更換主元 巧解一道高考壓軸題

任孝輝 時英雄

(安徽省合肥市第一中學(xué) 230601)

原題再現(xiàn)：(2016年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，f(x)在x=1處取得最大值，最大值為f(1)=0，

所以當(dāng)x≠1時，lnx

(3)由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx，則g′(x)=c-1-cxlnc．

當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

試題新解(1)(2)略.

(3)由題設(shè)x∈(0,1)，c>1,設(shè)h(c)=1+cx-x-cx=xc-cx+1-x,c>1.

h′(c)=x-xcx-1=x(1-cx-1).∵x∈(0,1),∴x-1∈(-1,0).

∴函數(shù)m(c)=cx-1在(1，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),

∴cx-1<1x-1=1,∴1-cx-1>0.

∴h′(c)=x(1-cx-1)>0，h(c)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

∴h(c)>h(1)=x-1+1-x=0,所以當(dāng)c>1，x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx，得證.

評注試題原解構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx，通過對其求導(dǎo)利用(2)的結(jié)論，判斷出極大值點x0∈(0,1)，得證.新解中構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)=xc-cx+1-x，更換了主元，通過求導(dǎo)直接判斷出導(dǎo)函數(shù)大于零，證出單調(diào)性，使得問題簡化許多，進而得證.