追根溯源—數(shù)列的周期是如何形成的?

廣東省江門市培英高級(jí)中學(xué)(529000) 鄒慶榕

周期性是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的一個(gè)考點(diǎn);周期數(shù)列是特殊的函數(shù),也是競(jìng)賽題中一個(gè)考點(diǎn).但我們對(duì)周期數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)卻研究不多.解決周期數(shù)列問(wèn)題一般是通過(guò)迭代列舉有限項(xiàng)求其周期,但對(duì)于周期大的數(shù)列,容易被誤判為非周期的.本文探索形成周期的兩類源頭：(1)周角(T=2π)給出數(shù)列周期性的判定定理,可直接求周期,避免大量計(jì)算; (2)整除(模[1])等有限的背景給出周期數(shù)列的例子.

函數(shù)的迭代周期概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)混沌概念產(chǎn)生的基礎(chǔ),另外周期數(shù)列在圖論,傅里葉級(jí)數(shù),動(dòng)力系統(tǒng),圖像壓縮,分形幾何等高等數(shù)學(xué)中有大量應(yīng)用,值得深入研究.鑒于筆者水平有限,仍有很多周期數(shù)列的問(wèn)題有待研究,如分段函數(shù)形式的周期數(shù)列和著名的角谷猜想生成的數(shù)列等等,希望能與各位同仁共同研究.

定理1 若an+1=(0,n≥ 1),則是以為公比的等比數(shù)列,其中x12,都滿足x2-Ax-B=0;

(1)若A=0,則數(shù)列{an}是周期數(shù)列,周期T=2;

(2)若?=A2+4B＜0,且0,則

①a1=xi(i=1,2),則an=xi(i=1,2);

②記E=則|E|=T-1,aT-1=0;若a1∈E,數(shù)列在不超過(guò)T-1 項(xiàng)后沒(méi)有意義;

③記tan|θ|=且存在N ∈Z+,使得且a1/∈E,則數(shù)列{an}是周期數(shù)列,周期T=N;

證明(1)利用函數(shù)思想an+1an=B,an+2an+1=B,兩式相除得an+2=an,則T=2.

(2)由xi(xi-A)=B,i=1,2,an+1-xi=則

證畢.

例1an+1=5+

(1)a1=5,求a2018;(2)a1=1,求a2018.

解(1)迭代計(jì)算得各項(xiàng)為：不存在,a2018不存在.

例2 已知數(shù)列的遞推關(guān)系為

(1)a1=1,求a2018; (2)a1=i,求a2018;

(3)a1=求a2018; (4)a1=求a2018.

解則T=6,所以a2018=a336×6+2=a2.

1 2 3 4 5 6 7 2018 a1=1■3-1■3-1-1■3+1■3+1 1■3-1 a1= i ■3+i 3■2 3+i 4■3+i 3■3+i ■2 3+i i ■3+i a1=■3+i 2■3+i 2■4 3+i 2■7 3+i 2■7 3+i 2■4 3+i 2■3+i 2■3+i 2 a1=■3 2■3 3■3 2■3 3 0不存在不存在不存在

例3 已知以下數(shù)列的遞推關(guān)系,判斷它們是否具有周期性：

解(1)

(2)令cn=an+1,cn+1=轉(zhuǎn)化為(1),則T=3;

(3)換元后同(1);

(4)x2=-x-1,x1,2=tan|θ|=

(5)cn=1-an,cn+1=-2x+2=0,x1,2=1±i,T=4;

(6)換元后同(5);

(7)令cn=1+cn+1=2-x2=2x-4,

(9)cn=1+an,cn+1=T=2;

(10)x2-3x+3=0,x1,2=T=6,本題在參考文獻(xiàn)[2]中的證明比較繁瑣;

(11)x2=x-2,x1,2=找不到相應(yīng)的θ,根據(jù)定理1 可預(yù)測(cè)這不是一個(gè)周期數(shù)列.其通項(xiàng)公式：其中(a12).但它的實(shí)用性不強(qiáng).借助qbasic 等軟件,給定a1可以檢驗(yàn)這個(gè)數(shù)列應(yīng)該無(wú)限不循環(huán).事實(shí)上給定θ ∈R,并不都可寫成整數(shù)分之π的形式(如θ=1),這也說(shuō)明非周期數(shù)列是怎么產(chǎn)生的.

