■王菲菲

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法是由全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師提出的，該教學(xué)法倡導(dǎo)“三學(xué)”，即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成。筆者觀摩學(xué)習(xí)南通市學(xué)科帶頭人劉東升老師所執(zhí)教“數(shù)的開方”起始課，梳理教學(xué)實(shí)錄和聽課后的體會(huì)與思考，研究“三學(xué)”理念的課題實(shí)踐。

一、“數(shù)的開方”起始課課堂實(shí)錄

1.從數(shù)與運(yùn)算說起，引入課題。

師：今天上課之前我請(qǐng)班長(zhǎng)在黑板上給我們畫了這一幅人物肖像（如左圖），他是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家希帕索斯，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)第一人。

要想理解他發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)，我們首先從已經(jīng)學(xué)過的數(shù)說起。還記得我們之前學(xué)了哪些數(shù)嗎？

生1：有理數(shù)。

師：有理數(shù)可以分為什么呢？

生2：整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：學(xué)習(xí)了數(shù)之后，我們還學(xué)習(xí)了它們的運(yùn)算。到目前為止我們學(xué)習(xí)了哪些運(yùn)算？

生3：有理數(shù)的加減法、乘除法。

師：那么加法和減法有什么關(guān)系呢？乘法和除法之間又是什么關(guān)系呢？

生4：減法是加法的逆運(yùn)算。除法是乘法的逆運(yùn)算。

師：還有嗎？我們上一章學(xué)習(xí)了什么運(yùn)算？

生5：乘方運(yùn)算。

師：剛剛我們說了加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法，今天我們就要介紹乘方的逆運(yùn)算。

2.師生互議，歸納定義。

師：我們先看兩個(gè)乘方的例子，22等于多少？23等于多少？

生6：22=4，23=8。

師：現(xiàn)在已知某個(gè)數(shù)的平方等于4，求這個(gè)數(shù)的值，可以設(shè)這個(gè)數(shù)為x，那么x2=4，x=±2。x在乘方里叫底數(shù)，2是指數(shù)，4是冪。已知冪、指數(shù)，求底數(shù)就是乘方的逆運(yùn)算。這種運(yùn)算叫什么？請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來給乘方的逆運(yùn)算取個(gè)名字。

生7：可以叫開方。

師：好的，我們就叫開方。那么剛剛已知x2=4，求x的值，因?yàn)?是x的平方，那么我們就叫做開平方。現(xiàn)在如果已知x3=8，求x的值。

生8：x=2。

師：那么類比上面的開平方，我們可以把“已知x3=8，求x”的這個(gè)運(yùn)算叫做什么？

生9：開立方。

師：我們知道加法的結(jié)果叫“和”，減法的結(jié)果叫“差”，乘法的結(jié)果叫“積”，除法的結(jié)果叫“商”，乘方的結(jié)果叫“冪”，那么我們把開方的結(jié)果就叫做“方根”，開平方的結(jié)果叫做“平方根”，開立方的結(jié)果叫做“立方根”。下面我們先來研究平方根，從定義、求法、符號(hào)和性質(zhì)這四個(gè)方面來研究它。首先，研究平方根的定義，通過剛剛求解x2＝4的過程，能不能嘗試歸納出來？

生10：如果x2=a，則x叫做a的平方根。

師：這個(gè)時(shí)候?qū)有沒有什么要求？

生11：我認(rèn)為a≠0。

師：當(dāng)a=0時(shí)，也就是x2=0，這個(gè)時(shí)候x=0，即02=0，不違反定理，所以a可以等于0。請(qǐng)各位同學(xué)站起來進(jìn)行小組討論，這個(gè)a有沒有什么要求？討論完的小組就可以坐下。

生12：我們小組認(rèn)為a≥0，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)。

師：非常好！所以我們就得出了平方根的定義：如果x2=a，a≥0，則x叫做a的平方根。下面如何求平方根呢？剛剛我們是如何求4的平方根的？

生13：通過±2的平方等于4，得到4的平方根就是±2。

師：平方和開平方互為逆運(yùn)算，根據(jù)這種運(yùn)算關(guān)系，可以求一個(gè)數(shù)的平方根。所以平方根的求法就是依據(jù)開方和乘方的逆運(yùn)算的關(guān)系。請(qǐng)同學(xué)來舉幾個(gè)數(shù)的平方根的例子，練習(xí)一下求法。

14生：25的平方根是±5。24的平方根是……

（此處學(xué)生發(fā)現(xiàn)找不到24的整數(shù)平方根。）

師：好，他舉了一個(gè)24的平方根的例子，但是發(fā)現(xiàn)找不到整數(shù)平方根，這就說明24不是平方數(shù)，而25可以找到整數(shù)平方根，說明25是平方數(shù)。至于24的平方根應(yīng)該是什么，我們等下再來討論。接下來到了符號(hào)表示，我們用± a2來表示平方根，可以簡(jiǎn)寫成± a。根據(jù)我們小學(xué)學(xué)的算術(shù)數(shù)的概念，就可以給正的平方根起個(gè)名字——算術(shù)平方根，并且規(guī)定 0=0。通過剛剛對(duì)平方根的了解，同學(xué)們能不能嘗試歸納出它的性質(zhì)？

