劉國(guó)鋒 蔣曉云 楊起群 鄺佰燕

【摘要】本文以《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課為例，針對(duì)學(xué)生課后沒(méi)有真正理解邏輯規(guī)則的思維方式、背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)證明本質(zhì)的現(xiàn)狀，論述優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的途徑，提出通過(guò)“三段論”推理規(guī)則引導(dǎo)學(xué)生對(duì)證明過(guò)程進(jìn)行分段分析的教學(xué)建議，以期提高學(xué)生分析證明、有序書(shū)寫的能力，進(jìn)而逐步形成嚴(yán)密的邏輯思維。

【關(guān)鍵詞】《三角形內(nèi)角和定理的證明》 三段論 演繹推理 數(shù)學(xué)證明

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）01A-0032-04

在以“基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課例研究”為主題的教學(xué)研討和展示平臺(tái)“寶賢課堂”上，劉國(guó)峰老師展示了《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課。本課中“定理證明”的教學(xué)片段引導(dǎo)學(xué)生分析已知，讓學(xué)生在“拼一拼”中找到證明的思路，了解演繹推理規(guī)則中最常用、最重要的“三段論”，加深學(xué)生對(duì)邏輯推理的理解，提高邏輯推理能力。證明的過(guò)程應(yīng)體現(xiàn)嚴(yán)格的邏輯推理論證，事實(shí)上學(xué)生這方面做得還不夠，往往是敘述性證明。通過(guò)課后訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生并沒(méi)有真正理解邏輯規(guī)則的思維方式、背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)。于是我們?cè)谡n后對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查和訪談的基礎(chǔ)上，對(duì)這個(gè)教學(xué)片段進(jìn)行了反思，優(yōu)化了教學(xué)設(shè)計(jì)，劉國(guó)鋒老師指導(dǎo)漓江學(xué)院的實(shí)習(xí)教師鄺佰燕重新演繹了這一節(jié)課，取得了較好的效果。

一、“原行為”，真實(shí)錄

師：讓我們一起來(lái)思考“如何用我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)證明‘任意三角形的內(nèi)角和為180°”。首先用語(yǔ)言表述出來(lái)。

（學(xué)生回答，教師板書(shū)——已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°）

師：分析已知和求證之間的關(guān)聯(lián)，聯(lián)系我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，有哪些可能用得上，大膽猜想和嘗試。大家不難想到我們熟悉的“平行線的性質(zhì)”，結(jié)合之前的同學(xué)到講臺(tái)拼的兩個(gè)拼圖，得到一些啟發(fā)（見(jiàn)圖1）。

（經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生把圖1中的兩個(gè)圖形抽象出來(lái)得到了兩種畫輔助線的方法，見(jiàn)圖2）

師：用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將推理過(guò)程寫出來(lái)如下。

證明：（如圖3）延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵∠BCA+∠1+∠2=180°（平角的定義）

∴∠BCA+∠A+∠B=180°（等量代換）

師：同學(xué)們，大家看得懂我寫的這個(gè)推理過(guò)程嗎？

生（齊聲）：看得懂。

師：這個(gè)推理過(guò)程其實(shí)隱含著邏輯推理的一種重要規(guī)則，這種規(guī)則是中學(xué)數(shù)學(xué)最常用的推理方法，叫三段論。三段論必定包含大前提、小前提和結(jié)論三部分，以上面的證明過(guò)程為例，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是大前提，“CE∥AB，∠1和∠A是內(nèi)錯(cuò)角”是小前提，“∠1=∠A”是結(jié)論。但是，在書(shū)寫幾何邏輯推理過(guò)程時(shí)，為了簡(jiǎn)潔明了，我們通常把“大前提”以理由（備注）形式寫在“結(jié)論”的后面。所以才有了上面簡(jiǎn)潔的推理過(guò)程。

二、“微調(diào)查”，尋癥結(jié)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對(duì)核心素養(yǎng)“推理能力”作了如下要求（見(jiàn)下表）。它將《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）提出的“發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”的要求刪去“初步”二字，提高了對(duì)“演繹推理能力”的要求，又因?yàn)椤斑壿嬐评怼北涣袨榱髷?shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，因此，初中階段培養(yǎng)“推理能力”的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

