證明數(shù)列不等式的另一扇門(mén)—逐項(xiàng)比較法

廣東省東莞中學(xué)(523005) 盧 眾

數(shù)列不等式考察學(xué)生的綜合能力,讓很多學(xué)生望而生畏.解決此類(lèi)問(wèn)題有放縮法,數(shù)學(xué)歸納法,構(gòu)造函數(shù),單調(diào)性法等幾種重要方法,其中最主要的是放縮法.放縮法既可以先放縮再求和,也可以先求和再放縮,放縮的方式千變?nèi)f化,常見(jiàn)的有裂項(xiàng)放縮,等比放縮,基本不等式或其他重要不等式放縮.這些方法都是從正面去分析問(wèn)題,分析的過(guò)程往往因?yàn)榭床坏絾?wèn)題的本質(zhì),找不到合適的方法,需要不斷的嘗試.

文中通過(guò)幾個(gè)典型例題介紹逐項(xiàng)比較法,它是通過(guò)拆分完整式逐項(xiàng)比較,找到題目的切入點(diǎn).

1.解法探究

例1 已知n ∈N+,求證：

分析這道題目既可以利用數(shù)學(xué)歸納法,也可利用裂項(xiàng)放縮證明,下列三種對(duì)通項(xiàng)的放縮方式都是可行的：

而且從放縮的程度上而言,后者優(yōu)勝于前者,因?yàn)榉趴s后與原始最接近,即產(chǎn)生的誤差小,更容易證明相應(yīng)的結(jié)論.但如果對(duì)上述放縮方式不熟悉,那又有什么辦法切入呢? 為方便敘述,將具有相似結(jié)構(gòu)的n項(xiàng)和(積)的形式稱為展開(kāi)式,而完整部分稱為完整式.由于該題目展開(kāi)式無(wú)法求和,觀察到展開(kāi)式是以為通項(xiàng)的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,也可考慮將右邊的完整式看成數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解答設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為則令n ∈N+,n=1 時(shí),a1=b1=1;n≥2 時(shí),所以bn≤an,n ∈N+,則將數(shù)列{bn},{an}的前n項(xiàng)分別累加,得Sn≤Tn,即

點(diǎn)撥這種方式?jīng)]有將展開(kāi)式直接求和,也沒(méi)將其放縮后再求和,而是反其道而行,是將完整式通過(guò)數(shù)列前n項(xiàng)和(積)的定義,拆分為若干項(xiàng)的和(積),比較每一項(xiàng).思考時(shí)容易切入,且計(jì)算難度降低.

例2 已知n ∈N+,求證(1+1)·

分析這題也可拆分,不等式左邊的展開(kāi)式是以為通項(xiàng)的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn,不等式右邊的完整式為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積Sn,即

解答設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n ∈N+,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為因?yàn)樗詁n＞an＞0,n ∈N+,將數(shù)列{bn},{an}的前n項(xiàng)分別累積,則Tn＞Sn(n ∈N+),即

例3 已知n ∈N+,求證：

分析數(shù)列通項(xiàng)雖然是分式結(jié)構(gòu),但裂項(xiàng)放縮有些困難,觀察到式中含有指數(shù)結(jié)構(gòu),因此可以考慮等比放縮,數(shù)列的首項(xiàng)可以是第一項(xiàng)b1==1,而前后兩項(xiàng)的比值單調(diào)遞增,且極限為因此公比可以是q=從而只需證明且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和小于

解答設(shè)數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=則因?yàn)樗?/p>

2.方法總結(jié)

逐項(xiàng)比較法本質(zhì)是化整為零,是一種避難就易的方法,通過(guò)對(duì)完整式的拆分,得到的公式是最接近原始通項(xiàng)公式的一種放縮.能夠?qū)Ψ趴s的程度能夠巧妙的避免從繁瑣的公式中找到合適的放縮方式.其主要步驟為：

(1)拆分完整式,化整為零,構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)

(i)若完整式含n,由數(shù)列前n項(xiàng)和(積)的定義可得通項(xiàng)an=(或an=

(ii)若完整式是常數(shù)c,將c定義為某無(wú)窮等比數(shù)列{an}的和再由展開(kāi)式的第一項(xiàng)確定數(shù)列的首項(xiàng)a1,則公比q=1-或根據(jù)前后兩項(xiàng)的比值先確定公比q,再確定首項(xiàng)a1=(1-q)c,從而an=a1qn-1(n ∈N+);

(2)比較展開(kāi)式中的通項(xiàng)bn與完整式對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)an大小;

(3)將數(shù)列{bn},{an}分別累加(乘)即可得到相應(yīng)的結(jié)論.

3.教學(xué)反思

數(shù)列不等式問(wèn)題的解法較多,但學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中,往往是被動(dòng)的接受各種方法或者因?yàn)楦鞣N嘗試找不到合適的方法而苦惱.逐項(xiàng)比較的思想,通過(guò)化難為易,化整為零各個(gè)突破,能夠讓學(xué)生在思考的過(guò)程中,克服思考的障礙,增加對(duì)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)對(duì)探索的欲望.