基于《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》對牛頓第二定律的再討論

談元?jiǎng)P

(上海市陸行中學(xué) 上海 200136)

1 問題的提出

牛頓第二定律是高中物理力學(xué)體系中的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容．作為一種物理觀念，從定律的內(nèi)容上看，它是在研究物體受力不平衡時(shí)，力與運(yùn)動之間關(guān)系的重要規(guī)律；從物理思維上看，研究牛頓第二定律的內(nèi)容時(shí)涵蓋了豐富的物理思維內(nèi)涵．學(xué)生通過定律的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步提升對力學(xué)體系中物理觀念和物理思維的認(rèn)識水平．

目前高中物理教材中對于牛頓第二定律的表述如下：“物體的加速度a與受到的作用力F成正比，與物體的質(zhì)量m成反比，寫作

F=ma

(1)

基于這種表述，教師在講解牛頓第二定律時(shí)，一般都是從“因果性”“瞬時(shí)性”“獨(dú)立性”等幾個(gè)方面進(jìn)行講解和教授，學(xué)生也是單單地從“力”“加速度”“運(yùn)動”的層面進(jìn)行學(xué)習(xí)和理解．

但是在《原理》一書中，牛頓在建立第二定律時(shí)的表述與目前物理教材上的文字表述有所不同．所以學(xué)生根據(jù)物理教材上的文字進(jìn)行理解，會忽略一些牛頓在建立定律時(shí)所要表達(dá)的其他內(nèi)涵．

2 《原理》中的定義和定律

在《原理》[1]一書的所有章節(jié)之前，牛頓首先就對一些物理量進(jìn)行了定義，并提出了運(yùn)動規(guī)律：

“定義1：物質(zhì)的量是物質(zhì)的量度，可由其密度和體積共同求出．”

“定義2：運(yùn)動的量是運(yùn)動的量度，可由速度和物質(zhì)的量共同求出．”

“定律Ⅱ：運(yùn)動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向．”

通過上述內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)：

定義1描述的是“物質(zhì)的量”，但根據(jù)其大小的運(yùn)算來看，就是我們現(xiàn)在規(guī)定的物理量“質(zhì)量m”，即

m=ρV

(2)

定義2描述的是“運(yùn)動的量”，從它的文字表述可以發(fā)現(xiàn)，它是高中需要學(xué)習(xí)的另一個(gè)物理量“動量p”，即

p=mv

(3)

定律Ⅱ是牛頓第二定律的內(nèi)容，但其內(nèi)容中清楚地表明：“運(yùn)動的變化正比于外力”，而通過定義2可以知道，這種“運(yùn)動的變化”是通過“動量p”來衡量的，即牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用微分形式改寫為

(4)

3 牛頓第二定律的再討論

經(jīng)過對《原理》一書中牛頓第二定律的內(nèi)容和表達(dá)式的解讀，相比現(xiàn)行物理教材中牛頓第二定律的表述，可以做進(jìn)一步的討論.

3.1 牛頓第二定律可以反映出力對物體的兩種不同效應(yīng)

根據(jù)牛頓第二定律的不同表述，分別對應(yīng)了式(1)、(4)兩種不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式．

前者是力的一種瞬時(shí)效應(yīng)[2]．由于式子中不包含“時(shí)間”這個(gè)物理量，所以當(dāng)物體受到的合外力發(fā)生變化時(shí)加速度也會瞬間發(fā)生變化；合外力變?yōu)榱悖铀俣纫菜查g變?yōu)榱?；并且加速度的方向也會隨著合外力方向的變化而變化．

后者表示在質(zhì)量不變時(shí)，力的一種時(shí)間積累效應(yīng)[2]．通過公式變形，得

(5)

通過分析式子，可以知道，力對物體要持續(xù)作用一段時(shí)間t，物體的動量p才發(fā)生變化．或者說力改變物體的運(yùn)動狀態(tài)需要時(shí)間的積累．

相比力的兩種不同效應(yīng)，在實(shí)際應(yīng)用中卻有著各自的特點(diǎn)．式(1)中，加速度a起到了連接力學(xué)量和運(yùn)動學(xué)量的樞紐作用，使得在求解運(yùn)算中可以已知受力情況求運(yùn)動情況，或者已知運(yùn)動情況求受力情況．

