程鑫 薛文瑞? 衛(wèi)壯志 董慧瑩 李昌勇

1) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院, 太原 030006)

2) (山西大學(xué)激光光譜研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

3) (山西大學(xué), 極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

設(shè)計(jì)了一種涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)納米線光波導(dǎo). 采用分離變量法, 在橢圓柱坐標(biāo)系中, 借助Mathieu函數(shù), 得到了色散方程. 通過數(shù)值求解色散方程, 可以得到模式的有效折射率和場分布, 從而得到模式的傳播長度. 研究了工作波長、結(jié)構(gòu)參數(shù)以及石墨烯的費(fèi)米能對(duì)模式特性的影響, 并給出了前五個(gè)模式的品質(zhì)因數(shù). 計(jì)算表明, 當(dāng)波長從 4.3 增加到 8.8 , 這 5 個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部減小, 基模和一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小. 當(dāng)改變納米線結(jié)構(gòu)參數(shù)半長軸和半短軸時(shí), 對(duì)基模和一階模的模式特性影響較小, 對(duì)二階模的模式特性影響較大. 當(dāng)石墨烯的費(fèi)米能從0.45 eV增加到0.72 eV時(shí), 有效折射率的實(shí)部減小, 傳播長度可以達(dá)到2 左右. 分離變量法得到的結(jié)果與有限元方法得到的結(jié)果完全一致. 本文工作可以為基于涂覆石墨烯的電介質(zhì)納米線的光波導(dǎo)的設(shè)計(jì)、制作和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

1 引 言

表面等離子激元(SPPs)是一種電磁表面波.利用SPPs可以在亞波長范圍內(nèi)約束和控制光波的傳輸, 因此SPPs在納米光子學(xué)中有著重要的應(yīng)用前景[1].

石墨烯是一種由碳原子緊密堆積而成的蜂巢晶格的二維結(jié)構(gòu)[2-4], 在其表面可以激發(fā)SPPs[5].石墨烯有三大優(yōu)點(diǎn): 超強(qiáng)的模式約束、相對(duì)較大的傳播長度、可調(diào)的化學(xué)勢和載流子遷移率[6]. 因此,在中紅外到太赫茲波段, 石墨烯是優(yōu)選的材料. 許多學(xué)者對(duì)基于石墨烯的各種結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)進(jìn)行了研究, 例如基于石墨烯帶的平板波導(dǎo)[7,8]、基于石墨烯的楔形/槽形波導(dǎo)[9,10]和基于石墨烯的混合波導(dǎo)[11-13]等. 與傳統(tǒng)的基于貴重金屬的表面等離子波導(dǎo)相比, 基于石墨烯的表面等離子波導(dǎo)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn): 歐姆損耗低、對(duì)電磁場有較強(qiáng)的亞波長約束能力[7].

近年來, 為了傳輸中紅外到太赫茲波, 涂覆石墨烯的電介質(zhì)納米線波導(dǎo)受到了人們的關(guān)注. 這類波導(dǎo)是在單根或多根對(duì)稱、非對(duì)稱分布的圓柱形電介質(zhì)納米線上涂一層或多層石墨烯構(gòu)成. 與平板石墨烯波導(dǎo)相比, 這類波導(dǎo)不存在邊緣損耗. 研究表明, 在涂覆單層石墨烯的單根圓柱形納米線波導(dǎo)中, 通過調(diào)節(jié)工作波長, 可以實(shí)現(xiàn)單模工作[6]; 在涂覆單層石墨烯的方形納米線波導(dǎo)中, 可以實(shí)現(xiàn)較小的歸一化模式面積[14]; 在涂覆雙層石墨烯的單根圓柱形納米線波導(dǎo)中, 可實(shí)現(xiàn)深度亞波長約束[15]; 在涂覆多層石墨烯的單根圓柱形納米線波導(dǎo)中, 可進(jìn)一步增強(qiáng)模式的束縛性[16]; 在涂覆單層石墨烯的并行納米線波導(dǎo)的狹縫區(qū)域, 有明顯的場增強(qiáng)效應(yīng)及超強(qiáng)的梯度力[17,18]; 在涂覆單層石墨烯的非對(duì)稱并行納米線波導(dǎo)中, 可以靈活調(diào)節(jié)模式的傳輸性能[19].在涂覆雙層石墨烯的納米并行線間狹縫區(qū), 可以得到更高的場增強(qiáng)[20]. 在涂覆單層石墨烯的三根并行納米線波導(dǎo)中, 可以靈活調(diào)節(jié)模式的有效折射率及傳播長度[21]. 在低太赫茲頻率下, 利用石墨烯單層和納米結(jié)構(gòu)石墨烯超表面可以使電介質(zhì)和金屬橢圓柱隱身[22].

