認(rèn)知計(jì)算工具在小學(xué)數(shù)學(xué)方程學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

◎程應(yīng)軍

在解小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一次多項(xiàng)式方程時(shí)，教師普遍采用“從方程的一邊移到另一邊的，‘移動(dòng)項(xiàng)’”的思想：在加法方程中若要使相加相等，要將相等的量相加到方程的兩邊，而對(duì)于乘法，將兩邊乘以相同的值以保持相等——利用天平輔助解決方程問題顯得非常有用。所以，將解方程作為一種解決平衡問題的教學(xué)策略并與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，用認(rèn)知計(jì)算工具來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)練習(xí)中的平衡是非常必要的。

一、認(rèn)知計(jì)算工具的工作原理

認(rèn)知計(jì)算工具遵循建構(gòu)主義理論的原則，通過物理的、邏輯的、數(shù)學(xué)的、和社會(huì)的經(jīng)驗(yàn)來幫助建構(gòu)知識(shí)。認(rèn)知計(jì)算工具作為一種教學(xué)資源的工具受傳統(tǒng)天平的啟發(fā)，是一種虛擬的天平。認(rèn)知計(jì)算工具中兩個(gè)板塊之間的平衡將代表這個(gè)方程，當(dāng)學(xué)生在虛擬天平上放置一個(gè)“重量”或從虛擬天平中移除一個(gè)“重量”時(shí)，其結(jié)果將是對(duì)虛擬對(duì)象的物理操作。當(dāng)學(xué)生看到天平不平衡時(shí)，他們重新建立平衡的補(bǔ)償動(dòng)作具有比具體意義更多的理論意義。這更多的是一個(gè)假設(shè)的行動(dòng)或?qū)赡苄缘年愂?，而不是一個(gè)具體和真實(shí)的行動(dòng)，這是典型的構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯的數(shù)學(xué)思維過程。

社會(huì)經(jīng)驗(yàn)是由具有平衡或不平衡觀念的文化中介作用的計(jì)算工具、作為知識(shí)促進(jìn)者的教師干預(yù)和通過學(xué)生之間的交流或?qū)υ挊?gòu)成的。社會(huì)互動(dòng)是人的本性，學(xué)生之間的對(duì)話即使在單獨(dú)使用工具時(shí)也會(huì)發(fā)生。認(rèn)知計(jì)算工具可以預(yù)先建立一個(gè)問題，然后清楚地提供解決問題所需的任務(wù)（通過小學(xué)生對(duì)電腦的三維天平模型的操縱），幫助小學(xué)生完成有目的的操作過程（通過對(duì)結(jié)果的部分可視化）。當(dāng)學(xué)生參與所有四個(gè)水平（問題水平、任務(wù)水平、操作水平和行動(dòng)水平）相關(guān)的活動(dòng)時(shí)，更有利于他們完成學(xué)習(xí)任務(wù)。還考慮到虛擬天平的每一種狀態(tài)都是學(xué)生不同操作的結(jié)果。因此，虛擬天平的每一種情況都被理解為先前在天平的兩塊板上引入的“權(quán)重”或等式和不等號(hào)的相加和相減的結(jié)果。

方程的解是平衡狀態(tài)下的虛擬天平，其中一個(gè)板的重量對(duì)應(yīng)于變量‘x’，另一個(gè)板的‘重量’對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值常數(shù)。平衡狀態(tài)指示最初給予學(xué)生的方程式變量的值。因此，在解方程的過程中，學(xué)生的行為將不再是物理的，將不再依賴于虛擬的平衡。這些行為，可以解釋為在虛擬平衡的幫助下建立的假設(shè)——演繹思維的結(jié)果。