而在式(5)中，只需要知道同一物體初末兩個(gè)狀態(tài)的速度v就可以進(jìn)行進(jìn)一步的求解，這會給我們帶來很大的方便．例如碰撞問題中，碰撞的時(shí)間極短，且這一短暫時(shí)間內(nèi)物體間的碰撞力是急劇變化的變力，因此無法確定其加速度a，所以式(1)是不可能解決此類問題的．

3.2 牛頓第二定律只能適用于物體平動的情況

以剛體轉(zhuǎn)動為例[3]．如圖1所示，某物體以其自身某一點(diǎn)為軸自轉(zhuǎn)，其中有一質(zhì)量為mi的微元在做曲線運(yùn)動，某一時(shí)刻的速度為v，根據(jù)運(yùn)動學(xué)知識可以判定該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)在不斷發(fā)生變化．假設(shè)該物體受到的外力為Fi，考慮到外力與轉(zhuǎn)軸之間的位矢r，外力會產(chǎn)生力矩，則轉(zhuǎn)動規(guī)律應(yīng)該寫成

(6)

圖1 物體以自身某一點(diǎn)為軸自轉(zhuǎn)

通過積分變換

(7)

其中M為合力矩，J為該物體的轉(zhuǎn)動慣量，α為該物體的角加速度．

對比物體的平動，可以直觀地發(fā)現(xiàn)它們之間的因果關(guān)系有所不同：物體平動時(shí)合外力是產(chǎn)生加速度的原因；物體在轉(zhuǎn)動時(shí)合力矩是產(chǎn)生角加速度的原因．雖然表達(dá)式的形式相同，但是其背后的物理意義卻有著極大的差異．所以，牛頓第二定律只能適用于物體平動的時(shí)候．

3.3 通過對牛頓第二定律表達(dá)式的定性半定量分析可以獲得動能表達(dá)式的系數(shù)

基于如此的教學(xué)現(xiàn)狀，并不符合現(xiàn)行核心素養(yǎng)要求中學(xué)生對于物理觀念和物理思維學(xué)習(xí)的要求，甚至有一些“偽探究”的痕跡．

其實(shí)，根據(jù)《原理》中牛頓第二定律的動量表述，利用定性半定量的方法，可以較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氐贸鰟幽艿谋磉_(dá)式．

以一維質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動為例．如圖2所示，某質(zhì)點(diǎn)由于受到外力F的作用從靜止開始沿著水平的x軸做變速運(yùn)動，經(jīng)過一段元位移dx后速度為v．根據(jù)牛頓第二定律，有

(8)

圖2 一維質(zhì)點(diǎn)受外力時(shí)的變速運(yùn)動

對于式(8)等號左邊，采用量綱分析法[4]

dimF=LMT-2

dimdx=L

即

dim(F·dx)=L2MT-2

(9)

上面的證明撇除了對于復(fù)雜變速運(yùn)動物理過程的分析，結(jié)合《原理》中牛頓第二定律的動量表述，僅僅依靠量綱分析和半定量的算法確定了動能大小的表達(dá)式，整個(gè)推演過程相對簡潔．

4 總結(jié)

本文主要通過《原理》中牛頓第二定律的動量表述，一方面與目前高中教材中的牛頓第二定律的表述進(jìn)行了比較與討論，了解到力對物體的兩種不同效應(yīng)；第二方面，討論了物體平動與轉(zhuǎn)動時(shí)兩種不同的因果關(guān)系，即平動時(shí)合外力是產(chǎn)生加速度的原因，轉(zhuǎn)動時(shí)合力矩是產(chǎn)生加速度的原因，所以牛頓第二定律只能適用于物體平動的情況；第三方面則是利用牛頓第二定律的動量表述，通過定性半定量的方法，推導(dǎo)出動能的表達(dá)式．

由此可見，對于牛頓第二定律的再討論是極具意義的．作為一條極其重要的運(yùn)動定律，它貫穿了整個(gè)經(jīng)典力學(xué)的始終．本文對于牛頓第二定律的再討論以及相應(yīng)的思考方法既可以供同行在該定律的教學(xué)中提供一定的素材參考，同時(shí)也可以深入淺出地供學(xué)有余力的高中學(xué)生在物理觀念和物理思維的角度有一定的提升，真正提高學(xué)生的核心素養(yǎng)．