離散數(shù)學內(nèi)容的授課順序探討

鄭艷梅，蘆碧波

（河南理工大學 計算機科學與技術學院，河南 焦作 454000）

0 引言

離散數(shù)學課程作為計算機相關專業(yè)的核心課程，在專業(yè)課程體系中起著重要的理論支撐作用，承擔著奠定學生專業(yè)課知識基礎的使命[1-3]。離散數(shù)學作為一門較為成熟的課程，市面上存在著大量的教材?？v觀各教材，存在如下特點：①教材內(nèi)容不一致，這應該源于不同作者對計算機行業(yè)發(fā)展所需數(shù)學知識理解的不同[4]。②內(nèi)容的前后順序多樣化，這可能是因為作者認為離散數(shù)學各部分內(nèi)容相對獨立[5-6]，或者基于對先導基礎和后續(xù)進階的不同理解。雖然不同的講授順序均能完成授課任務，但是若深究他們的內(nèi)部聯(lián)系，實質(zhì)上可以通過成組比較分析相關內(nèi)容，較為合理地安排離散數(shù)學內(nèi)容的前后順序。

1 離散數(shù)學內(nèi)容的設置順序分析

在分析比較離散數(shù)學教材的內(nèi)容順序時，我們采用與文獻[4]一致的教材樣本，圍繞14部教材[7-20]（其中10部中文教材、4部英文教材），對數(shù)理邏輯、集合、關系、函數(shù)、圖論、代數(shù)系統(tǒng)等6塊離散數(shù)學的核心內(nèi)容展開探討。 文獻[7]未包含集合內(nèi)容，文獻[8]未包含函數(shù)內(nèi)容，文獻[9—10]未包含代數(shù)結(jié)構(gòu)內(nèi)容。這4部教材由于未能全面覆蓋上述6部分核心內(nèi)容，在后續(xù)分析時予以舍棄，而僅對剩余的10部教材進行分析。

經(jīng)分析整理可歸納出5種內(nèi)容順序（見表1）。為突顯排序效果，我們將代數(shù)系統(tǒng)與布爾代數(shù)統(tǒng)一為代數(shù)結(jié)構(gòu)。表1中的順序僅表示內(nèi)容設置的先后順序，不代表章節(jié)序號，比如數(shù)理邏輯大都分為命題邏輯、謂詞邏輯兩章來講[11-14]，或者合為一章[15-16]，也存在分為多章情形[17-20]。陰影標示部分為相鄰類型間的排序差異，5種內(nèi)容排序體現(xiàn)在如下4組內(nèi)容的聯(lián)系與先后順序上：①圖論與代數(shù)結(jié)構(gòu)；②集合、關系與函數(shù)；③集合與數(shù)理邏輯；④數(shù)理邏輯與代數(shù)結(jié)構(gòu)。

表1 離散數(shù)學內(nèi)容的不同排序

2 圖論與代數(shù)結(jié)構(gòu)

所謂代數(shù)系統(tǒng)，即為由非空集合和該集合上的若干個運算而組成的系統(tǒng)[14]。這個集合可能是自然數(shù)、實數(shù)、多項式、矩陣、命題、圖等，相應的運算可能為加、減、乘、除、與、或、非、交、補。以筆者實際教學經(jīng)驗，代數(shù)系統(tǒng)源于抽象代數(shù)，在離散數(shù)學的內(nèi)容中，它將數(shù)理邏輯、集合、關系、圖論等這些看似散亂、沒有規(guī)律的內(nèi)容，在更高的維度上進行統(tǒng)一和歸納概括。對于代數(shù)結(jié)構(gòu)，其他5部分內(nèi)容是以實例形式存在的。比如，在學習交換律時，筆者先引入通俗易懂的整數(shù)集合上的加法和乘法，然后介紹此定義，最后拋出問題：在離散數(shù)學課程中，你學過哪些運算是可交換的，并簡述理由？如此授課效果甚佳，一方面介紹了新知識，同時也以代數(shù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)容為線索對前序章節(jié)進行總結(jié)。更進一步來說，在判斷一個偏序集是否為格或為布爾代數(shù)時，通常會用到哈斯圖，所以圖論在前、代數(shù)結(jié)構(gòu)在后較為合理。

3 集合、關系與函數(shù)

關系是集合中元素之間的某種相關性[14]，因此關系定義在集合之上，沒有集合也就沒有關系可言。而函數(shù)是一類特殊的二元關系，可作為相對抽象的關系的具體化。可以說集合是關系的基礎，函數(shù)是關系的具體化。

集合與函數(shù)在離散數(shù)學這門課程中，其重要地位經(jīng)常被授課教師忽視，誤將其當作已知知識，理所當然認為該部分無需再講。實際上，在本課程中學生需要在更高的高度上來認識集合和函數(shù)。在高中階段，學生僅僅是在使用集合、函數(shù)相關概念，僅將其作為進一步學習的工具，但是對于他們的由來從未細究過。

關于集合，授課教師一方面需要復習集合相關概念、集合間的運算、排斥相容定理等內(nèi)容。更為重要的，是要讓學生從謂詞邏輯的角度來理解集合相關概念，點出常用的集合定義方法——謂詞邏輯式，并需要用到真值的真假概念，同時也需要將集合的交、并、差、補等概念與數(shù)理邏輯中的析取、合取、否定等概念建立起聯(lián)系[4]。

