李 江 李慶春

(①中國煤炭科工集團西安研究院有限公司，陜西西安 710077； ②長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西西安 710054)

0 引言

地球介質(zhì)一般具有各向異性特征，其中VTI介質(zhì)(具有垂直對稱軸的橫向各向同性介質(zhì))是一種常見的各向異性介質(zhì)。在地震勘探中一般將各向異性視為速度各向異性，在研究區(qū)域構(gòu)造時是可行的。隨著勘探目標體尺度的縮小，忽略地層各向異性影響的地震偏移成像導(dǎo)致目標區(qū)空間反射波歸位不準確，繞射波不能完全收斂，甚至產(chǎn)生構(gòu)造扭曲或構(gòu)造假象，嚴重降低了地震成像精度[1-3]。近年來，人們研究了VTI介質(zhì)的偏移方法。例如：Alkhalifah[4]實現(xiàn)了VTI介質(zhì)的相移偏移方法，但該方法無法適應(yīng)介質(zhì)速度的橫向變化；吳國忱等[5]實現(xiàn)了VTI介質(zhì)廣義屏疊前深度偏移方法，但其中對各向異性頻散關(guān)系的近似使該方法僅局限于弱各向異性介質(zhì)；韓建光等[6-7]提出了VTI介質(zhì)高斯束疊前深度偏移方法，數(shù)值實驗表明，該方法不受各向異性程度的限制，能適應(yīng)強各向異性介質(zhì)。雖然高斯束偏移方法具有高效、靈活的優(yōu)點，但成像效果明顯受速度橫向變化劇烈的影響，因此人們利用波動方程疊前深度偏移對復(fù)雜區(qū)精確成像。劉禮農(nóng)等[8-9]發(fā)展了VTI介質(zhì)波動方程最優(yōu)分裂傅里葉偏移方法；程玖兵等[10-11]研究了qP波在各向異性介質(zhì)中的傳播模式； Sun等[12]等發(fā)展了VTI介質(zhì)逆時偏移方法；Zhang 等[13]提出了一種三維TTI介質(zhì)純P波方程求解方法； Hua 等[14]、黃建平等[15]、朱峰等[16]發(fā)展了VTI介質(zhì)和黏聲VTI介質(zhì)的有限差分疊前深度偏移方法。但以上波動方程類偏移方法大多是在炮域?qū)崿F(xiàn)疊前偏移，研究表明，在橫向變速劇烈情況下，共炮偏移生成的炮域共成像點道集在運動學(xué)和動力學(xué)上存在假象。為此， Hoop等[17]、Xu等[18]研究了角度域共成像點道集對射線多路徑問題的適應(yīng)性，提出通過角道集的疊加成像可以避免構(gòu)造假象，有效提高偏移剖面的成像效果。Stork等[19]進一步證明，基于波動方程偏移提取的角度域共成像點道集(ADCIG)不存在假象。Xie等[20]通過Gabor-Daubechies框架小波束域波場分解進行疊前角度域偏移； James等[21]通過波動方程偏移提取炮檢距域共成像點道集和ADCIG； Save等[22]提出一種采用波動方程偏移提取ADCIG的方法，將偏移過程和ADCIG計算過程分離，即在成像空間通過傅里葉域的徑向道變換計算出以入射角為參數(shù)的角道集，并對眾多提取ADCIG的方法進行了分類和總結(jié)。Biondi[23]討論了各向異性偏移的ADCIG；李振春等[24]、張敏等[25]對比、分析了單平方根和雙平方根偏移提取ADCIG的方法，并發(fā)展了保幅的角度域偏移成像方法。Tang等[26]發(fā)展了角度域平面波逆時偏移方法。由于ADCIG是目前唯一不存在假象的道集，因此在地震數(shù)據(jù)處理中具有優(yōu)勢[27]。

本文研究了VTI介質(zhì)角度域偏移方法，以各向同性雙平方根方程的角度域偏移方法為基礎(chǔ)，從VTI介質(zhì)qP波頻散關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出VTI介質(zhì)角度域偏移的波場延拓算子，在頻率—波數(shù)域處理以橫向均勻速度傳播的波場，在空間域處理具有速度擾動特征的波場以提高波場延拓精度。斷層模型和Hess VTI模型測試結(jié)果表明：該方法不受介質(zhì)各向異性程度的影響，可使地震波場準確歸位、繞射波收斂，從而對VTI介質(zhì)精確成像；與各向同性偏移方法相比，該方法消除了各向異性效應(yīng)對波場傳播的影響，明顯提高了成像精度；偏移生成的ADCIG避免了各向同性偏移方法使成像道集無法校平的缺陷，且具有更豐富的角度信息。實際資料的應(yīng)用效果證實了本文方法的實用性。

