☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強(qiáng)

☉甘肅省蘭州市第二中學(xué) 牛睿芳

☉廈門(mén)雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校 馬 賀

一、引言

數(shù)學(xué)教科書(shū)的一個(gè)重要組成部分是習(xí)題，承載著夯實(shí)和深化新知、擴(kuò)充與拓展新知、綜合應(yīng)用知識(shí)、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、診斷學(xué)情與反饋補(bǔ)救等方面的育人功能.數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中不可或缺的組織形式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)來(lái)說(shuō)，研究教科書(shū)習(xí)題、課堂教學(xué)等是直接的、具體的、極有參考價(jià)值的.不同版本的數(shù)學(xué)教科書(shū)在習(xí)題數(shù)量、水平、特點(diǎn)及側(cè)重點(diǎn)上存在差異，它們從不同角度反映了作者的編寫(xiě)意圖、特點(diǎn)和傾向，了解不同版本教科書(shū)習(xí)題的異同有利于在教學(xué)實(shí)踐中取長(zhǎng)補(bǔ)短，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著不可忽視的影響.

統(tǒng)計(jì)與概率是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，本文選取概率中的“幾何概型”習(xí)題（含練習(xí)題）為研究對(duì)象，分別從習(xí)題數(shù)量、類(lèi)型及難度三個(gè)維度對(duì)其進(jìn)行比較研究，以求探析其特點(diǎn)，發(fā)揮其數(shù)學(xué)教育教學(xué)的價(jià)值.

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象及方法

研究共選取5版教科書(shū)“幾何概型”中的習(xí)題進(jìn)行比較分析，這5版教科書(shū)分別是人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》A版和B版（簡(jiǎn)稱(chēng)“人教A版”與“人教B版”），北京師范大學(xué)出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（簡(jiǎn)稱(chēng)“北師大版”），江蘇教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（簡(jiǎn)稱(chēng)“蘇教版”），以及湖南教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（簡(jiǎn)稱(chēng)“湘教版”）.采取定量刻畫(huà)與定性描述相結(jié)合的方法對(duì)其習(xí)題進(jìn)行比較研究.

（二）研究?jī)?nèi)容

1.習(xí)題數(shù)量.統(tǒng)計(jì)各版本教科書(shū)在“幾何概型”一節(jié)中習(xí)題數(shù)量有多少，其統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為：若題目中有多次提問(wèn)，則按一題計(jì)；大題中若有若干小題，則按小題記.

2.習(xí)題類(lèi)型.習(xí)題類(lèi)型主要有客觀題和主觀題兩大類(lèi).5版教科書(shū)習(xí)題中客觀題是指選擇題，而主觀題包括計(jì)算題、閱讀題以及解答題，凡是不能明確判斷為前兩種的均歸為解答題.

3.習(xí)題難度.主要借助于曹一鳴和吳立寶建構(gòu)的例習(xí)題難度模型，從要求水平（YQ）、知識(shí)點(diǎn)含量（ZS）、背景水平（BJ）三個(gè)維度進(jìn)行分析，具體難度水平見(jiàn)表1.

表1 習(xí)題難度水平劃分

習(xí)題難度的計(jì)算公式用如下的①、②、③、④表示.

習(xí)題的平均要求水平（YQ）的計(jì)算方法如下：

其中 “模仿（或理解、或運(yùn)用、或探究）”的

習(xí)題 的計(jì)算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）為“含1個(gè)（或2個(gè)、或3個(gè)、或3個(gè)以上）”的習(xí)題數(shù)目.

習(xí)題的背景水平（BJ）的計(jì)算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）為“無(wú)背景（或個(gè)人生活背景、或公共常識(shí)背景、或科學(xué)背景）”的習(xí)題數(shù)目，所謂“無(wú)背景”是指純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

對(duì)于整部分習(xí)題的難度（N）的計(jì)算，用如下公式：

這里的α，β，γ分別是要求水平、知識(shí)點(diǎn)含量和背景水平的權(quán)重，其值分別為0.38，0.36，0.26（α，β，γ分別是由層次分析法得出的）.

三、研究結(jié)果及分析

按照設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理與統(tǒng)計(jì)分析，其結(jié)果如下：

（一）習(xí)題數(shù)量基本持平

5版教科書(shū)中的習(xí)題各有特色，數(shù)量方面如表2所示.

教科書(shū)版本 練習(xí)題 習(xí)題 總計(jì) 習(xí)題中設(shè)置小問(wèn)的題目數(shù)無(wú)小問(wèn) 1-3小問(wèn) 3小問(wèn)以上人教A版 2 4 6 2 2 2人教B版 0 6 6 6 0 0北師大版 2 5 7 5 2 0蘇教版 5 6 11 10 1 0湘教版 1 6 7 1 3 3

從總量上看，蘇教版在“幾何概型”一節(jié)的習(xí)題設(shè)置是最多的，而其他4版教科書(shū)在習(xí)題總量上基本持平，但不同的是人教A版與湘教版傾向于在同一題設(shè)背景下分小問(wèn)來(lái)設(shè)置題目，內(nèi)容上層層遞進(jìn)，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固很到位.從習(xí)題設(shè)置的總量上看，人教A、B兩版雖然題數(shù)一樣，但人教B版不設(shè)小問(wèn)，且題目中以“隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)”為主，將實(shí)踐與數(shù)學(xué)結(jié)果作對(duì)比，來(lái)考察學(xué)生所得的結(jié)論，題目的開(kāi)放性較強(qiáng).