本文設(shè)計(jì)了一種涂覆單層石墨烯的單根橢圓形電介質(zhì)納米線光波導(dǎo), 采用分離變量法, 對(duì)這種波導(dǎo)所支持的模式進(jìn)行研究. 就工作波長、結(jié)構(gòu)參數(shù)以及石墨烯的費(fèi)米能對(duì)模式特性的影響進(jìn)行了分析. 為了驗(yàn)證分離變量法結(jié)果的正確性, 與有限元法(FEM)的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比. 這種波導(dǎo)有望在中紅外到太赫茲波的保偏傳輸方面得到應(yīng)用[23-25].本文設(shè)計(jì)的涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)納米線光波導(dǎo)利用了表面等離子共振效應(yīng). 由于表面等離子激元(SPPs)的傳輸距離在波長量級(jí), 適用于短距離傳輸, 在存儲(chǔ)器[26]、光操控[27]和光子器件的高密度集成[28]等領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用前景.

2 理論模型與計(jì)算方法

涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)納米線光波導(dǎo)的橫截面如圖1所示. 它是在相對(duì)介電常數(shù)為的橢圓形電介質(zhì)納米線的表面涂覆單層石墨烯材料構(gòu)成, 背景介質(zhì)是空氣, 介電常數(shù)為. 假設(shè),. 波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的半長軸為, 半短軸為, 橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和, 半焦距為.石墨烯的表面電導(dǎo)率與工作角頻率、環(huán)境溫度和石墨烯的費(fèi)米能有關(guān), 由帶內(nèi)電導(dǎo)率和帶間電導(dǎo) 率兩部分 構(gòu) 成 (), 并可以通過Kubo公式得到[29]:

圖1 涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)納米線光波導(dǎo)的橫截面示意圖Fig. 1. Cross section of the optical waveguide based on graphene-coated elliptical dielectric nanowire.

由(7)式可以得到一個(gè)奇次的線性代數(shù)方程組:

3 結(jié)果及分析

圖2(a)—圖 2(e)分別給出在 a = 110 nm,b = 80 nm,和的情況下, 該波導(dǎo)支持的五個(gè)最低階模式(依次命名為Mode 1,Mode 2, Mode 3,和 Mode 5)對(duì)應(yīng)的 z 方向電場分量分布, 圖2(f)—圖2(j)為其對(duì)應(yīng)的電場強(qiáng)度分布. 可以看出, 場集中分布在石墨稀涂層附近. 其中 Mode 1 為基模, Mode 2 和 Mode 3為一階模, Mode 4 和 Mode 5 為二階模. Mode 1,Mode 3 和 Mode 5 為偶模, Mode 2 和 Mode 4 為奇模.

圖3(a)—圖 3(c)分別給出了在 a = 110 nm,b = 80 nm 和的情況下, 有效折射率實(shí)部、傳播長度和品質(zhì)因數(shù)FOM與波長之間的依賴關(guān)系. 圖中實(shí)線為 FEM 的模擬結(jié)果, 點(diǎn)線為分離變量法得到的計(jì)算結(jié)果, 下文中均用該方法標(biāo)注. 從圖3中可以看出, 隨著波長的增大, 前五個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部都單調(diào)減小,其中 Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的有效折射率的實(shí)部下降較慢, 而 Mode 4 和 Mode 5 的有效折射率的實(shí)部下降較快. 隨著波長的增大, Mode 1,Mode 2 與 Mode 3 的傳播長度單調(diào)增加, 而 Mode 4和Mode 5的傳播長度先增大后減小. 隨著波長的增大, 品質(zhì)因數(shù)FOM先增大再逐漸減小, 其中Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的品質(zhì)因數(shù)下降較慢,而 Mode 4 和 Mode 5 的品質(zhì)因數(shù)下降較快. 因?yàn)槠焚|(zhì)因數(shù)FOM越大, 波導(dǎo)的傳輸性能越好[35], 在所選參數(shù)范圍內(nèi), Mode 2 的品質(zhì)因數(shù)最大, 所以Mode 2的傳輸性能最好.

