顧及MLE的IGS坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲模型特性分析

王子輿,李仲勤

(蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院,甘肅 蘭州 730700)

0 引 言

國(guó)際全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)服務(wù)組織(IGS)坐標(biāo)時(shí)間序列中包含相關(guān)有色噪聲的結(jié)論已經(jīng)得到了廣泛的認(rèn)可．不同噪聲模型對(duì)GPS站速度及其不確定度影響較大,如閃爍噪聲(FN)、白噪聲(WN)、隨機(jī)游走噪聲(RW)和冪律噪聲(PL)．隨著對(duì)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲特性的研究,有學(xué)者認(rèn)為純WN的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致速度不確定度過(guò)低估計(jì)[3],也有學(xué)者認(rèn)為WN+FN模型是GPS噪聲模型中的最優(yōu)模型,文獻(xiàn)[1]得出結(jié)論如果忽略相關(guān)噪聲的影響,其速度不確定度將被過(guò)低估計(jì)達(dá)一個(gè)數(shù)量級(jí),但文獻(xiàn)[4]研究表明WN+FN噪聲模型代替WN模型時(shí)測(cè)站速度不確定度將增大3～6倍;文獻(xiàn)[5]中提出,PL模型、高斯-馬爾科夫模型(GGM)等可用于分析GPS時(shí)間序列,文獻(xiàn)[6]中研究發(fā)現(xiàn)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列中包含有一階高斯-馬爾科夫噪聲和帶通濾波噪聲,并在美國(guó)南加州等地檢測(cè)到此類噪聲．綜上研究分析,學(xué)者研究存在差異的原因可能如下:1)選取的噪聲模型過(guò)于單一;2)選取的不同區(qū)域的GPS坐標(biāo)時(shí)間序列存在差異;3)選取的GPS坐標(biāo)時(shí)間序列長(zhǎng)度較短．GPS站坐標(biāo)的時(shí)間序列及噪聲特征有助于獲取模型參數(shù)估計(jì)的實(shí)際不確定度,正確分類及改正噪聲分量對(duì)于合理應(yīng)用GPS坐標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有重要的意義．

為此,本文以全球范圍內(nèi)30個(gè)GPS站10年的坐標(biāo)時(shí)間序列為研究對(duì)象,采用赤池信息量準(zhǔn)則 (AIC)及貝葉斯信息準(zhǔn)則 (BIC),分析對(duì)比FN+RW、FN+WN、FN+WN+RW、PL及WN五種組合噪聲模型,并探討改進(jìn)的最大似然估計(jì) (MLE)噪聲模型估計(jì)及其噪聲模型對(duì)GPS站速度及其不確定度的影響．

1 噪聲模型評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

傳統(tǒng)的MLE方法在噪聲模型估計(jì)方面存在不足．隨著噪聲模型包含的未知參數(shù)越多,估計(jì)出的MLE值越大[6]．為此,需要更為準(zhǔn)確的噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則判定GPS時(shí)間序列噪聲模型估計(jì)的可靠性．

1.1 AIC噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則

研究分析較長(zhǎng)周期的GPS坐標(biāo)時(shí)間序列及噪聲特征需選擇合適的噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則,而噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則直接影響最優(yōu)噪聲模型的選取．本文采用改進(jìn)的AIC,其原理[7-8]為

AIC=-2lnL+2k.

(1)

式中:L為某一模型中的似然函數(shù);k為模型變量個(gè)數(shù),判定最優(yōu)模型時(shí),AIC最小的模型作為最優(yōu)模型．

1.2 BIC噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則

相比AIC,增加了參數(shù)數(shù)量,即模型復(fù)雜度,會(huì)增大似然函數(shù),但是也會(huì)導(dǎo)致過(guò)擬合現(xiàn)象,BIC原理[9]為

BIC=kln(n)-2ln(L),

(2)

式中:n為樣本數(shù)量,其余變量的意義見(jiàn)式(1),BIC越小,對(duì)應(yīng)的模型越接近最優(yōu)模型．

2 噪聲模型對(duì)IGS站速度及其不確定度影響分析

2.1 GPS站速度模型的建立

目前國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者探討分析噪聲模型對(duì)IGS站速度及其不確定度的影響,KLOS、BOS等人[8,10]假設(shè)GPS站速度用線性回歸法擬合估計(jì),噪聲模型對(duì)站速度的準(zhǔn)確估計(jì)可表示為

mv≈±

(3)