（二）習(xí)題類(lèi)型分布均勻，計(jì)算與解答題居多

習(xí)題類(lèi)型的統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3.

表3 5版教科書(shū)“幾何概型”一節(jié)的習(xí)題類(lèi)型統(tǒng)計(jì)表

從表中數(shù)據(jù)可知，并沒(méi)有任何一版教科書(shū)是全部涉及到四種習(xí)題類(lèi)型的，各版教科書(shū)的習(xí)題類(lèi)型分布差異不大、比較單一，這與平時(shí)考試題目類(lèi)型的契合度不高，僅人教A版設(shè)計(jì)了選擇題，蘇教版設(shè)置了一道閱讀題，其余主要集中在計(jì)算題與解答題上.

（三）習(xí)題難度差異不大，背景多樣性有待提高

按照難度測(cè)量模型，分別在要求水平、知識(shí)點(diǎn)含量和背景水平三個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)果，見(jiàn)表4.

表4 5版教科書(shū)“幾何概型”一節(jié)習(xí)題的三個(gè)維度考查的統(tǒng)計(jì)表

首先，由表4可知，5版教科書(shū)的習(xí)題設(shè)置對(duì)學(xué)生在“模仿”、“理解”方面的能力要求都很高，人教B版對(duì)學(xué)生的綜合分析能力要求相對(duì)較高，注重推理的綜合化，在學(xué)生的理解中用比較法來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)一；蘇教版處理習(xí)題更加注重層次化，其習(xí)題的設(shè)置梯度明顯，設(shè)有“練習(xí)”“感受·理解”“思考·運(yùn)用”“探究·拓展”等欄目，內(nèi)容難度節(jié)節(jié)上升，過(guò)渡平穩(wěn)；人教A版、北師大版及湘教版均重視知識(shí)鞏固過(guò)程中的碎片化，即將一個(gè)綜合問(wèn)題分解成若干小問(wèn)題，由統(tǒng)一的大前提來(lái)輻射出小問(wèn)題，加深學(xué)生的理解與印象，其意圖在于步步推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，進(jìn)而解決問(wèn)題.總體上，各版教科書(shū)在題目的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上有共同之處，即習(xí)題與例題的契合度比較高，參照例題結(jié)構(gòu)，深化和鞏固新概念，其設(shè)置思路充分體現(xiàn)了例題的示范功能，減少了學(xué)生初學(xué)新知識(shí)的認(rèn)知負(fù)荷，進(jìn)而有利于鞏固思維的深刻性.

其次，在背景因素水平方面，5版教科書(shū)均有涉及背景知識(shí)，但其分布程度各有不同，每版以“個(gè)人生活”為背景的占比均很高，習(xí)題設(shè)計(jì)貼近于生活，包含了諸多生活中的場(chǎng)景，呈現(xiàn)方式也很豐富.相對(duì)來(lái)說(shuō)，人教版的兩版習(xí)題的背景比較單一，集中表現(xiàn)在與例題相同的“轉(zhuǎn)盤(pán)”與“隨機(jī)模擬撒點(diǎn)實(shí)驗(yàn)”上，背景的創(chuàng)新點(diǎn)不足；蘇教版教科書(shū)的習(xí)題背景最為豐富，雖然純數(shù)學(xué)背景（即無(wú)背景）的題目占到45%，但其他題目背景均涉及“個(gè)人生活”、“公共常識(shí)”和“科學(xué)背景”；5版教科書(shū)在“科學(xué)背景”方面的習(xí)題很少.所以，在教科書(shū)習(xí)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)該緊密聯(lián)系實(shí)際背景，重視培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的能力，從而更有力量地去解決變化世界中的問(wèn)題.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，并學(xué)到有用的知識(shí).

最后，習(xí)題的設(shè)置要注重問(wèn)題的引導(dǎo)和生活化，題目的起點(diǎn)較低，給學(xué)生充足的空間去模仿領(lǐng)會(huì)做題的思路.按照教科書(shū)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，對(duì)難度測(cè)算的結(jié)果見(jiàn)表5.

