡后可得：

(9)

因為式(9)左側(cè)應(yīng)為常數(shù)，所以有：

v′=v

(10)

由式(10)可以知道，灰色多項式回歸模型的指數(shù)項的指數(shù)系數(shù)可以通過求解灰色GM(1,1)模型得到：

(11)

雖然將式(8)兩端求高階導(dǎo)可能產(chǎn)生較大誤差，但在模型實際使用中，受歷史數(shù)據(jù)量的限制，不可能使用項數(shù)較多的多項式擬合，因而避免了求高階導(dǎo)數(shù)而得到指數(shù)系數(shù)v的情形。

同時，雖然式(11)為近似得到，但a為序列的灰色發(fā)展系數(shù)，僅反應(yīng)隨機序列的發(fā)展趨勢，并不影響組合模型的整體擬合精度。由此可知，v′可以視為灰色多項式回歸組合預(yù)測模型的灰色發(fā)展系數(shù)。

1.4 模型待定系數(shù)的確定

由于N為樣本個數(shù)，可以運用最小二乘法確定式(6)中的待定系數(shù)：

(12)

可以看出，當C4=C5=…=Cn+2=0時，式(6)退化為灰色線性回歸組合模型。當C3=C4=…=Cn+2=0時，式(6)退化為灰色GM(1,1)模型。由此，灰色多項式回歸組合模型解決了灰色序列指數(shù)規(guī)律和復(fù)雜函數(shù)規(guī)律疊加的問題。

在實際預(yù)測應(yīng)用中，系數(shù)Cn(n=1,2,…,n+2)均起著修正擬合并提高精度的作用，均描述著隨機灰色作用因子對于時間序列作用[10]的結(jié)果。因此均可視為灰色作用量。

進行累減還原得到預(yù)測值：

(k=1,2,…,N)

(13)

1.5 殘差和相對誤差

(14)

在模型使用過程中，模型所使用擬合的項數(shù)越多，就越接近式(6)，取得的擬合相對誤差就會越小。但是在維修器材需求預(yù)測中，數(shù)據(jù)通常體現(xiàn)出小樣本的特點，因此擬合方程數(shù)量有限，不可能采用過多的項進行擬合。當擬合項數(shù)過多時，不僅會因擬合方程需求數(shù)量過多而降低擬合效果，甚至可能導(dǎo)致擬合多項式系數(shù)無法求解的情況。

2 實例分析

分別選取2項式模型、3項式模型和4項式模型擬合數(shù)據(jù)，三類模型可統(tǒng)一表示為

(15)

式(15)中當C5=C4=0時，式(15)為2項式模型(線性回歸組合模型)。C5=0時，式(15)為3項式模型。均不為0時，式(15)為4項式模型。由式(12) 、式(13)計算系數(shù)可得結(jié)果如表1所示。

表1 各類灰色多項式回歸模型系數(shù)

將表1中各階模型系數(shù)結(jié)果分別帶入式(15)計算擬合結(jié)果，由式(14)計算相對誤差，同時計算灰色GM(1,1)模型擬合結(jié)果，結(jié)果見表2。

表2 不同模型預(yù)測計算結(jié)果

由計算結(jié)果(表2)可以看到，灰色多項式回歸組合模型的擬合相對誤差較灰色GM(1,1)模型有了顯著的減小，且隨著擬合多項式項數(shù)的增加，擬合精度逐漸提高。特別是當擬合多項式為3項和4項式時，平均相對誤差由1.84%和1.79%降為0.85%和0.74%。說明灰色多項式回歸模型能夠更好地挖掘變化序列中的復(fù)雜函數(shù)形式變化規(guī)律，提高擬合精度。同時，隨著灰色多項式擬合項數(shù)的增加，運用最小二乘法擬合求解所需的數(shù)據(jù)量也就越多，但在實際運用時數(shù)據(jù)數(shù)量均是固定的，所以使用的擬合項數(shù)過多反而會影響擬合效果。本例中數(shù)據(jù)個數(shù)為8個，僅能提供8個擬合方程，當使用灰色8項回歸組合模型時將產(chǎn)生9個未知系數(shù)，則無法通過最小二乘法得到結(jié)果。

3 結(jié)論

1) 除單一指數(shù)函數(shù)規(guī)律外，灰色多項式回歸組合模型可以用于擬合隨機序列疊加后的任意復(fù)雜函數(shù)規(guī)律。

2) 在裝備維修器材需求預(yù)測問題中，灰色多項式回歸組合模型可以有效提高灰色GM(1,1)模型的預(yù)測精度，且采用灰色多項式擬合項數(shù)越多，擬合精度就越高。

3) 隨著采用灰色多項式擬合項數(shù)的增多，誤差修正的幅度也隨之減小，說明隨著時間t的次冪越高，該修正項對于整體預(yù)測值的修正效果越小。

4) 由于在維修器材實際預(yù)測中數(shù)據(jù)量有限，不宜采用過多的擬合項數(shù)，否則將影響擬合精度，甚至無法求解多項式系數(shù)。