上述現(xiàn)象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5 為例, 圖 4 給出了, 7.5 和 8.5三種情況下電場強(qiáng)度分布的對(duì)比圖. 從圖中可以看出, 當(dāng)時(shí), 場被緊密地約束在石墨烯涂層附近,場與石墨烯涂層之間的相互作用強(qiáng), 此時(shí)波導(dǎo)對(duì)場的約束性非常強(qiáng), 能量分布集中, 但模式的傳輸損耗較大, 傳播長度較小. 當(dāng)時(shí), 場分布擴(kuò)散至電介質(zhì)納米線和空氣中, 場與石墨烯涂層之間的相互作用變?nèi)? 波導(dǎo)對(duì)場的束縛性變?nèi)? 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當(dāng)時(shí), 雖然場分布擴(kuò)散到電介質(zhì)納米線和空氣中的越來越多,波導(dǎo)對(duì)場的束縛性變?nèi)? 但是石墨烯涂層附近的場的強(qiáng)度增強(qiáng), 場與石墨烯之間的相互作用變強(qiáng), 傳輸損耗增大, 因而傳播長度減小.

圖2 在 a = 110 nm, b = 80 nm, 和 的情況下, 前五個(gè)模式對(duì)應(yīng)的 z 方向電場分量 (a)—(e)與電場強(qiáng)度 分布圖 (f)—(j)Fig. 2. The z direction electric field component (a)—(e)and electric field intensity (f)—(j) corresponding to the first 5 modes with a = 110 nm, b = 80 nm, and .

圖3 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下, 有效折射率實(shí)部(a), 傳播長度(b)和品質(zhì)因數(shù)(c)與波長的關(guān)系Fig. 3. Dependence of the real part of the effective refractive index (a), propagation length (b) and FOM (c) on the wavelength with a = 110 nm, b = 80 nm and .

圖5 (a)—圖 5(c)分別給出了在 b = 90 nm,部、傳播長度和品質(zhì)因數(shù)FOM與半長軸a的關(guān)系. 從圖中可以看出, 當(dāng)半短軸b的長度一定時(shí), 隨著a的增大, 前5個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部逐漸增大, 其中Mode 3的有效折射率的實(shí)部變化極小, Mode 1 和 Mode 2 的有效折射率的實(shí)部增長速度比 Mode 4 和 Mode 5 的慢. 隨著a 的增大, Mode 1 的傳播長度基本不變, Mode 3的傳播長度緩慢減小, Mode 2, Mode 4 和 Mode 5的傳播長度緩慢增大. 隨半長軸 a 的增大, Mode 1和 Mode 2 的品質(zhì)因數(shù)增加較慢, Mode 3 的品質(zhì)因數(shù)緩慢減小, Mode 4 和 Mode 5 的品質(zhì)因數(shù)增加較快. 在所選參數(shù)范圍內(nèi), Mode 2 的品質(zhì)因數(shù)最大, 傳輸性能最好.

圖4 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下,不同波長時(shí)Mode 5的電場強(qiáng)度 分布圖 (a) ;(b) ; (c)Fig. 4. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different wavelength when a = 110 nm,b = 80 nm and : (a) ; (b) ;(c) .

圖5 b = 90 nm, 和 的情況下, 有效折射率實(shí)部(a), 傳播長度(b)和品質(zhì)因數(shù)(c)與半長軸a的關(guān)系Fig. 5. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of semimajor axis when b = 90 nm, and .

上述現(xiàn)象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5為例, 圖 6 給出了當(dāng) b = 80 nm,,時(shí), a = 100, 120 和 140 nm 情況下的電場強(qiáng)度分布對(duì)比圖. 從圖中可以看出, 當(dāng) a = 100 nm 時(shí),石墨烯橢圓環(huán)的周長較小, 場被約束在石墨烯橢圓環(huán)附近, 場與石墨烯之間的相互作用強(qiáng), 模式的傳輸損耗大, 傳播長度小. 當(dāng) a = 120 nm 時(shí), 石墨烯橢圓環(huán)的周長變大, 場分布的范圍擴(kuò)大, 在半長軸增大的過程中, 左右花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度基本保持不變, 而上下花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度減小, 場與石墨烯之間的相互作用變?nèi)? 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當(dāng) a = 140 nm 時(shí), 石墨烯橢圓環(huán)的周長進(jìn)一步變大, 場分布進(jìn)一步擴(kuò)散, 在半長軸增大的過程中, 左右花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度基本保持不變, 而上下花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度進(jìn)一步減小, 場與石墨烯之間的相互作用進(jìn)一步變?nèi)? 傳輸損耗進(jìn)一步減小, 因而傳播長度進(jìn)一步增大.

