劉江川，陳 超，李 燕

(1.長春工程學(xué)院水利與環(huán)境工程學(xué)院，長春 130012；2.吉林省水利電力工程物理級仿真與安全創(chuàng)新中心，長春 130012)

0 引言

有限元法[1](Finite Element Method，F(xiàn)EM)將結(jié)構(gòu)離散化，用節(jié)點將有限個簡單單元相互連接來表示復(fù)雜結(jié)構(gòu)，再根據(jù)平衡、變形協(xié)調(diào)條件對結(jié)構(gòu)進行綜合求解。但是，傳統(tǒng)有限元對工程中存在的不連續(xù)問題的處理卻不盡人意，比如裂縫、雜質(zhì)、孔隙等。

一般而言，結(jié)構(gòu)在外界作用下出現(xiàn)不連續(xù)問題是不可避免的，而不連續(xù)部位對結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定和破壞起控制作用，并且難以計算和監(jiān)控。Beleytachko教授提出的擴展有限元法[1](Extended Finite Element Method，XFEM)，解決了不連續(xù)問題的有限元計算，可以稱作解決不連續(xù)問題最有效的數(shù)值方法。XFEM在常規(guī)有限元法的位移模式中加入特定函數(shù)反映不連續(xù)面[2]，不連續(xù)面與計算網(wǎng)格是相互獨立的，裂紋的幾何界面不依賴于單元邊界，裂紋擴展過程中也不需要重新劃分網(wǎng)格單元[3]

本文結(jié)合擴展有限元法和塑性損傷模型[3]，以Koyna大壩為例，模擬在強震作用下壩體混凝土的損傷破壞過程，研究在強震作用下，混凝土重力壩的裂縫擴展情況[1]。

1 混凝土塑性損傷模型

1.1 應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

在混凝土塑性損傷模型中，假定混凝土的破壞主要是由受拉、受壓導(dǎo)致材料破裂形成的，屈服面和破壞面的發(fā)展是由拉壓等效塑性應(yīng)變控制的[4]。在處于彈性階段時，采用線彈性模型表達混凝土的力學(xué)性能[5]，當混凝土進入塑性損傷階段，用損傷因子和初始無損彈性模量表達受到損傷后混凝土的彈性模量[6]：

E=(1-d)E0，

(1)

式中：E0為混凝土的初始無損彈性模量；d為混凝土的損傷因子。

1.2 損傷因子

材料在加載條件下，內(nèi)凝聚力不斷減弱，由于微缺陷的產(chǎn)生和發(fā)展，導(dǎo)致單元發(fā)生破壞，引起材料逐步劣化，這就是“損傷”。而損傷常與彈性、塑性、彈塑性材料相結(jié)合，作為一種描述劣化程度的因素。我們在研究混凝土應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系時，常采用損傷因子的概念來描述卸載過程中材料的剛度退化等現(xiàn)象[7]。損傷因子的數(shù)值按式(2)計算：

(2)

式中：K為混凝土的應(yīng)力狀態(tài)；t，c分別表示受拉、受壓狀態(tài)；ein為混凝土在拉壓情況下非彈性階段的應(yīng)變；b為塑性應(yīng)變比非彈性應(yīng)變[8]，當混凝土受壓時，取0.135～0.17，當混凝土受拉時，取0.15～0.195。

2 建立有限元模型

2.1 工程概況

1967年12月10日，Koyna大壩附近發(fā)生6.7級地震，連續(xù)地震45 s，導(dǎo)致壩體和水電站建筑嚴重受損，當?shù)鼐用袼纻芏?，并造?6萬人流離失所。Koyna大壩壩型為混凝土重力壩，最大壩高為103.00 m，底寬70.00 m，地震發(fā)生時的壩前水深為91.50 m，Koyna大壩相關(guān)材料物理力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 Koyna大壩材料的物理力學(xué)參數(shù)

