蘇 玖

真題展現(xiàn)

（2018全國(guó)卷Ⅰ第6題）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則=（ ）

圖1

思維延伸

本題主要是兩次使用三角形中線對(duì)應(yīng)的向量，其實(shí)就是兩個(gè)向量的加法運(yùn)算的幾何意義．如果點(diǎn)E不是中點(diǎn)，而是三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等等，可以改編為：

圖2

拓展：在△ABC中，E為BC邊上中線AD上的點(diǎn)，求x+y的值．

如果把“BE”改為“過(guò)E點(diǎn)任作直線”，就改編為：

圖3

如果改變圖形的形狀，由“三角形”改編為“平行四邊形”“梯形”等等，如：

圖4

當(dāng)然也可以在三角形的一條邊上插多個(gè)等分點(diǎn)，研究一系列的向量之和與數(shù)量積，于是有：

圖5

如果三角形與圓整合，又可以有：

如果點(diǎn)O不是三角形外接圓的圓心，而是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，于是又可以為：

點(diǎn)撥解析

原題解析：抓住D為BC邊上的中點(diǎn)，E為中線AD的中點(diǎn)，于是有故選A．

改編1解析：因?yàn)樗裕?/p>

拓展解析：因?yàn)樗?以，所以所以x+y=．

改編2解析：由改編1拓展知，所 以，+．

改編3解析：因?yàn)?，

改編4解析：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn是邊AB上的n個(gè)等分點(diǎn)，所以，

改編5解析：【解法一】取AB中點(diǎn)D，所以，所以．又因?yàn)?x+y=1，所以O(shè)，D，C三點(diǎn)共線．

圖6

因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AB，所以CD⊥AB．

【解法二】cos∠DAO=2=，

又因?yàn)?x+y=1，所以y=1-2x，②

改編6解析：因?yàn)椤に匀C中點(diǎn)D，

圖7

回顧悟道

從上述各題的改編過(guò)程中可以看出，抓住平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)行改編高考題或教材上的題目，是命題者常用的方法．改編途徑：一是改編一個(gè)點(diǎn)的位置比例；二是定點(diǎn)改為動(dòng)點(diǎn)，常數(shù)改為字母參數(shù)；三是改變平面圖形的形狀和特征，如三角形改為平行四邊形、矩形、梯形、菱形等；四是三角形與外接圓或內(nèi)切圓組合等等．

小試牛刀

題目：已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若則的夾角為____________．

提示1：將三角形特殊化，改為正三角形，則有：

（改編1）____________________________

提示2：將三角形改為等腰梯形，則有：

（改編2）____________________________

答案與解析

（改編1）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足，