二、認(rèn)知計(jì)算工具的優(yōu)勢

1.通過提供與問題的直接接觸和允許與對(duì)象的交互，計(jì)算工具改變了學(xué)生的行為 學(xué)生們從觀察的立場轉(zhuǎn)變?yōu)閰⑴c的立場。直接參與這項(xiàng)活動(dòng)，通過身體活動(dòng)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極和互動(dòng)的作用。交互學(xué)習(xí)幫助學(xué)生從被動(dòng)的知識(shí)接受主體轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)的主體，并對(duì)自身的發(fā)展負(fù)責(zé)。而傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)因?yàn)樾枰谕瓿苫顒?dòng)時(shí)保持一貫的準(zhǔn)確，只有教師與教授活動(dòng)有直接聯(lián)系，老師必須小心地操縱天平上的物體，學(xué)生觀察平衡和不平衡的天平，把天平變化的過程和結(jié)果記錄在他們的筆記本上。因?yàn)樾W(xué)生沒有直接參與實(shí)驗(yàn)，而且老師要求小學(xué)生注意并保持沉默，這些都不利于學(xué)生之間產(chǎn)生有益實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的相關(guān)對(duì)話。認(rèn)知計(jì)算工具允許的互動(dòng)和學(xué)生在一臺(tái)計(jì)算機(jī)上成對(duì)工作，使學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)期間走到一起，并在完成活動(dòng)的團(tuán)隊(duì)精神和雙重責(zé)任的鼓勵(lì)下，為他們之間的學(xué)習(xí)交流創(chuàng)造了一個(gè)環(huán)境。學(xué)生輪流求解方程：一個(gè)學(xué)生從平衡的右側(cè)解決不平衡問題，另一個(gè)學(xué)生從左側(cè)解決不平衡問題。學(xué)生之間的差異并不妨礙活動(dòng)的完成，反而能讓學(xué)生以積極的方式接受分歧——學(xué)生們開始通過傾聽建議或向搭檔提出問題來進(jìn)行交流。合作工作喚起了小學(xué)生對(duì)其他學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注。能力較強(qiáng)的學(xué)生在解方程時(shí)，甚至在操作計(jì)算工具時(shí)，對(duì)能力較差的學(xué)生起到直接指導(dǎo)的作用。面對(duì)錯(cuò)誤，經(jīng)常會(huì)聽到一個(gè)學(xué)生問另一個(gè)學(xué)生：“你從天平左邊移去了‘x’，現(xiàn)在天平不平衡了”，“點(diǎn)擊這里”，“在視覺面板中的方程式顯示，我們從右側(cè)刪除了‘重量’”，“我們現(xiàn)在該怎么辦？”，“天平上的燈是綠色的，我們能繼續(xù)嗎？”，“你想讓我再解釋一遍嗎？”。對(duì)學(xué)習(xí)有意義和積極影響的活動(dòng)包括與他人交談和教別人。在這種情況下，學(xué)生的學(xué)習(xí)是積極的。大多數(shù)人能學(xué)會(huì)70%的與他人交談的東西，80%的在現(xiàn)實(shí)生活中使用和做的東西，90%的教給別人的東西。在用認(rèn)知工具解方程組的過程中，很少有人質(zhì)問老師，因?yàn)椤啊獭亲詈玫摹畬W(xué)’”。

2.將實(shí)驗(yàn)與操作、可視化和推理結(jié)合起來，使用計(jì)算工具來解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題，可以交換意見和整合不同的觀點(diǎn) 認(rèn)知的成長只來自于主體對(duì)客體的具體或抽象的行動(dòng)。這與學(xué)生在紙上解決問題時(shí)所發(fā)生的情況不同。雖然學(xué)生可以在成對(duì)中討論寫在紙上的內(nèi)容，但他們不能通過實(shí)驗(yàn)來操縱和可視化。計(jì)算工具的視覺面板中的反饋在方程求解的每一步都顯示了部分結(jié)果，使學(xué)生能夠檢測錯(cuò)誤并對(duì)后續(xù)操作進(jìn)行回復(fù)等。這導(dǎo)致了不同的學(xué)生采用不同的路徑來求解一個(gè)方程。關(guān)于后續(xù)行動(dòng)的決定在不同的成對(duì)之間是不同的。有些對(duì)從操作“權(quán)重”開始求解，而另一些對(duì)則從變量“x”開始，一些操作對(duì)象位于天平的左側(cè)，另一些則位于天平的右側(cè)。對(duì)于隨后的決定，學(xué)生之間并不總是有一致的意見。因此，通過交互學(xué)習(xí)，學(xué)生可以完善一次多項(xiàng)式方程的求解過程。