定理1 是關(guān)于相鄰兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)型的遞推關(guān)系,它是以正切函數(shù)為原型的.對(duì)于相鄰多項(xiàng)的線性遞推關(guān)系,我們已有特征根定理[3],再利用歐拉公式得到以正(余)弦函數(shù)為原型的定理2：

定理2 數(shù)列{un}滿足aun+2+bun+1+cun=d,其特征根方程為ax2+bx+c=0,若?=b2-4ac＜0,記且存在N ∈Z+,使得則數(shù)列{an}具有周期性,且最小正周期

證明特征根其中記則對(duì)給定u1,u2,存在p,q,s,有un=pxn1+qxn2+s=rpenθi+rqe-nθi+s=r[(p+q)cosnθ+(p-q)sinnθ]+s=其中tan所以周期

實(shí)際上定理2 是以正(余)弦函數(shù)為原型,因此|θ| ∈(0,π).

例4 已知以下數(shù)列的遞推關(guān)系,判斷它們是否具有周期性：

(1)an+1+an-1=0; (2)an+1=an-an-1;

(3)an+1+an+an-1=6; (4)an+1×an-1=an.

解(1)x2+1=0,x1,2=±i=事實(shí)上,存在p,q,s,an=in[p+(-1)nq]+s,顯然T=4;

(2)x2=x-1,x1,2=所以

(3)x2+x+1=0,x1,2=所以

(4)兩邊取對(duì)數(shù)后同(2).

下面我們來(lái)看3 個(gè)“有限”背景的問(wèn)題：

例5a1=3,a2=1,當(dāng)n≥1 時(shí),an+2等于an·an+1的個(gè)位數(shù)字,則求a2018.

逐項(xiàng)計(jì)算數(shù)列的項(xiàng)可知周期為6,則a2018=a2=1.

但是學(xué)生問(wèn),若首兩項(xiàng)改變了,它還是周期數(shù)列嗎? 這是一個(gè)“有限”問(wèn)題(個(gè)位數(shù)只有10 個(gè)數(shù),也說(shuō)明這個(gè)數(shù)列最多只是這10 個(gè)數(shù)的排列組合問(wèn)題),只要相鄰兩項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)一次就能說(shuō)明周期性,周期不會(huì)超過(guò)A210.考慮到若首2 項(xiàng)若有5,則數(shù)列從第3 項(xiàng)起恒為0 或恒為5,則不考慮首2 項(xiàng)有5 的情況.記[x]為10 的同余類[1],即[x]={t|t-x整除10},由整除性[xy]=[x][y],[xn]=[x]n,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為[an+2]=[an·an+1].

實(shí)際上,記A={1,2,3,4,6,7,8,9},O={1,3,7,9},B={2,4,6,8},an+6=an+5· an+4=a2n+4· an+3=a2n+4·an+2·an+1=a2n+4·a2n+1·an=a2n+3·a2n+2·a2n+1·an=a4n+3·an,則

顯然若b ∈B,c ∈O：[6×b]=[b],[b4]=6,[c4]=1.

①a1和a2∈O：則an ∈O,an+3∈O,[a4n+3]=1,則由(?)式[an+6]=[an];

②a1或a2∈B：則an ∈B,an+3∈B,[a4n+3]=6,則由(?)式[an+6]=6×[an]=[an](n≥3).

綜上可知,1°首2 項(xiàng)都是奇數(shù)時(shí),是周期為6 的數(shù)列;2°首2 項(xiàng)有偶數(shù)時(shí),去掉前2 項(xiàng)后是周期為6 的數(shù)列.

可以驗(yàn)證，共有6個(gè)順時(shí)針的“封閉列”：

例6（2011年高考江西卷文科第6題）觀察下列各數(shù)：的末兩位數(shù)字為多少？

解法1計(jì)算則所求為43；

解法2因?yàn)橛炙韵峦?

例7是的小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)，求

解逐個(gè)計(jì)算可得周期為3，答案為1.事實(shí)上，個(gè)位數(shù)是從0～9這10個(gè)數(shù)字中選取，的表達(dá)式中沒(méi)有數(shù)字0，而且有2個(gè)4，因此與此4相關(guān)的位數(shù)循環(huán)形成周期.