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      導(dǎo)數(shù)中的幾個不等價關(guān)系

      2019-03-27 06:01:52田曉東
      數(shù)理化解題研究 2019年7期
      關(guān)鍵詞:增函數(shù)切點過點

      田曉東

      (黑龍江省哈爾濱市第二十四中學(xué) 150060)

      由于學(xué)生初學(xué)導(dǎo)數(shù)知識,對導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)、方法理解得不深不透,在解題時常易發(fā)生偏差.本文就幾個不等價關(guān)系作以簡要分析.

      一、“f ′(x)>0”不等價于“f(x)是增函數(shù)”

      人教版普通高中課標(biāo)教科書選修2-2第23頁寫到:“在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.”該法則為判定函數(shù)的單調(diào)性提供了依據(jù).但在運用該法則時,也常出現(xiàn)問題.

      例1 判定函數(shù)f(x)=x-sinx在R上的單調(diào)性.

      錯解求得f′(x)=1-cosx.

      可見當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時,f′(x)=0,不滿足判定法則,所以f(x)不是單調(diào)函數(shù).

      剖析上述結(jié)論是錯誤的.事實上,f(x)是增函數(shù),可用定義加以證明.

      造成錯解的原因是對單調(diào)性判定法則的理解發(fā)生偏差.由判定法則可知,若f′(x)>0,則必有f(x)是增函數(shù),但書中并沒有說不滿足f′(x)>0,f(x)就一定不是增函數(shù).實際上,僅在個別點出現(xiàn)f′(x)=0,但其余點都使f′(x)>0,那么f(x)仍是增函數(shù).如函數(shù)f(x)=x3,f′(x)=3x2,雖然f′(0)=0,但x≠0時都有f′(x)>0,所以f(x)=x3仍然是R上的增函數(shù).其實f′(x)>0是f(x)遞增的充分不必要條件.

      二、“f ′(x)=0”不等價于“f(x0)是極值”

      我們知道,對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f(x),若存在x0∈(a,b),使f(x0)是極值,那么必有f′(x0)=0.反之,若f′(x0)=0,那么f(x0)是否是極值呢?請看:

      例2 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,求f(x)的解析式.

      錯解求得f′(x)=3x2+2ax+b.依據(jù)題意有

      (1)當(dāng)a=4,b=-11時,f(x)=x3+4x2-11x+16;

      (2)當(dāng)a=-3,b=3時,f(x)=x3-3x2+3x+9.

      剖析f′(x0)=0僅是f(x)在x=x0處取得極值的必要條件.

      正確解答應(yīng)在解得a,b值后,再進一步考察x=x0左右導(dǎo)數(shù)值的符號是否相反.

      x(-∞,-113)-113(-113,1)1(1,+∞)f ′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗

      (2)當(dāng)a=-3,b=3時,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,不合題意,應(yīng)舍去.

      綜上,所求解析式是f(x)=x3+4x2-11x+16.

      三、“點P處的切線”不等價于“過點P的切線”

      導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是曲線在該點處的切線的斜率.由此易得在點x0處的切線方程.但由于對該幾何意義理解得過于強化,反而造成解題失誤.

      例3 求過曲線y=x3-2x上的點A(1,-1)的切線方程.

      剖析過點A的切線不一定以點A為切點.本題求的是“過點A的切線”,而不是“點A處的切線”.因而過點A,但不以點A為切點的切線方程也是符合題意的.

      點評當(dāng)點P在曲線上時,求過點P的切線時,要分兩種情況考慮:一是點P就是切點;二是以曲線上另一點為切點,而該切線恰好過點P.解題時千萬不要混淆了“點P處的切線”與“過點P的切線”.

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