圖6 在 b = 80 nm, 和 的情況下,半長軸長度取不同值時(shí)Mode 5的電場強(qiáng)度 分布圖(a) a = 100 nm; (b) a = 120 nm; (c) a = 140 nmFig. 6. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different length of semi-major axis when b = 80 nm, and : (a) a = 100 nm;(b) a = 120 nm; (c) a = 140 nm.

圖 7 當(dāng) a = 110 nm, 和 時(shí), 有效折射率實(shí)部(a), 傳播長度(b)和品質(zhì)因數(shù)(c)與半短軸b的關(guān)系Fig. 7. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of semiminor axis when a = 110 nm, and .

圖7 (a)—圖 7(c)分別給出了在 a = 110 nm,部、傳播長度和品質(zhì)因數(shù)FOM與半短軸之間的關(guān)系. 從圖 7中可以看出, 當(dāng)半長軸a 的長度一定時(shí), 隨著半短軸 b 的增大, Mode 1,Mode 3, Mode 4 和 Mode 5 的有效折射率的實(shí)部逐漸增大, 其中 Mode 5 的增加速度最快, Mode 2的有效折射率的實(shí)部緩慢減小. 隨著半短軸b的增大, 除Mode 2外其余4個(gè)模式的傳播長度都在增大, 其中 Mode 5 的增長速度最快. 隨著半短軸b的增大, 除Mode 2外其余4個(gè)模式的品質(zhì)因數(shù)FOM 都單調(diào)增大, 其中 Mode 1 和 Mode 3 的品質(zhì)因數(shù)增加較慢, Mode 5 的品質(zhì)因數(shù)增加較快. 在所選參數(shù)范圍內(nèi), 當(dāng) b < 95 nm 時(shí), Mode 2 的品質(zhì)因數(shù)最大, 傳輸性能最好, 當(dāng)> 95 nm 時(shí),Mode 1的品質(zhì)因數(shù)最大, 傳輸性能最好.

圖8 在 a = 110 nm, 和 的情況下,半短軸長度取不同值時(shí)Mode 5的電場強(qiáng)度 分布圖(a) b = 65 nm; (b) b = 85 nm; (c) b = 105 nm.Fig. 8. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different length of semi-minor axis when a = 110 nm, and : (a) b = 65 nm;(b) b = 85 nm; (c) b = 105 nm.

上述現(xiàn)象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5為例, 圖 8 給出了 b = 65, 85 和 105 nm 情況下的電場強(qiáng)度分布對(duì)比圖. 從圖中可以看出, 當(dāng) b =65 nm 時(shí), 石墨烯橢圓環(huán)的周長較小, 場被約束在石墨烯橢圓環(huán)附近, 場與石墨烯之間的相互作用較強(qiáng), 模式的傳輸損耗大, 因此傳播長度小. 當(dāng) b =85 nm 時(shí), 石墨烯橢圓環(huán)的周長變大, 場分布逐漸擴(kuò)散, 左右花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度有所減弱, 而上下花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度基本保持不變, 場與石墨烯之間的相互作用變?nèi)? 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當(dāng)半短軸增大至 105 nm時(shí), 石墨烯橢圓環(huán)的周長進(jìn)一步增大, 場分布的擴(kuò)散范圍也進(jìn)一步變大, 左右花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度進(jìn)一步減弱, 而上下花瓣對(duì)應(yīng)的場的強(qiáng)度基本保持不變, 場與石墨烯之間的相互作用進(jìn)一步減弱, 傳輸損耗進(jìn)一步減小,因而傳播長度也進(jìn)一步增大.

圖9 當(dāng) a = 110 nm, b = 80 nm 和 時(shí), 有效折射率實(shí)部(a), 傳播長度(b)和品質(zhì)因數(shù)(c)與費(fèi)米能的關(guān)系Fig. 9. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of Fermi energy when a = 110 nm, b = 80 nm and .

圖10 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下,費(fèi)米能取不同值時(shí) Mode 5的電場強(qiáng)度 分布圖(a) ; (b) ; (c)Fig. 10. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different values of Fermi energy when a = 110 nm, b = 80 nm, : (a) ;(b) ; (c) .