式中:N為觀測(cè)值時(shí)間序列長(zhǎng)度;κ代表估計(jì)譜指數(shù);ΔT為采樣率;APL為噪聲振幅;τ為伽瑪函數(shù)．

2.2 GPS時(shí)間序列噪聲模型分析

以30個(gè)GPS站7～10年的坐標(biāo)時(shí)間序列為研究對(duì)象,采用AIC模型估計(jì)準(zhǔn)則及BIC噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則,分析對(duì)比FN+RW、FN+WN、FN+WN+RW、PL及WN五種組合噪聲模型對(duì)GPS站速度及其不確定度的影響分析．表1示出了AIC方法估計(jì)出的不同噪聲模型在E方向、N方向及U方向的最小值個(gè)數(shù)及所占比例如表1所示．

表1 不同模型下AIC最小值分布結(jié)果

由表1可得,坐標(biāo)E方向主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約80%)、PL模型(約13.3%)以及FN+RW+WN模型(約6.7%);坐標(biāo)N方向主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約83.3%)、PL模型(約10%)、部分表現(xiàn)為FN+RW+WN模型(約6.7%);坐標(biāo)U方向分量主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約53.3%)和PL(約43.3%)模型．

表2 不同模型下BIC最小值分布結(jié)果

從表2可得,坐標(biāo)E方向主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約83.3%)、PL模型(約10%)以及FN+RW+WN模型(約6.7%);坐標(biāo)N方向主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約86.6%)、PL模型(約10%)、部分表現(xiàn)為FN+RW+WN模型(約3.3%);坐標(biāo)U方向分量主要表現(xiàn)為FN+WN模型(約56.6%)和PL(約43.3%)模型．由表1表2可知:1)AIC與BIC噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則對(duì)最優(yōu)噪聲模型的判定可靠性高,每個(gè)方向(E、N、U)僅存在一個(gè)站點(diǎn)的差異(如AIC,FN+WN測(cè)站數(shù)為24個(gè),BIC,FN+WN測(cè)站數(shù)為25個(gè));2)GPS站坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲模型主要表現(xiàn)為FN+WN模型、PL模型以及FN+RW+WN模型,說(shuō)明GPS時(shí)間序列噪聲模型具有多樣性,傳統(tǒng)的WN和FN的最優(yōu)噪聲模型模型不具有普遍性和最優(yōu)性;3)少數(shù)測(cè)站呈現(xiàn)出FN+RW+WN模型,其中RW模型特性主要分布在水平方向上,說(shuō)明測(cè)站水平方向引起的RW分量不可忽略,如呈現(xiàn)出FN+WN+RW模型特性的PIMO站,站點(diǎn)位于菲律賓,因受到2011年日本大地震的影響,導(dǎo)致測(cè)站向E、N方向同震位移60 mm,說(shuō)明受同震、震后變形影響,是GPS站噪聲模型特性呈現(xiàn)出RW特性的原因之一．

2.3 噪聲模型對(duì)IGS站速度的影響分析

為了探討噪聲模型對(duì)GPS站速度的影響,本文以FN+RW+WN、WN、PL、FN+WN、FN+RW五種噪聲模型為例, 以FN+WN+RW為基準(zhǔn)模型,與其他四種噪聲模型站速度求差, 分別對(duì)測(cè)站E、N、U三組坐標(biāo)分量的速度差值對(duì)比分析,得出不同噪聲模型背景下速度差值估計(jì)結(jié)果,如圖1所示．

圖1 E、N、U三方向不同噪聲模型站速度差值估計(jì)分布

由圖1可知,E方向不同噪聲模型站速度差值較小,集中分布在0～0.1 mm/a,FN+RW+WN與FN+WN站速度差值較為集中,約83.3%以上站速度差值小于0.1 mm/a;N方向上站速度差值介于-0.1～0.1 mm/a,最大值約為0.3 mm/a;U方向站速度差值較E方向與N方向的站速度差值較大,站速度差值介于-0.4～0.2 mm/a,個(gè)別測(cè)站最大站速度差值達(dá)到1.0 mm/a.進(jìn)一步對(duì)GPS站速度估計(jì)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,不同噪聲模型站速度差值極值表如表3所示．

表3 不同噪聲模型速度差值極值

由表3可知,E方向不同噪聲模型站速度差值均值小于0.03 mm/a,最小值為0.052 mm/a,最大值為0.368 mm/a;N方向不同噪聲模型站速度差值均值與E方向一致均小于0.03 mm/a,速度差值最小值為0.002 mm/a,最大值為0.504 mm/a;U方向站速度均值相比E、N方向略大,均值小于0.09 mm/a,最小值為0.03 mm/a,最大值為1.045 mm/a．綜上可知在E、N方向上,FN+WN+RW與WN、PL、FN+RW、FN+WN的站速度差值較小,但在U方向上,不同噪聲模型站速度差值略大于E、N方向的站速度估計(jì)差值,說(shuō)明不同噪聲模型對(duì)站速度的影響在U方向表現(xiàn)更為明顯．