“推理能力”課程目標(biāo)學(xué)段分布表

本課中的“數(shù)學(xué)證明”教學(xué)片段，引導(dǎo)學(xué)生分析已知，讓學(xué)生在“拼一拼”中找到證明的思路，體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論、運(yùn)用演繹推理加以證明的過(guò)程。同時(shí)也讓學(xué)生了解演繹推理規(guī)則中最常用、最重要的“三段論”，加深學(xué)生對(duì)邏輯推理的理解，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

課后，我們及時(shí)開(kāi)展現(xiàn)場(chǎng)限時(shí)問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查對(duì)象為課堂上的八年級(jí)學(xué)生，問(wèn)卷內(nèi)容如下。

問(wèn)題1：推理過(guò)程“因?yàn)橐磺衅鏀?shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以2007不能被2整除”是必然推理（或有效推理，即前提為真時(shí)就能確保結(jié)論一定為真）嗎？它與課堂上推理過(guò)程（如圖3）“延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）”的推理形式（或者“規(guī)則”）相同嗎？為什么？

問(wèn)題2：亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系的主要內(nèi)容是三段論，最經(jīng)典、最著名、最標(biāo)準(zhǔn)的“三段論”推理案例如下。

大前提：所有的人都會(huì)死，

小前提：蘇格拉底是人，

結(jié)論：蘇格拉底也會(huì)死。

問(wèn)：（1）說(shuō)一說(shuō)，上述推理案例是必然推理（或有效推理）嗎？

（2）課堂上的推理過(guò)程“延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）”是“三段論”的推理形式，請(qǐng)寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式。

問(wèn)題3：如圖4，已知△ABC，過(guò)A作輔助線AD∥BC，

求證：∠A+∠B+∠C=180°

請(qǐng)寫出完整的證明過(guò)程。

問(wèn)題4：如圖5，已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，

求證：（1）∠ABE+∠CDF=90°;

（2）BE∥DF.

問(wèn)題1學(xué)生做題的正確率為28%，問(wèn)題2學(xué)生做題的正確率為16%，說(shuō)明學(xué)生并沒(méi)有真正理解“三段論”的邏輯規(guī)則的表達(dá)形式、正確有效性、思維方式和數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題3學(xué)生做題的正確率達(dá)到86%，說(shuō)明學(xué)生能模仿教師的寫書(shū)過(guò)程，甚至能舉一反三，學(xué)生對(duì)模仿書(shū)寫證明過(guò)程掌握得較好。問(wèn)題4學(xué)生做題的正確率為68%，說(shuō)明學(xué)生是會(huì)做這道題的，按平時(shí)考試的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，得分率還是比較高的，但是邏輯結(jié)構(gòu)和書(shū)寫步驟混亂，說(shuō)明多數(shù)學(xué)生未能把握證明題的條理性和規(guī)范性。

數(shù)學(xué)證明就是由已知（前提），通過(guò)有效推理，得出有效的結(jié)論。因此，數(shù)學(xué)證明的教學(xué)核心是教學(xué)生演繹規(guī)則（有效推理規(guī)則）。本課的重點(diǎn)就是用“三段論”的演繹推理規(guī)則來(lái)證明“三角形內(nèi)角和定理”，它屬于邏輯思維中最“燒腦”的一環(huán)，對(duì)部分初中生而言，這部分知識(shí)又是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。

三、循“規(guī)則”，明道理

初中階段培養(yǎng)“推理能力”的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對(duì)演繹推理定義如下：“演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算?！蓖评硎沁壿嬎季S的基本形式之一：由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過(guò)程——設(shè)A1，A2，……，Ak是幾個(gè)已知的判斷（前提），判斷B（結(jié)論）。當(dāng)A1，A2，……Ak都為真時(shí)，B也為真，則稱由前提A1，A2，……，Ak推B的推理有效或推理正確，并稱B是有效的結(jié)論。