3.計(jì)算工具的操作過程為喚醒小學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、互助合作的責(zé)任心和教學(xué)活動(dòng)的協(xié)調(diào)性，提供直接的實(shí)驗(yàn) 兩個(gè)使用同一臺(tái)計(jì)算機(jī)的學(xué)生促進(jìn)了他們之間的接近，并喚醒了他們的溝通、談判、合作、交流、討論和互惠等品質(zhì)。這些方面都體現(xiàn)在皮亞杰和維果茨基的建構(gòu)主義理論中。這就讓教師在數(shù)學(xué)教育中擔(dān)當(dāng)起促進(jìn)者的角色。計(jì)算工具既能使教育現(xiàn)代化，又能激發(fā)學(xué)生的求知欲。利用教學(xué)資源構(gòu)建知識(shí)涉及到學(xué)習(xí)過程中固有的概念。因此，使用認(rèn)知計(jì)算工具來求第一次方程也會(huì)對(duì)這些問題產(chǎn)生影響。雖然傳統(tǒng)的使用天平的方程教學(xué)確實(shí)降低了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中僅僅是旁觀者的可能。但計(jì)算機(jī)的認(rèn)知計(jì)算工具，可以使學(xué)生更積極的參與到教學(xué)過程中。

總結(jié)：認(rèn)知計(jì)算工具與傳統(tǒng)的天平相比，計(jì)算工具沒有需要校準(zhǔn)以表示平衡概念的機(jī)制，而且，學(xué)生的直接參與有助于他們接近問題、操縱物體和觀察其行動(dòng)的效果，卻不影響平衡的準(zhǔn)確性。這些因素保證了學(xué)生的參與，從而使學(xué)生能夠完成實(shí)際的數(shù)學(xué)練習(xí)。活動(dòng)的直接完成激發(fā)了學(xué)生積極有效的參與，這種參與是動(dòng)態(tài)的，揭示了每個(gè)學(xué)生的局限性和可能性。學(xué)生不再是觀察家，而是從聽者轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際教育活動(dòng)的參與者。熟悉的工具外觀和現(xiàn)實(shí)水平的練習(xí)允許身體上的互動(dòng)，使學(xué)生更接近問題。成對(duì)使用這一工具可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流。由于認(rèn)知計(jì)算工具使互動(dòng)成為可能，它鼓勵(lì)一些學(xué)生使用邏輯數(shù)學(xué)過程解決最后的方程，而不必操縱平衡上的虛擬對(duì)象。直接參與活動(dòng)，工具允許的互動(dòng)，方程的教學(xué)順序和現(xiàn)實(shí)的外觀有助于學(xué)生的動(dòng)機(jī)和對(duì)活動(dòng)的參與。視覺面板中的實(shí)時(shí)反饋及其對(duì)學(xué)生動(dòng)作的表示鼓勵(lì)了對(duì)所執(zhí)行的動(dòng)作和求解方程所需的后續(xù)動(dòng)作的重新選擇、討論和協(xié)商。學(xué)生們不再通過反復(fù)試驗(yàn)來解方程組了。因此，教學(xué)變得更加動(dòng)態(tài)。使用這一工具使學(xué)生在一種鼓勵(lì)對(duì)話與合作的環(huán)境中聚集一堂，并使他們認(rèn)識(shí)到在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成活動(dòng)的責(zé)任。實(shí)驗(yàn)、操作、可視化和推理的結(jié)合喚醒了人們對(duì)他人學(xué)習(xí)的關(guān)注。通過學(xué)生間知識(shí)的互易性，改進(jìn)了一次方程求解的過程，為一次方程的求解提供了一種新的思路和方法。