生15：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。

生16：0的平方根是0。

生17：負(fù)數(shù)沒有平方根。

（經(jīng)過以上師生對(duì)話、討論，形成如下的結(jié)構(gòu)化板書。）

3.類比開平方，探究開立方。

師：整理完平方根的相關(guān)概念之后，應(yīng)該如何研究立方根呢？

生18：也可以從這四個(gè)角度來研究（定義、求法、符號(hào)表示、性質(zhì)）。

師：能不能模仿平方根的知識(shí)框架類比寫出立方根的知識(shí)框架呢？請(qǐng)一位同學(xué)在黑板上歸納一下。

學(xué)生在黑板上歸納。

師：我們來比較一下立方根和平方根的區(qū)別。立方根的定義中如果x3=a，則x叫做a的立方根，對(duì)a沒有要求。立方根的符號(hào)表示應(yīng)該是 a3，并且不需要正負(fù)號(hào)。這就要求我們?cè)陬惐葰w納的時(shí)候要注意模仿和辨析。現(xiàn)在我們回看剛剛那位同學(xué)的疑問，24的平方根應(yīng)該是什么？

生19：是± 24。

師：那么± 24是什么樣的數(shù)呢？這就是我們之后要學(xué)的無理數(shù)，也就是我們?cè)谶@節(jié)課開始的時(shí)候介紹的由希帕索斯發(fā)現(xiàn)的一類數(shù)。希帕索斯為 2殉難留下的教訓(xùn)是：科學(xué)是沒有止境的，誰為科學(xué)劃定禁區(qū)，誰就變成科學(xué)的敵人，最終被科學(xué)所埋葬。

課堂小結(jié)時(shí)，劉老師安排學(xué)生分組討論為本課擬定一個(gè)課題，學(xué)生經(jīng)過小組討論推薦了一個(gè)學(xué)生上臺(tái)書寫出“方根的探索”，全班鼓掌通過這個(gè)標(biāo)題后，下課。

二、基于“三學(xué)”理念的課例賞析

1.基于數(shù)學(xué)知識(shí)的前后一致、邏輯連貫開展“學(xué)材再建構(gòu)”。

本節(jié)課是一節(jié)單元課，對(duì)應(yīng)著人教版七年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)》中的“實(shí)數(shù)”一章。這一章分為三個(gè)小節(jié)，即“平方根”“立方根”和“實(shí)數(shù)”。教材中是按照算術(shù)平方根——平方根——立方根——無理數(shù)的順序進(jìn)行編排的，可以看出數(shù)和運(yùn)算之間的關(guān)系密不可分。算術(shù)平方根的內(nèi)容較簡(jiǎn)單，主要與實(shí)際生活內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，這是為了遵循由易到難的認(rèn)知規(guī)律。但是由此帶來的弊端就是容易讓學(xué)生形成思維定式：開方得到的數(shù)都是正數(shù)。這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)的平方根和立方根時(shí)發(fā)生知識(shí)混淆、運(yùn)算錯(cuò)誤。教者在本節(jié)課的執(zhí)教過程中先介紹了開平方運(yùn)算，學(xué)習(xí)了平方根之后，再提出正的平方根就是算術(shù)平方根，這就避免了這一現(xiàn)象。

教者在本節(jié)課中從數(shù)與運(yùn)算開始，復(fù)習(xí)了有理數(shù)和之前學(xué)習(xí)過的運(yùn)算，再來介紹新運(yùn)算——開方，新數(shù)——無理數(shù)。在本章中教材主要提及的是算術(shù)平方根、平方根和立方根等概念，較少提及開方運(yùn)算，但平方根和立方根的根源都是開方運(yùn)算，數(shù)系和運(yùn)算也是緊密相連的，所以適當(dāng)?shù)靥峒伴_方運(yùn)算是很有必要的。

2.堅(jiān)持以學(xué)生為主體，注重“學(xué)法三結(jié)合”。

通過本節(jié)課的師生對(duì)話可以發(fā)現(xiàn)，教者在課堂中多加引導(dǎo)學(xué)生自主思考，由已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上升到未知的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。從開方這個(gè)運(yùn)算的發(fā)現(xiàn)，到平方根定義的探究討論，再到類比歸納出開立方的相關(guān)概念，以及本節(jié)課課題的確定，都是由學(xué)生自主探究討論，教者點(diǎn)撥、肯定得出的。在學(xué)生自主討論的過程中，穿插著生生討論和師生討論，共同得出本節(jié)課的定義。這就將自學(xué)、議論和引導(dǎo)這三學(xué)法相結(jié)合，貫穿課堂，有利于發(fā)展學(xué)生的自學(xué)能力，加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解。

3.開放需要放開，本課充分體現(xiàn)了“學(xué)程重生成”。

本課的情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)是由希帕索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)來為開方運(yùn)算的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)無理數(shù)做鋪墊，結(jié)尾再回歸到數(shù)學(xué)史上，讓學(xué)生體會(huì)“科學(xué)是沒有止境的”。介紹完希帕索斯之后順其自然由數(shù)開篇，引出新的數(shù)學(xué)運(yùn)算——開方。

課程標(biāo)準(zhǔn)修訂專家組提出6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算是其中之一。數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開數(shù)，在學(xué)習(xí)新的運(yùn)算之前首先要明確運(yùn)算對(duì)象——數(shù)。所以本節(jié)課雖然是學(xué)習(xí)運(yùn)算——開方，但是仍以“數(shù)”來開篇，從數(shù)入手，明確運(yùn)算對(duì)象，再來探究運(yùn)算法則是切合學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的。

在學(xué)習(xí)開平方定義，補(bǔ)充對(duì)a的要求時(shí)，教者讓學(xué)生進(jìn)行小組交流，在討論中迸發(fā)出思想的火花，經(jīng)歷思考的焦灼感，學(xué)生得到了錘煉思維的機(jī)會(huì)。由此得到a≥0這個(gè)附加條件，流暢自然，應(yīng)運(yùn)而生。再到課堂小結(jié)時(shí)學(xué)生自主擬定本課課題，都顯示了本課的“開放度”，教師敢于放開，讓學(xué)生學(xué)、讓學(xué)生自由思考、充分參與，課堂上的生成也就精彩不斷。