2.2 建模概況

地震波采用Koyna地震的水平與豎向記錄值，分別定義順河向和垂直向為作用方向，Koyna地震的地震波如圖1所示。假設(shè)基礎(chǔ)為剛性，研究壩體在雙向地震波共同作用下的非線性響應(yīng)。計算荷載為：混凝土壩體自重+地震發(fā)生時的上下游靜水壓力+動水壓力+地震。

3 結(jié)果分析

3.1 反應(yīng)譜法與時程法

為了研究壩體在地震荷載下的應(yīng)力變形分布[9]，分別用反應(yīng)譜法和時程法進行動力分析，兩種方法的應(yīng)力分布如圖2所示。在壩高約66 m處，明顯出現(xiàn)了拉應(yīng)力集中區(qū)，在地震作用下，上游面的拉應(yīng)力超過了4 MPa，下游壩面折坡處的拉應(yīng)力超過7 MPa，壩踵處的局部應(yīng)力超過了3 MPa[9]，地震下壩體產(chǎn)生的拉應(yīng)力大于混凝土的抗拉強度2.90 MPa，壩體將出現(xiàn)裂縫，有限元分析中的最大壓應(yīng)力<13 MPa，抗壓強度滿足要求。

(a)反應(yīng)譜法

在地震作用下，壩踵處首先出現(xiàn)拉應(yīng)力損傷，隨著地震的進行，損傷區(qū)逐漸上移，在T=3.88 s時，下游折坡處出現(xiàn)拉應(yīng)力損傷區(qū)，損傷因子為0.25；在T=4.36 s時，損傷區(qū)從下游折坡處逐漸向上游面發(fā)展，折坡處損傷因子為0.56；在T=5.62 s時，下游折坡處損傷因子達到0.83，之后損傷區(qū)不再發(fā)展，這表明損傷區(qū)在壩體上部形成貫穿裂縫，拉應(yīng)力損傷分布如圖3所示。

(a)T=3.88 s

壩頂上游A點水平和豎直向位移時程曲線如圖4所示。

(a)水平位移

位移時程曲線表明該點水平和豎直位移在5.0 s左右達到頂峰，6 s后開始位移減小。這說明隨著裂縫的擴展，裂縫以上部位壩體受地震作用相對減小[9]。

3.2 擴展有限元法分析

用擴展有限元法對地震作用下的壩體裂紋擴展進行模擬，裂紋擴展過程和應(yīng)力分布如圖5～6所示。在T=3.67 s時，大壩下游面折坡處首先出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力值達到4.38 MPa，壩體進入裂紋擴展的初始階段；在T=4.32 s時，裂紋逐漸向上游壩面發(fā)展，最大應(yīng)力在裂縫縫尖處，并且上游壩面也開始出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象；在T=5.62 s時，裂縫繼續(xù)擴展，上游壩面應(yīng)力進一步集中，直至裂縫貫穿整個壩面，縫尖應(yīng)力達到8.91 MPa。

(a)T=3.67 s

(a)T=3.67 s

通過壩體混凝土裂紋擴展的情況，在壩下游折坡面首先出現(xiàn)應(yīng)力集中且形成裂紋，隨著裂紋向上游擴展，應(yīng)力集中也是隨著裂紋進一步擴展。裂縫的發(fā)展和混凝土損傷因子分布規(guī)律大致相同，這也驗證了XFEM法計算結(jié)果具有較高的精確度。

4 結(jié)論

1)用XFEM模擬的Koyna大壩壩體混凝土損傷和裂縫擴展狀況與Koyna大壩的實際破壞情況相一致，驗證了XFEM分析不連續(xù)問題的有效性。

2)采用XFEM分析，能真實模擬裂縫的發(fā)展狀態(tài)，裂縫可從單元內(nèi)部斷開，不依賴單元邊界，計算結(jié)果精確度較高，并且不需要預(yù)留單元，減少了單元數(shù)目，還縮短了計算時長，計算結(jié)果滿足工程分析的一般需求，可為復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)分析提供借鑒。

3)在地震作用力下，壩體產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力，而混凝土抗拉強度較小，在大壩下游面折坡處首先發(fā)生裂縫，并逐漸向上游面擴展，直到貫穿整個壩體。