演繹推理有三段論、假言推理、選言推理、關(guān)系推理等形式。小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)《推理》一課就教給學(xué)生“選言推理”，這是一個(gè)有效的邏輯推理規(guī)則。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該明明白白告訴學(xué)生亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系的最重要“三段論”規(guī)則是必然推理。據(jù)此，我們優(yōu)化了“證明過(guò)程的分析與表述”片段的教學(xué)設(shè)計(jì)。

（一）學(xué)生在生活情境和已有知識(shí)中感悟“三段論”

亞里士多德所創(chuàng)立的古典邏輯體系中的最重要的“三段論”推理規(guī)則，是人類最基本的邏輯推理方法。教師首先帶領(lǐng)學(xué)生看一些最典型、最標(biāo)準(zhǔn)的“三段論”推理案例。

案例一 大前提：所有的人都會(huì)死;

小前提：蘇格拉底是人;

結(jié) 論：蘇格拉底會(huì)死。

案例二 大前提：所有的金屬都能導(dǎo)電;

小前提：銅是一種金屬;

結(jié) 論：銅能導(dǎo)電。

案例三 大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除;

小前提：2007是奇數(shù);

結(jié) 論：2007不能被2整除。

案例四 大前提：所有個(gè)位上是0的整數(shù)都是5的倍數(shù);

小前提：1050個(gè)位上的數(shù)是0;

結(jié) 論：1050是5的倍數(shù)。

隨后，教師為學(xué)生講解三段論的相關(guān)知識(shí)。三段論是演繹推理的一般模式，它包含大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況做出的判斷。三段論蘊(yùn)含著“從一般到特殊”的推理思想。事物有共性，必然蘊(yùn)藏著個(gè)別，所以“一般”中必然能夠推演出“個(gè)別”。因此，若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確。而三段論推演出來(lái)的結(jié)論是否正確，取決于大前提和小前提是否正確、是否合乎三段論邏輯規(guī)則。

（二）劃分邏輯推理段，循規(guī)、守則、明理

[已知：△ABC（如右圖）.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

證明：如圖6，過(guò)點(diǎn)A作直線l，使l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

同理 ∠3=∠5.

∵∠1，∠4，∠5組成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）.

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.

以上我們就證明了任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于180°，得到如下定理：

教師出示課本上的證明過(guò)程（如圖6）并引導(dǎo)學(xué)生，教學(xué)片段如下。

師：證明過(guò)程是由若干個(gè)推理組成的，每個(gè)推理過(guò)程，我們將它看成“一段”，下面我們將課本上的證明過(guò)程劃分為四個(gè)邏輯推理段進(jìn)行分析。

1.第一段推出結(jié)論：∠2=∠4

（大前提：任意兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等;小前提：l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角;結(jié)論：∠2=∠4）

師：從思維過(guò)程來(lái)看，任何三段論都必須包含大、小前提和結(jié)論，缺一不可。但是，在具體的語(yǔ)言表述中，無(wú)論是口頭表述還是書(shū)寫證明過(guò)程，為了簡(jiǎn)潔明了，我們常常把三段論中的某些部分省去不說(shuō)，或是大前提，或是小前提。我們從圖中可以得出小前提是“l(fā)∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角”，把“大前提”以備注形式寫在“結(jié)論”的后面，于是才有了課本上的簡(jiǎn)潔的表述，你看懂了嗎？

2.第二段推出結(jié)論：∠3=∠5

師：第二段推理得出的結(jié)論是“∠3=∠5”，請(qǐng)同學(xué)們自己寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式，并簡(jiǎn)化。

3.第三段推出結(jié)論：∠1+∠4+∠5=180°

（大前提：所有的平角都是180°;小前提：∠1，∠4，∠5組成的“和角”是平角;結(jié)論：∠1+∠4+∠5=180°）

師：第三段推理的簡(jiǎn)潔表達(dá)如圖所示，∵∠1，∠4，∠5組成平角?！唷?+∠4+∠5=180°（平角的定義）。

4.第四段推出結(jié)論：∠1+∠2+∠3=180°

[大前提：所有的等式，它里面的數(shù)（量）用相等的數(shù)（量）來(lái)代替，它仍為等式（等量代換）;小前提：∠1+∠4+∠5=180°，∠2=∠4，∠3=∠5;結(jié)論：∠1+∠2+∠3=180°]