1 VTI介質(zhì)qP波頻散方程

VTI介質(zhì)描述了由周期性的薄互層和平行排列的微裂隙引起的各向異性特征。在各向同性介質(zhì)中，縱、橫波以各自的射線速度(群速度)獨立傳播。在VTI介質(zhì)中，縱、橫波相互耦合，并且在一般情況下波的極化方向與傳播方向既不垂直也不平行，因此VTI介質(zhì)中的縱、橫波又被稱為qP波、qSV波和qSH波，相互耦合的縱、橫波傳播波動方程為[28]

(1)

式中:U=(ux,uy,uz)T為波場位移，ux、uy、uz分別為U在空間坐標x、y、z的分量；ρ為介質(zhì)密度；F=(fx,fy,fz)T為單位質(zhì)量元素的體力，fx,fy,fz分別為F在x、y、z的分量；t為時間；C為VTI介質(zhì)剛度矩陣；L為偏導(dǎo)數(shù)算子矩陣。

式(1)描述了VTI介質(zhì)中各質(zhì)點在不同時刻的位移情況和彈性波傳播規(guī)律。雖然式(1)的每一項都有明確的物理意義，但并沒有體現(xiàn)波在VTI介質(zhì)中的傳播特性，如相速度、群速度或頻散，因此有必要推導(dǎo)體現(xiàn)波在VTI介質(zhì)中傳播的特性方程。去掉式(1)的體力項，其平面波的解為

U=Aexp[ik(n·x-vt)]

(2)

(3)

其中

(4)

式(3)、式(4)中：Ax、Ay、Az分別為A在x、y、z的分量；kx、ky、kz分別為k在x、y、z的分量；c11、c66、c44、c12、c13、c33分別為C中不同位置的元素。

式(3)即為Kelvin-Christoffel方程，在數(shù)學(xué)上描述了本征值問題，是關(guān)于ρω2的一元三次方程。在VTI介質(zhì)中，給定波場傳播方向，由式(3)得到3個相速度解，分別對應(yīng)qP波、qSV波、qSH波。地震波在各向異性介質(zhì)中傳播時縱、橫波是相互耦合的，在計算qP波垂直波數(shù)時，qSV波速度影響較小，可以忽略。為了從式(3)中分離qP波，令橫波速度為零，進行擬聲波近似[4]。將Thomsen各向異性參數(shù)VP0、ε、δ[29]代入式(4)，有

(5)

將式(5)代入式(3)求解，可得VTI介質(zhì)qP波頻散方程，即

(6)

如果僅考慮xoz平面內(nèi)的情況，求解式(6)可得二維VTI介質(zhì)qP波垂直波數(shù)表達式

(7)

當(dāng)ε=δ=0時，對應(yīng)各向同性介質(zhì)；當(dāng)ε=δ≠0時，對應(yīng)橢圓各向異性介質(zhì)；當(dāng)ε≠0,δ≠0且ε≠δ時，對應(yīng)一般各向異性介質(zhì)。

2 VTI介質(zhì)角度域偏移成像

2.1 VTI介質(zhì)中角度域偏移的波場延拓

本文的角度域偏移采用雙平方根(DSR)方程定義波場U的傳播特征，在頻率—波數(shù)域可表示為

(8)

式中:km、kh分別為中點、半炮檢距分量的波數(shù)；kz為同時包含炮點和檢波點的垂直波數(shù)，即

kz=kzs+kzg

(9)

由VTI介質(zhì)的頻散方程得

(10)

式中kmh=(km?kh)/2，當(dāng)kz=kzg時取正號，當(dāng)kz=kzs時取負號。將式(9)、式(10)代入式(7)，可得VTI介質(zhì)角度域偏移的波場傳播方程。在同一延拓層內(nèi)假設(shè)介質(zhì)縱波速度和各向異性參數(shù)不變，則可得對應(yīng)的相移偏移波場延拓算子

U(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)=U(km,kh,z,ω,ε,δ)×

exp[iΔz(kzs0+kzg0)]

(11)

式中kzs0、kzg0為v=v0、ε=ε0、δ=δ0時的背景波數(shù)，可表示為

(12)