2.4 噪聲模型對(duì)IGS站速度不確定度的影響分析

已有研究結(jié)果表明噪聲模型對(duì)速度不確定度的影響較大,為了深入分析噪聲模型對(duì)IGS站速度不確定度的影響,以FN+WN+RW為參照,對(duì)所選的30個(gè)IGS站在不同噪聲模型下的速度不確定度進(jìn)行分析,圖2示出了E、N、U方向不同模型下速度不確定度差值比較結(jié)果，如圖2所示．

圖2 E、N、U三方向不同噪聲模型站速度不確定度差值估計(jì)分布

由圖2可知,E方向不同噪聲模型站速度不確定差值較小,集中分布在0～0.05 mm/a, FN+RW+WN與FN+WN及FN+RW+WN與FN+RW的站速度差值小于0.1 mm/a的約占93.33%;N方向上不同噪聲模型站速度變化與E方向相近,但U方向上,不同噪聲模型站速度不確定度差值變化較大,其差值分布于-1.2～1.3 mm/a區(qū)間,經(jīng)offset資料查證,個(gè)別測(cè)站如GOUG與PIMO測(cè)站受offset影響,其中GOUG站E、N、U方向RW占比分別為2.8%、1.8%、0%,對(duì)應(yīng)的RW分量振幅分別為5.3、4.4、0.0 mm/a r0.5,而B(niǎo)RMU站E、N、U方向RW占比分別為1.5%、0.0%、1.4%,對(duì)應(yīng)的RW分量振幅分別為4.1、0.0、10.5 mm/a r0.5．綜上表明,U方向上,RW分量對(duì)站速度不確定度有一定的影響,且影響不可消除．

為了較深入地分析噪聲模型對(duì)測(cè)站速度不確定的影響結(jié)果,以FN+WN+RW為參照,對(duì)所選的30個(gè)IGS站在不同噪聲模型下的速度不確定度比值分析,如圖3所示．

由圖3可知,FN+RW+WN噪聲模型與WN噪聲模型站速度不確定度比值,在E、N、U方向三坐標(biāo)分量比值最大,分別約為5.3～21.5倍、5.8～21.4倍、5.2～20.3倍; FN+RW+WN噪聲模型與FN+WN噪聲模型站速度不確定度比值,在E、N、U方向,三坐標(biāo)分量為1.0～3.1倍、1.0～3.2倍、1.0～2.5倍．綜上表明:1)假定的GPS坐標(biāo)序列為白噪聲模型時(shí),對(duì)測(cè)站速度不確定度過(guò)高估計(jì);2)不同噪聲模型對(duì)E、N、U方向上的速度不確定度不可忽略,尤其為U方向．

3 結(jié)束語(yǔ)

本文選取30個(gè)GPS站坐標(biāo)時(shí)間序列,探討AIC與BIC噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則對(duì)最優(yōu)噪聲模型選取的可靠性,以FN+WN+RW噪聲模型為參考,與WN、PL、FN+WN、FN+RW噪聲模型對(duì)比分析,分析噪聲模型對(duì)GPS站速度及其不確定度估計(jì)的影響．得出以下結(jié)論:

1)AIC與BIC噪聲模型估計(jì)結(jié)果可靠性高,GPS時(shí)間序列主要表現(xiàn)為FN+WN模型、PL模型以及FN+RW+WN模型,說(shuō)明GPS時(shí)間序列噪聲模型具有多樣性,傳統(tǒng)的WN和FN的最優(yōu)噪聲模型不具有普遍性和最優(yōu)性,此外,當(dāng)AIC與BIC噪聲模型估計(jì)結(jié)果不一致時(shí),需進(jìn)一步研究．

2)不同噪聲模型對(duì)GPS站速度及其不確定度影響較小,但不同噪聲模型E、N、U方向不確定度估值差異較大,且在U分量更為明顯．

3)特殊地理位置的GPS測(cè)站(如處于地震帶的測(cè)站),存在RW噪聲模型特性,但占比較小,說(shuō)明地震是引起RW噪聲特性的因素之一．對(duì)GPS時(shí)間序列進(jìn)行噪聲模型估計(jì)時(shí),可將地震帶的測(cè)站做標(biāo)記研究,盡量減少RW帶來(lái)的不利影響．