教材版本 要求水平 知識(shí)點(diǎn)含量 背景水平 難度值人教A版 1.83 1.83 2.5 2.01人教B版 2.33 2.17 1.5 2.07北師大版 1.86 2.57 2.14 1.67蘇教版 2 1.64 2 1.87湘教版 1.86 2.43 1.57 1.99

從表5可知，在要求水平方面，人教B版與蘇教版比較高；在知識(shí)點(diǎn)含量方面，人教B版、北師大版、湘教版均很高，其考查范圍較廣，需要學(xué)生調(diào)用儲(chǔ)存于大腦中的長(zhǎng)時(shí)記憶來(lái)解決問(wèn)題，雖然有些知識(shí)點(diǎn)比較簡(jiǎn)單，比如一個(gè)面積計(jì)算公式，但如果被遺忘也會(huì)影響做題效果，故這三版教科書(shū)注重對(duì)以往知識(shí)點(diǎn)的鞏固，且以此為基礎(chǔ)完善新知識(shí)的鞏固.知識(shí)點(diǎn)含量的不同，說(shuō)明各版教科書(shū)設(shè)置習(xí)題的側(cè)重點(diǎn)不同，對(duì)于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備容量的考慮有所差異；表中還可以看到人教A版的背景水平比較高，但需要說(shuō)明的是其背景內(nèi)容單一，這一方面做的較好的是蘇教版，結(jié)合背景，沿著模仿、理解、運(yùn)用、探究每一級(jí)來(lái)設(shè)置習(xí)題，符合思維發(fā)展的遞進(jìn)原則，不同文化背景下思維的著力點(diǎn)有所不同，學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的效果也會(huì)因此有所不同.

通過(guò)④式計(jì)算得到5版教科書(shū)“幾何概型”習(xí)題的整體難度，發(fā)現(xiàn)人教版難度最大，這與習(xí)題表述簡(jiǎn)練，陳述性語(yǔ)言較少有很大關(guān)系；整體來(lái)看，各版教科書(shū)難度差異并不是特別大.

四、研究結(jié)論及反思

經(jīng)過(guò)分析比較，得出了如下一些結(jié)論，這些結(jié)論有利于科學(xué)建構(gòu)習(xí)題并發(fā)揮其功能.

（一）提高題型豐富性，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力發(fā)展水平

基于5版教科書(shū)的習(xí)題題型的分析，能夠清晰地看到，其類(lèi)型主要是計(jì)算與解答題，僅人教A版設(shè)置了選擇題，蘇教版設(shè)計(jì)了閱讀題，其余教科書(shū)均只有兩種題型，這與數(shù)學(xué)思維發(fā)展的要求并不相符，如果教科書(shū)中僅有單一的題型，那么學(xué)生就會(huì)形成定式思維，所以，在教科書(shū)習(xí)題設(shè)置中要突破題型單一的局面，不斷增加諸如辨析題、說(shuō)理題、拓展題等題型，以此促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷舒展，學(xué)習(xí)能力不斷提升.

（二）習(xí)題背景多樣化，增強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域融合度

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的是幫助學(xué)生在應(yīng)對(duì)復(fù)雜世界的挑戰(zhàn)時(shí)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光、思維、語(yǔ)言來(lái)分析、思考數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，進(jìn)而有效地去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.為此，需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)習(xí)題背景的多樣化，依據(jù)生活情景、公共常識(shí)，以及科學(xué)背景來(lái)設(shè)計(jì)習(xí)題，用貼近實(shí)際生活的數(shù)據(jù)拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，“幾何概型”一節(jié)主要展現(xiàn)的是應(yīng)用型知識(shí)，應(yīng)該用多樣化的背景，結(jié)合各個(gè)領(lǐng)域的現(xiàn)實(shí)來(lái)表征知識(shí)的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（三）習(xí)題注重分層設(shè)計(jì)，體現(xiàn)難度的梯度性

各版教科書(shū)中所提供的習(xí)題雖然在知識(shí)考查上比較全面，但仍以鞏固基礎(chǔ)知識(shí)為主，題目較為簡(jiǎn)單，有很大的提升空間.教科書(shū)習(xí)題應(yīng)當(dāng)有明顯的層級(jí)關(guān)系，僅蘇教版梯度體現(xiàn)的較為明顯，人教A版、B版有A、B組的分類(lèi)，其習(xí)題設(shè)計(jì)的思路是“以基礎(chǔ)誘發(fā)思考，然后應(yīng)用鞏固，加深理解，最后一般是對(duì)其新學(xué)知識(shí)的拓展延伸，這對(duì)學(xué)生要求比較高”.事實(shí)上，習(xí)題設(shè)計(jì)中的分層設(shè)計(jì)有利于引導(dǎo)學(xué)生明晰思路，逐步突破，也有利于不同層次的學(xué)生完成不同水平的習(xí)題任務(wù)，盤(pán)活學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)與資源，為教師在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)與處理不同的習(xí)題類(lèi)型提供一條有效路徑，但現(xiàn)階段各版教科書(shū)習(xí)題的難度差異并不大，因此需要有梯度性的設(shè)計(jì)，才能有目的地激活學(xué)生的思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和探索精神.

五、結(jié)束語(yǔ)

習(xí)題是學(xué)生課后鞏固知識(shí)，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要途徑之一，習(xí)題的設(shè)置應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，過(guò)多或不足均不利于學(xué)習(xí)任務(wù)的完成，因此，要高度重視習(xí)題的設(shè)計(jì)，深入思考不同內(nèi)容背后習(xí)題設(shè)置的類(lèi)型、背景、難度等問(wèn)題，科學(xué)合理地論證習(xí)題設(shè)計(jì)的意境、題量、表述，基于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的視角來(lái)探索習(xí)題系統(tǒng).通過(guò)對(duì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)、思考與習(xí)題的解決達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.