相移法適用于橫向均勻?qū)訝罱橘|(zhì)。為了解決復(fù)雜構(gòu)造的成像問題，本文借用雙域法的研究思路處理橫向非均勻VTI介質(zhì)。將橫向非均勻VTI介質(zhì)分解為橫向均勻的速度、各向異性參數(shù)及其擾動量，在頻率—波數(shù)域處理橫向均勻的速度及各向異性參數(shù)背景場，然后在空間域基于速度及各向異性擾動對波數(shù)域計算結(jié)果進行時移校正。

將速度及各向異性參數(shù)分解為背景場(·)和擾動場Δ(·)，其中背景參數(shù)由模型平滑而得，各參數(shù)的擾動量同樣包括炮點和檢波點兩部分。為方便推導(dǎo)，統(tǒng)一討論各參數(shù)炮點和檢波點分量，在實際計算過程中將其分開。各參數(shù)分量表示為

(13)

則VTI介質(zhì)的垂直波數(shù)kz可分解為各向異性背景介質(zhì)垂直波數(shù)kz0和擾動介質(zhì)散射波場垂直波數(shù)kr

kz(x,z,km,kh)=kz0(z,km,kh)+kr(x,z,km,kh)

(14)

則

kr(x,z,km,kh)=kz(x,z,km,kh)-kz0(z,km,kh)

(15)

將kz、kz0在各向異性背景參數(shù)處展開，在小擾動假設(shè)下，忽略各向異性參數(shù)擾動的二階及以上項，整理后可得

kr(x,z,km,kh)=as(z,kmh)Δs(x,z)+

aε(z,kmh)Δε(x,z)+aδ(z,kmh)Δδ(x,z)

(16)

其中

而

根據(jù)各向異性相關(guān)理論可知：在各向異性介質(zhì)波數(shù)展開式中，慢度擾動項Δs(x,z)主要影響低階次項，表現(xiàn)為對小角度傳播波場的影響，各向異性參數(shù)擾動項主要影響高階次項，表現(xiàn)為對高角度傳播波場的影響[5]。因此總的擾動介質(zhì)垂直波數(shù)kr可由三部分組成

kr(x,z,km,kh)=kΔs(x,z,km,kh)+

kΔε(x,z,km,kh)+kΔδ(x,z,km,kh)

(17)

結(jié)合式(13)，可將VTI介質(zhì)波場傳播算子P分解為背景波場的相移傳播算子PPS、慢度擾動傳播算子PΔs、ε擾動傳播算子PΔε和δ擾動傳播算子PΔδ。即

P=PPS+PΔs+PΔε+PΔδ

(18)

其中

PPS=exp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔs= i[as(z,kmh)-as(z,0)]ΔsΔz×

exp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔε=iaεΔεΔzexp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔδ=iaδΔδΔzexp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

可以看出P為雙域傳播算子。首先基于速度擾動校正相移背景波場，還考慮了各向異性參數(shù)擾動對高角度入射波場傳播的影響，并對相移結(jié)果進行進一步補償，較好地提高了非均勻各向異性介質(zhì)中波場延拓精度。

綜上所述， 將VTI介質(zhì)角度域偏移的波場延拓過程分述如下。

(1)頻率—波數(shù)域相移。

U1(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)

=U(km,kh,z,ω,ε,δ)exp(iΔzkz0)

(19)

其中

相移處理實現(xiàn)了背景波場在VTI介質(zhì)中的傳播。

(2)頻率—空間域時移。

U2(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)=U1exp[iΔzωΔs]

(20)

(3)頻率—空間域各向異性參數(shù)校正。

U(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)

=U2exp{iΔz[as(z,kmh)-as(z,0)]Δs+

aεΔε+aδΔδ}

≈U2{1+iΔz[(as(z,kmh)-as(z,0))Δs+

aεΔε+aδΔδ]}

(21)

校正由各向異性參數(shù)擾動引起的大角度入射波場傳播誤差。

2.2 成像空間的角度映射關(guān)系

波場延拓后，對成像空間的地震波場進行數(shù)據(jù)映射獲得角度域共成像點道集[22-25,30]。對于常速介質(zhì)，反射波旅行時t為炮點、檢波點位置和成像深度的函數(shù)(圖1)，即t=t(z,s,g)。t對z求導(dǎo)，得

(22)

成像點局部半炮檢距射線參數(shù)可表示為

(23)

由以上兩式得

(24)

在頻率—波數(shù)域，有

(25)

式中kh和kz分別為局部半炮檢距波數(shù)和局部深度波數(shù)。式(25)即為成像空間炮檢距域向角度域的映射公式，將波場由kh—kz域變換到β—kz域。

圖1 常速介質(zhì)中的射線傳播路徑示意圖

2.3 角度域成像

在完成每步波場延拓后，首先提取零時間非零炮檢距成像值，得到炮檢距域共成像點道集(ODCIG)，局部成像公式為

(26)