關于函數(shù)，一方面，需要學生認識到函數(shù)是關系的特例，是關系內(nèi)容的結(jié)尾。另外，在后續(xù)章節(jié)包括關系、圖論、代數(shù)系統(tǒng)部分均需用到函數(shù)的單射、滿射以及雙射性質(zhì)。在此，筆者建議采用與關系相關的實例進行教學，授課1個學時，對關系部分相關內(nèi)容進行結(jié)尾。

對于三者的順序，以筆者經(jīng)驗，按照“集合—關系—函數(shù)”的順序展開較為合理。先介紹作為關系必備知識的集合相關內(nèi)容，然后引出核心內(nèi)容——關系，最后介紹一類特殊的二元關系——函數(shù)。在關系之后介紹函數(shù)，一方面復習高中階段學習過的有關函數(shù)的概念以及性質(zhì)；另一方面將函數(shù)作為關系的特例，講解若干以關系形式呈現(xiàn)的函數(shù)實例。這樣既能加深學生對關系這個相對抽象的概念的理解，同時也讓學生在更高層次上理解函數(shù)的由來。

4 集合與數(shù)理邏輯

關于數(shù)理邏輯與集合的兩種先后順序均有其合理之處。在介紹謂詞邏輯中量詞相關內(nèi)容時，需頻繁使用集合的交、并運算。另外，雖然學生在高中階段已學過集合相關概念以及運算，但是在離散數(shù)學課程中，不但要求學生會使用集合這個工具，還需理解謂詞邏輯可以作為集合的表示形式之一，集合是由謂詞進行定義的，這是新增內(nèi)容。以筆者實際教學經(jīng)驗，由于數(shù)理邏輯中所使用的集合相關內(nèi)容均為高中已學知識，因而，數(shù)理邏輯在前、集合在后的順序較為合理。或者，將集合論相關內(nèi)容穿插在數(shù)理邏輯中進行介紹，在介紹完謂詞邏輯概念后，先介紹集合論相關內(nèi)容，接著介紹量詞。這樣在知識的先后順序上可能更為合理，可作為類序II的改進類序II'，即“數(shù)理邏輯謂詞—集合—數(shù)理邏輯量詞—關系—函數(shù)—圖論—代數(shù)結(jié)構(gòu)”。如此安排使得學生暫停用時相對較長的數(shù)理邏輯內(nèi)容學習過程，轉(zhuǎn)而學習集合內(nèi)容，其所帶來的新鮮感也能減輕學生的學習疲勞，但是有破壞數(shù)理邏輯整體性的嫌疑。

5 數(shù)理邏輯與代數(shù)結(jié)構(gòu)

對于離散數(shù)學所包含的6塊核心內(nèi)容，學生已能夠進行函數(shù)、集合的相關運算，也已知曉交換律、結(jié)合律、分配律，但對于其定義和來源知之甚少，同時，對數(shù)理邏輯、關系、圖論、代數(shù)系統(tǒng)還是零基礎。

基于這一現(xiàn)狀，授課教師可以先介紹數(shù)理邏輯內(nèi)容，在講授命題邏輯時會用到交換律、結(jié)合律、分配律等各種性質(zhì)，另外，在集合、關系和代數(shù)結(jié)構(gòu)也會更新學生對于包括交換律、結(jié)合律、分配律在內(nèi)的各種性質(zhì)的認知。由此得出，數(shù)理邏輯在前、代數(shù)結(jié)構(gòu)在后，甚至將代數(shù)結(jié)構(gòu)放在課程的最后來講，最為合理。

6 關系與圖論

雖然所羅列的教材均以關系在前、圖論在后的順序介紹相關內(nèi)容，但是在實際教學中，他們互為對方的基礎知識。一方面圖論是關系的表示和運算工具，借助有向圖實現(xiàn)二元關系的表示、冪運算、三種閉包運算（自反閉包 、對稱閉包、傳遞閉包），構(gòu)造等價關系所對應的關系圖以推導其等價類，構(gòu)造哈斯圖表示偏序關系等。另一方面，所謂圖也即為邊、頂點間的二元關系，不同的二元關系構(gòu)成了不同的圖。

若先介紹關系，則需要在介紹關系內(nèi)容之中（關系的定義之后、關系的表示之前），補充圖的基礎知識，包括圖的作用、圖的生成、有向邊、路徑、連通性等相關概念。若先介紹圖論，則需要在介紹有向圖的定義之前，補充二元關系的定義，且在內(nèi)容上僅圍繞圖論知識來講，不能展開討論其與關系相關內(nèi)容之間的聯(lián)系。在后續(xù)介紹關系內(nèi)容時，再詳細講述。

以筆者實際教學經(jīng)驗，可以考慮關系在前、圖論在后的順序。在講授關系相關內(nèi)容時，將學生的注意力集中于關系相關內(nèi)容，僅在必要處有針對性地插入圖論相關內(nèi)容。由于所需圖論內(nèi)容較為簡單，學生理解起來并不費力，如此安排一方面保證了關系內(nèi)容的連貫性和完整性，同時也為后續(xù)的圖論內(nèi)容完成了實例引入，使得學生學習圖論相關內(nèi)容時能達到事半功倍的效果。

7 結(jié)論

基于前述的討論，可以發(fā)現(xiàn)類序II較為合理，該順序一方面能較好地保證前續(xù)和后繼的關系，同時還能保證前后內(nèi)容的連貫性，能起到事半功倍的效果。如果教師能夠很好地把控授課節(jié)奏，也可以考慮如類序II'，它是類序II的改進版本。筆者在實際教學中對上述兩種類序均進行了嘗試，就個人經(jīng)驗而言，依照類序II'進行授課效果更佳。