師：第四段推理得出的結(jié)論是∠1+∠2+∠3=180°，簡(jiǎn)潔表達(dá)為∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）。

師：把這四個(gè)邏輯推理片段整合寫在一起就是課本上的證明過(guò)程，同學(xué)們讀懂了嗎？下面同學(xué)們自己寫出用另一種添輔助線的方法證明這一結(jié)論的過(guò)程。

師：證明思路明確以后，證明是否正確，就看每一個(gè)邏輯推理過(guò)程是否為“有效推理”（或演繹推理）。請(qǐng)同學(xué)們采取“逐段分析推理過(guò)程”的方法，看看你的證明是否正確。

（三）學(xué)會(huì)書(shū)寫證明并自我分段診斷

[教師再次出示問(wèn)題四并將其作為練習(xí)，“四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線。求證：（1）∠1+∠2=90°;（2）BE∥DF”，學(xué)生自主解答、教師巡堂，隨后教師進(jìn)行講解]

師：我們來(lái)看看這名同學(xué)證明第（1）問(wèn)的過(guò)程（展示圖7）。他的證明過(guò)程中沒(méi)寫理由，我們?nèi)杂弥鸲畏治鐾评淼姆椒◣退治鲈\斷一下。

師：上面的第①②句作為一個(gè)邏輯推理段，怎樣表達(dá)？

生1：大前提——角平分線將角平分為兩個(gè)相等的角（角平分線的定義），小前提——BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），結(jié)論——∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC。

生2：簡(jiǎn)潔表達(dá)是，∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），∴∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC（角平分線的定義）

生3：第④句作為一個(gè)邏輯推理段的結(jié)論，明顯使用了四邊形內(nèi)角和公式。大前提——所有四邊形內(nèi)角和為360°（公式），小前提——圖形ABCD是四邊形（已知），結(jié)論——∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，簡(jiǎn)潔表達(dá)是，在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°（四邊形內(nèi)角和公式）。

師：同學(xué)們說(shuō)得非常好！完整的證明過(guò)程應(yīng)該是這樣的（出示圖8）。

（四）課后小結(jié)

教師在課堂的最后帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，總結(jié)處理幾何證明題目的關(guān)鍵步驟如下。

（1）分析“已知”和“求證”，兩邊推進(jìn)，尋找思路;

（2）羅列證明中關(guān)鍵的邏輯節(jié)點(diǎn)，思考以哪些已有的事實(shí) （包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）為前提，用什么樣的演繹推理規(guī)則;

（3）復(fù)查推理過(guò)程：前提是否真確，是否合乎演繹的邏輯規(guī)則，書(shū)寫時(shí)做到理由充分、簡(jiǎn)潔表達(dá)。

研究者事后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談，結(jié)果表明：新的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)提高學(xué)生的分析證明、自我診斷證明過(guò)程、快速地從別人的證明中識(shí)別出無(wú)效推理、分段組合及有序書(shū)寫證明過(guò)程的能力有明顯的幫助。

作者簡(jiǎn)介：

劉國(guó)鋒（1981— ），男，漢族，廣西博白人，中學(xué)一級(jí)教師，2006年至今在廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)寶賢中學(xué)擔(dān)任班主任和數(shù)學(xué)教學(xué)工作，教學(xué)成績(jī)突出，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育。

蔣曉云（1963— ），男，漢族，廣西全州人，桂林師范高等?？茖W(xué)校教授，理學(xué)學(xué)士，研究方向：數(shù)學(xué)教育和基礎(chǔ)教育。

楊起群（1970— ），女，漢族，湖南雙峰人，桂林師范高等?？茖W(xué)校教授，理學(xué)學(xué)士，研究方向：數(shù)學(xué)教育和教育管理。

鄺佰燕（1997— ），女，漢族，廣西欽州人，廣西師范大學(xué)漓江學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。