I(m,h,z)?I(m,β,z)

(27)

式中：“?”表示由炮檢距域向角度域的轉(zhuǎn)換；I(m,β,z)表示坐標(m,z)處的ADCIG，它是空間位置和入射角的函數(shù)，因此可以解決常規(guī)成像道集遇到的多路徑問題。通過上述方法獲得不同CMP點的ADCIG，將某一入射角范圍內(nèi)的所有道集疊加便得到一定角度的疊前深度偏移剖面。

圖2展示了水平層狀模型ADCIG提取過程。首先使用局部成像條件獲得波動方程ODCIG(圖2b)，ODCIG在成像點深度聚焦為一個點；然后在頻率—波數(shù)域利用局部炮檢距和入射角的映射關(guān)系，將局部炮檢距轉(zhuǎn)化為角度信息，最終獲得ADCIG(圖2c)，ADCIG在成像點深度為拉平的直線，同時包含了豐富的角度信息，具有更高的信噪比和分辨率。

圖2 水平層狀模型ADCIG

3 模型測試

3.1 斷層模型

為了驗證VTI介質(zhì)角度域偏移方法，設(shè)計了VTI介質(zhì)模型(圖3)進行正演，圖4為正演記錄。由圖可見，炮集覆蓋范圍分別對應(yīng)高速異常體和各向異性異常體位置，反射波較明顯，較好地反映了地下構(gòu)造，但由于存在異常體及斷層，炮集記錄中同時存在嚴重的繞射波干擾。

圖3 VTI介質(zhì)模型

圖4 正演記錄

以此數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別進行常規(guī)角度域偏移和考慮各向異性影響的VTI介質(zhì)角度域偏移。圖5為各向同性、各向異性角度域疊前深度偏移剖面。由圖可見：①由于未考慮各向異性參數(shù)的影響，各向同性偏移成像效果相對較差，淺層高速異常體邊界成像模糊，分辨率較低；反映各向異性異常體的反射同相軸能量很弱，幾乎沒有反映下邊界；對于右側(cè)的斷層成像，斷點繞射波沒有完全收斂(圖5a)。②各向異性偏移提高了高速異常體的成像分辨率，邊界刻畫清晰；各向異性異常體成像能量增強，且明顯反映了下邊界；提高了斷層區(qū)域成像信噪比，斷點繞射波收斂較好，構(gòu)造特征更清晰；深層反射波能量增強，提高了信噪比、分辨率，明顯改善了總體成像效果(圖5b)。

為了更直觀地展示各向異性偏移的優(yōu)勢，分別提取具有典型構(gòu)造特征位置處的ADCIG進行對比。圖6為由各向同性、各向異性偏移方法提取的ADCIG。由圖可見：①在兩個異常體位置處，各向同性偏移ADCIG同相軸無法校平，存在不同程度的向上彎曲(圖6a左、圖6a中)；各向異性偏移ADCIG同相軸較為平直，而且可觀測到更寬的角度范圍(圖6b左、圖6b中)。②在斷層處各向同性偏移ADCIG同相軸短小、彎曲、連續(xù)性較差，在局部區(qū)域還產(chǎn)生多組同相軸，出現(xiàn)構(gòu)造假象(圖6a右)；各向異性偏移ADCIG同相軸平直，消除了同相軸假象，剖面信噪比大大提高，較準確地反映了真實的構(gòu)造特征(圖6b右)。

圖5 各向同性(a)、各向異性(b)角度域疊前深度偏移剖面

簡單模型的成像測試證明了本文的VTI介質(zhì)角度域偏移方法的可行性，可以處理VTI介質(zhì)成像問題。

3.2 Hess VTI模型

為了進一步驗證本文的VTI介質(zhì)角度域疊前深度偏移方法的成像效果，選取SEG 2D Hess VTI模型(圖7)進行偏移測試。圖8為各向同性偏移和VTI介質(zhì)偏移剖面對比。由圖可見：①各向同性偏移雖然可以對模型進行構(gòu)造成像，并可以刻畫各個界面，但成像分辨率較低，部分繞射波沒有完全收斂，深層同相軸能量較弱，特別是高速鹽丘體邊界成像模糊，并在鹽丘上部出現(xiàn)構(gòu)造異常；無法對上部透鏡體正確成像，中、下部的透鏡體成像雜亂，分辨率較低；大斷層處存在斷面繞射波，成像位置出現(xiàn)偏差，整體成像效果較差(圖8a)。②VTI介質(zhì)角度域偏移對各個層位的成像更清晰，清晰地刻畫了鹽丘底界面、三個透鏡體，大斷層的斷點清晰，斷點繞射波收斂較好，斷層位置更精確，明顯提高了剖面信噪比(圖8b)。圖9為透鏡體區(qū)域各向同性和各向異性偏移結(jié)果對比。由圖可見，各向異性偏移消除了構(gòu)造假象，繞射波完全收斂，成像精度更高(圖9b)。

