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      量子Fokker-Planck方程線性化算子的正則性與解的整體存在性

      2019-04-10 08:49:22孫鳳嬌林春進(jìn)
      陜西科技大學(xué)學(xué)報 2019年2期
      關(guān)鍵詞:費米子先驗正則

      孫鳳嬌, 林春進(jìn)

      (河海大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南京 210098)

      0 引言

      本文主要討論描述費米子的量子Fokker-Planck方程

      ?tF+v·xF==·[F+vF(1-F)]

      (1)

      這里未知函數(shù)F(t,x,v)表示在時間t>0、空間x∈P3、速度v∈P3的費米子的分布函數(shù),函數(shù)滿足Pauli不相容原理,即0≤F(t,x,v)≤1;x和分別表示關(guān)于空間變量x和速度變量v的梯度.

      若分布函數(shù)F與空間變量x無關(guān),則相應(yīng)的方程(1)稱為空間齊次的非線性Fokker-Planck方程;若在方程(1)中忽略因式1-F,此時方程(1)是一個線性方程,即為經(jīng)典的Fokker-Planck方程,描述的是Maxwell氣體的分布函數(shù);若在方程(1)中以1+F代替1-F,此時方程(1)則為描述玻色子的量子Fokker-Planck方程.由統(tǒng)計力學(xué)相關(guān)知識可知, Maxwell氣體、費米子、玻色子的平衡態(tài)分別服從Gauss分布、Fermi-Dirac分布和Bose-Einstein分布.更多的物理背景可參考文獻(xiàn)[1].

      Carrillo等[2]應(yīng)用相對熵方法討論了量子Fokker-Planck方程的解收斂到相應(yīng)的平衡態(tài);Toscani[3]討論了玻色子的量子Fokker-Planck方程的解的爆破,這類爆破對應(yīng)了物理上的Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象.

      本文首先討論方程(1)在Fermi-Dirac分布處的線性化算子的正則性.引入熵函數(shù)H(f)和熵積D(f),并分別定義為

      H(F)=

      D(F)=

      ≥0.

      可以驗證F∞(v)是方程(1)的一個靜態(tài)(空間齊次)解.

      考慮方程(1)的解F(t,x,v)在Fermi-Dirac分布F∞(v)處的擾動:

      (2)

      代入方程(1)可得關(guān)于擾動f的方程

      ?tf+v·xf=-L(f)+NL(f)

      (3)

      其中線性算子L(f)和非線性算子NL(f)分別為

      L(f)=

      (4)

      到它的對偶空間V′上的有界線性算子,且L是自伴的.

      由算子L的表達(dá)式知算子L滿足:

      (5)

      由基本不等式知

      于是有

      (6)

      定理1存在常數(shù)C>0,使得對任意的f∈Ker(L)⊥∩V,都有

      (7)

      〈L(f),f〉V′,V≥C(f,f)

      (8)

      (9)

      〈L(f),f〉V′,V=〈L((I-P0)f),(I-P0)f〉V′,V≥

      (10)

      這類不等式在動力學(xué)方程方面有著重要的作用.對于描述Maxwell氣體分布函數(shù)的線性Fokker-Planck方程,其平衡態(tài)為Gauss分布,其正則性即為著名的對數(shù)Sobolev不等式[4-6].Degond等[7]討論了Landau方程的關(guān)于Gauss分布處的線性算子的正則性.Lemou[8]進(jìn)一步研究了帶相對效應(yīng)或量子效應(yīng)的Landau方程的線性算子的正則性.關(guān)于Fokker-Planck方程和更多的動力學(xué)方程,可參考文獻(xiàn)[9];對數(shù)Sobolev不等式的推廣可參考文獻(xiàn)[10].

      在線性算子L的正則性的結(jié)論下,可以證明描述費米子的Fokker-Planck方程在穩(wěn)態(tài)解F∞(v)附近解的整體存在性.

      擾動函數(shù)f(t,x,v)滿足

      (11)

      動力學(xué)方程在平衡態(tài)附近光滑解的整體存在性,Guo[11]證明了周期區(qū)域上Landau方程中解的整體存在性,文獻(xiàn)[12]得到了描述費米子的Landau-Fermi-Dirac方程解的存在性,文獻(xiàn)[13,14]討論了量子Fokker-Planck方程在周期區(qū)域上整體解的存在性,文獻(xiàn)[15]中研究了一般化的量子Fokker-Planck方程以及自受引力粒子模型解的整體存在性,文獻(xiàn)[16]得到了Vlasov-Fokker-Planck方程解的整體存在性.

      本文借鑒了文獻(xiàn)[16]中的技巧和文獻(xiàn)[15]中的證明方法,引入擾動函數(shù)宏觀量的估計,使一致先驗估計更為直觀.本文繞過對數(shù)Sobolev不等式,利用文獻(xiàn)[8]中的方法證明算子L的正則性,利用文獻(xiàn)[16]中的微宏觀分解技巧,引入宏觀量估計,獲得了解的一致先驗估計.

      本文第1節(jié),先給出定理1即線性算子的正則性的證明,其中命題1的證明放在第3節(jié).在第2節(jié),給出定理2 的證明.在以下的證明中,與f無關(guān)的常數(shù)都用字母C表示,且每一步中C可能都不相同.

      1 線性算子的正則性

      本節(jié)將證明定理1.

