■河南省鄭州市第一中學 武赫揚

雙曲線是圓錐曲線中的三種曲線之一,也是高考考查的重點,主要考查定義、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查基本技能與基本方法的運用。

一、知識掃描

雙曲線的定義:在平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2|且大于零)的點的軌跡(或集合)叫作雙曲線。定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫作焦距。

①當a＜c時,P點的軌跡是雙曲線;

②當a=c時,P點的軌跡是兩條射線;

③當a＞c時,P點不存在。

雙曲線的離心率大于1,而橢圓的離心率e∈(0,1)。

雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)如表1所示。

二、常見題型

考點一:雙曲線的定義與標準方程

例1若實數(shù)k滿足0＜k＜9,則曲線的( )。

A.焦距相等 B.實半軸長相等

C.虛半軸長相等 D.離心率相等

解析:因為0＜k＜9,所以9-k＞0,25-k＞0。

所以均表示焦點在x軸上的雙曲線。

又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,所以它們的焦距相等,故選A。

表1

例2已知F為雙曲線的左焦點,P,Q為C上的點。若P Q的長等于實軸長的2倍,點A(5,0)在線段P Q上,則△P Q F的周長為____。

解析:依題意知|P Q|=4a=12＞2a。

又因為A(5,0)在線段P Q上,所以P Q在雙曲線的右支上。

可得|P F|-|P A|=2a=6,|Q F|-|Q A|=2a=6。

所以|P F|+|Q F|=24。

所以△P Q F的周長是|P F|+|Q F|+|P Q|=24+12=36。

點評:在應(yīng)用雙曲線定義時,要注意定義中的條件,搞清所求軌跡是雙曲線,還是雙曲線的一支。若是雙曲線的一支,則需確定是哪一支。

例3已知雙曲線的中心在原點,一個焦點為,點P在雙曲線上,且線段P F1的中點坐標為(0,2),則此雙曲線的方程是( )。

解析:設(shè)雙曲線的標準方程為1(a＞0,b＞0)。

由P F1的中點為(0,2)知,P F2⊥x軸,,所以

所以5-a2=4a,所以a=1,b=2,所以雙曲線方程為,故選B。

點評:確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件,兩個“定量”條件,“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上,“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法。若雙曲線的焦點不能確定時,可設(shè)其方程為A x2+b y2=1(A B＜0)。若已知漸近線方程為m x+n y=0,則雙曲線方程可設(shè)為m2x2-n2y2=λ(λ≠0)。

考點二:雙曲線的離心率

例4已知F1,F2是雙曲線E:=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,,則E的離心率為( )。

解析:因為MF1垂直于x軸,所以

點評:應(yīng)區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2。雙曲線的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1)。

例5過雙曲線0)的右焦點F作一條直線,當直線傾斜角為時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線傾斜角為時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點。則雙曲線離心率的取值范圍為( )。

解析:由題意得,當直線傾斜角為時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點,所以又當直線傾斜角為時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點,所以,所以此

點評:離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì),是高考重點考查的一個知識點。這類問題一般有兩類:一類是根據(jù)一定的條件求橢圓或雙曲線的離心率;另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍。無論是哪類問題,其解題關(guān)鍵都是建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表達,轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式。

考點三:雙曲線的漸近線

例6在平面直角坐標系中,已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,實軸長為8,離心率為,則它的漸近線的方程為( )。

解析:由題意知漸近線的方程為y=

考點四:焦點三角形

例7點P在雙曲線0,b＞0)上,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,∠F1P F2=90°,且△F1P F2的三條邊長之比為3∶4∶5。則雙曲線的漸近線方程是( )。

解析:設(shè)△F1P F2的三條邊長為|P F1|=3m,|P F2|=4m,|F1F2|=5m,m＞0。

所以雙曲線的漸近線方程是y=±26x。

故選D。

點評:用雙曲線定義及虛軸長布列方程組即可求出雙曲線的標準方程。在“焦點三角形”中,經(jīng)常用到正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義。另外,還經(jīng)常結(jié)合||P F1|-|P F2||=2a,運用平方的方法,建立它與|P F1||P F2|的聯(lián)系。

例8設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2。若點P在雙曲線上,且△F1P F2為銳角三角形,則|P F1|+|P F2|的取值范圍是____。

解析:由已知得則,設(shè)P(x,y)是雙曲線上任一點。

由對稱性不妨設(shè)P在右支上,則1＜x＜2,|P F1|=2x+1,|P F2|=2x-1。

因為∠F1P F2為銳角,則|P F1|2+|P F2|2＞|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)2

點評:先由對稱性可設(shè)點P在右支上,進而可得|P F1|和|P F2|,再由△F1P F2為銳角三角形可得|P F1|2+|P F2|2＞|F1F2|2,進而可得x的不等式,解不等式可得|P F1|+|P F2|的取值范圍。