圖6 由各向同性(a)、各向異性(b)偏移方法提取的ADCIG

圖7 SEG 2D Hess VTI模型

圖8 各向同性偏移(a)和VTI介質(zhì)偏移(b)剖面對比

圖9 透鏡體區(qū)域各向同性(a)和各向異性(b)偏移結(jié)果對比

Hess VTI模型測試結(jié)果表明，本文的VTI介質(zhì)角度域偏移方法可以較好地處理復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造的成像問題。

圖10為各向同性和各向異性偏移提取的ADCIG。由圖可見：各向同性偏移的ADCIG同相軸無法完全校平，還殘留部分繞射波，信噪比和分辨率較低(圖10a)；VTI介質(zhì)偏移的ADCIG同相軸較為平直，信噪比和分辨率較高，進一步說明VTI介質(zhì)角度域偏移的可行性(圖10b)。

圖10 各向同性(a)和各向異性(b)偏移提取的ADCIG

4 應(yīng)用實例

受各向異性參數(shù)建模技術(shù)的制約，VTI介質(zhì)偏移方法在實際數(shù)據(jù)處理中存在困難。為了驗證本文方法對實際數(shù)據(jù)處理的適應(yīng)性，將偏移速度分析獲得的速度模型作為各向異性偏移中的qP波速度，通過

(28)

求取各向異性參數(shù)ε、δ[15]。計算獲得的ε、δ最大值分別為0.45和0.36，在地球介質(zhì)各向異性參數(shù)取值范圍內(nèi)。將以上參數(shù)用于實際數(shù)據(jù)的VTI介質(zhì)角度域偏移。圖11為各向同性偏移和VTI介質(zhì)偏移剖面。

圖11 實際數(shù)據(jù)各向同性偏移(a)和VTI介質(zhì)偏移(b)剖面

圖12 CDP560處提取的ADCIG

由圖可見，各向同性偏移與各向異性偏移結(jié)果的構(gòu)造形態(tài)基本一致，但后者在成像細節(jié)方面有所改進(圖11b)，表現(xiàn)為：剖面左側(cè)斷點繞射波進一步收斂，斷層下盤反射波能量增強，斷面刻畫更清晰；剖面右側(cè)向斜區(qū)域成像清晰，中深層反射波能量得到增強，主要層位的反射同相軸連續(xù)性更好，提高了剖面分辨率。圖12為CDP560處提取的ADCIG。由圖可見，VTI介質(zhì)偏移的角道集同相軸更平直，連續(xù)性更好，可觀測到更寬的角度范圍(圖12b)。

5 結(jié)束語

將VTI介質(zhì)qP波的頻散關(guān)系引入雙平方根方程，以各向同性偏移的波場延拓為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了VTI介質(zhì)雙平方根偏移的波場延拓算子，考慮了各向異性因素對波場傳播引起的擾動，在波場延拓過程中進行頻率—空間域誤差校正。通過對延拓波場進行局部炮檢距成像和角度轉(zhuǎn)化，最終實現(xiàn)VTI介質(zhì)角度域疊前深度偏移。

模型試算和實際資料處理結(jié)果表明：各向同性偏移方法由于未考慮各向異性參數(shù)的影響，繞射波不能完全收斂，波場聚焦效果差，降低了成像剖面的分辨率和信噪比，不能對地質(zhì)構(gòu)造精確成像；VTI介質(zhì)角度域偏移可對斷層、鹽丘、小尺度地質(zhì)體精確成像。對于角度域偏移產(chǎn)生的ADCIG而言，各向同性偏移的ADCIG同相軸無法校平，殘留斷點繞射波，波場無法正確聚焦，不能正確反映局部地質(zhì)特征；VTI介質(zhì)偏移的ADCIG同相軸較平直，角度范圍更寬，波場歸位準確，精度較高。因此，利用VTI介質(zhì)角度域偏移方法可對復(fù)雜構(gòu)造精確成像。