圖11 在 和 b = 100 nm 的條件下, 當(dāng) a = 100 和 140 nm 時(shí), Mode 5 的有效折射率實(shí)部 (a)和傳播長度 (b) 隨波長變化的曲線圖Fig. 11. When a = 100 and 140 nm, the real part of the effective refractive index (a) , propagation length (b) as a function of wavelength at and b = 100 nm.

圖12 在 b = 100 nm 和 的條件下, 當(dāng) a = 100 和 140 nm 時(shí), Mode 5 的有效折射率實(shí)部 (a)和傳播長度 (b)隨石墨烯費(fèi)米能變化的曲線圖Fig. 12. When a = 100 and 140 nm, the real part of the effective refractive index (a), propagation length (b) as a function of graphene Fermi energy at b = 100 nm and .

圖9 (a)—圖 9(c)分別給出了在 a = 110 nm,b = 80 nm 和情況下, 有效折射率實(shí)部、傳播長度和品質(zhì)因數(shù)FOM與費(fèi)米能EF之間的依賴關(guān)系. 從圖9中可以看出, 隨著費(fèi)米能的增大, 前5個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部都單調(diào)減小, 其中 Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的有效折射率的實(shí)部下降較慢, 而 Mode 4 和 Mode 5的有效折射率的實(shí)部下降較快. 隨著費(fèi)米能的增大, Mode 1, Mode 2 與 Mode 3 的傳播長度單調(diào)增加, Mode 4 和 Mode 5 的傳播長度先增大隨后減小. 隨著費(fèi)米能的增大, Mode 1, Mode 2 和 Mode 3的品質(zhì)因數(shù)緩慢增大, Mode 4 和 Mode 5 的品質(zhì)因數(shù)逐漸減小.

上述現(xiàn)象可以通過場分布來解釋. 石墨烯的表面電導(dǎo)率可以通過改變費(fèi)米能級(jí)的大小來改變, 因此波導(dǎo)模式的傳輸性能還可以通過石墨烯的費(fèi)米能級(jí)來調(diào)節(jié). 以 Mode 5 為例, 圖 10 給出了,和情況下的電場強(qiáng)度分布對(duì)比圖.從圖中可以看出, 當(dāng)時(shí), 場被緊密地約束在石墨烯涂層附近, 場與石墨烯涂層之間的相互作用強(qiáng), 此時(shí)波導(dǎo)對(duì)場的約束性非常強(qiáng), 能量分布集中, 模式的傳輸損耗較大, 傳播長度較小. 當(dāng)涂層之間的相互作用變?nèi)? 波導(dǎo)對(duì)場的束縛性變?nèi)?, 傳 輸 損 耗 減 小 , 因 而 傳 播 長 度 增 大 . 當(dāng)之間的相互作用變強(qiáng), 傳輸損耗增大, 因而傳播長度減小.

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)納米線波導(dǎo). 在橢圓柱坐標(biāo)系中, 借助Mathieu函數(shù), 通過分離變量法, 推導(dǎo)出色散方程, 并通過數(shù)值方法求解了這個(gè)色散方程. 研究了波導(dǎo)最低階的5個(gè)模式的傳輸特性, 以及工作波長、半長軸、半短軸、費(fèi)米能的變化對(duì)這5個(gè)模式的傳輸特性的影響, 并對(duì)各參數(shù)變化時(shí), 各個(gè)模式的品質(zhì)因數(shù)進(jìn)行了對(duì)比, 選出了最優(yōu)的模式. 結(jié)果表明: 工作波長從 4.3增大至 8.8時(shí), 5 個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部都減小, 基模與一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小; 當(dāng)半短軸一定, 半長軸從 95 nm 增大至 140 nm 時(shí), 有效折射率的實(shí)部逐漸增大, 其中 Mode 3 變化極小, 除Mode 3的傳播長度緩慢減小外其他模式的傳播長度都增大; 當(dāng)半長軸一定, 半短軸從60 nm增大至105 nm 時(shí), 除 Mode 2 的有效折射率的實(shí)部與傳播長度減小外, 其他模式的有效折射率的實(shí)部與傳播長度都增大; 費(fèi)米能從到變化時(shí),前5個(gè)模式的有效折射率的實(shí)部都減小, 基模與一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小. 分離變量法的計(jì)算結(jié)果與有限元法仿真的結(jié)果一致. 本文所研究的涂覆石墨烯的橢圓形電介質(zhì)波導(dǎo)在中紅外到太赫茲波的保偏傳輸方面具有應(yīng)用前景.