      若f(v)∈Ker(L)⊥∩V,記

      (1-t)y)dtdy,

      由Cauchy-Schwartz不等式得

      (12)

      其中C表示常數(shù),函數(shù)ψ(x)為

      ψ(x)=

      對ψ(x),有如下命題:

      命題1存在常數(shù)C>0,使得

      (13)

      命題1的證明放在第3部分.利用命題1的估計式(13),即得定理1.

      2 擾動方程解的整體存在性

      為了獲得方程(3)解的局部存在性,首先要構(gòu)造逼近解序列,并證明逼近解序列的一致能量估計.方法與Landau-Fermi-Dirac類似,可參考文獻(xiàn)[12].在解的局部存在性基礎(chǔ)上,需要更精細(xì)的一致先驗估計,以及連續(xù)延拓技巧來證明解的整體存在性.解的一致先驗估計是解的整體存在性的最關(guān)鍵的部分.本節(jié)主要討論解的一致先驗估計,首先給出能量泛函,然后證明能量泛函滿足不等式.

      2.1 預(yù)備知識

      本節(jié)利用正交投影將擾動f分解為宏觀部分和微觀部分的和,最后給出能量泛函.

      記P為L2(P3)到

      f=P0f+P1f+(I-P)f,

      其中P0f的表達(dá)式見(9),

      ?tρ+x·J=0

      (14)

      (15)

      最后,給出能量泛函.自然數(shù)N=8,令

      (16)

      由正交投影,對任意的α,β

      于是,利用三角不等式得

      (17)

      (18)

      首先估計式(18)左端第二項.一方面由正交分解以及L的表達(dá)式,可得

      另一方面由正則性,定理1,可得

      于是式(18)左端第二項可以估計為

      對右端非線性項,

      CN(T)3

      (19)

      綜上,有如下估計:

      C(N(0)2+N(T)3)

      (20)

      利用f的宏觀和微觀分解,方程(3)可寫為:

      ?t((I-P0)f)+v·x((I-P0)f)+

      L((I-P0)f)=NL(f)-[?t(P0f)+

      v·x(P0f)],

      (21)

      上式中,左端第2項由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式,可以估計為

      對于式(21)中左端第3項,利用文獻(xiàn)[15]中的引理2.3可得

      下面估計式(21)中的非線性項,即式(21)中右端第1項,與式(19)的估計類似,可得

      此外,式(21)右端第2項可以估計為

      對式(21)乘以適當(dāng)?shù)某?shù),再關(guān)于α,β求和,

      |β|≥1,|α|+|β|≤N,并結(jié)合以上估計可以得到

      (22)

      2.4 ρ的估計

      對式(15)兩邊關(guān)于x求α階偏導(dǎo),此處|α|≤N-1,再關(guān)于?αxρ作內(nèi)積,最后關(guān)于t∈[0,T]積分可得

      (23)

      首先利用ρ,J滿足的方程式(15),式(23)左端項可估計為

      右端其余各項,由于只涉及關(guān)于x的導(dǎo)數(shù),利用估計式(20),都可以被下式控制

      綜上,對?|α|≤N-1,有

      N(T)4)

      (24)

      2.5 一致先驗估計

      由式(20)、(22)和(24),得以下的一致先驗估計

      N(T)2≤C(N(0)2+N(T)3+N(T)4)

      (25)

      根據(jù)文獻(xiàn)[12]、[16]或[17],可得解的整體存在性,于是定理2獲證.

      3 命題1的證明

      在證明ψ(x)的估計式(13)之前,先給出兩個引理,它們在ψ(x)的分解式的估計中起著重要的作用.

      引理1對任意的實數(shù)μ>0,都存在常數(shù)C(μ),使得

      (26)

      ?a∈[μ,+∞)

      (27)

      引理2若z<-1且z充分小,則

      (28)

      證明:對不等式左邊積分換元,令

      下面先化簡ψ(x),然后利用球坐標(biāo)公式將拆分成三部分,再利用引理1、引理2分別給出相應(yīng)的估計.

      引入球坐標(biāo)z=x+ρu,其中ρ>0,μ∈S2.令x·u=|x|cosθ.記τ=ρ+|x|cosθ,則ψ(x)的估計可以進(jìn)一步化簡為

      (29)

      利用θ的取值范圍把上式右端拆成三項,即

      ψ(x)≤C(ψ1(x)+ψ2(x)+ψ3(x)).

      其中

      (30)

      (31)

      (32)

      C(1+|x|+|x|2)

      (33)

      于是,得到

      ψ2(x)≤C(1+|x|+|x|2+|x|3)

      (34)

      (35)

      綜合以上ψ1(x)、ψ2(x)、ψ3(x)的估計,可知存在常數(shù)A>0,使得對任意的|x|≥A,

      ψ(x)≤C(1+|x|+|x|2+|x|3+

      (36)

      利用上式,只需要把命題1中式(13)P3上關(guān)于x的積分拆成關(guān)于|x|≥A和|x|≤A兩部分,即可獲得命題1的證明,具體的證明過程省略.

      4 結(jié)論

      本文主要考慮了描述費米子的非線性Fokker-Planck方程在它的一個平衡態(tài),即Fermi-Dirac分布處的線性化方程正則性的問題,證明了線性化算子在其核空間的正交補(bǔ)空間上滿足一個Poincaré類不等式,并在其正則性的基礎(chǔ)上,證明了非線性Fokker-Planck方程的解在平衡態(tài)附近具有整體光滑解.

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