張瑞雪，沈小林

（中北大學電氣與控制工程學院，山西太原 030051）

0 引 言

圖像容易受到惡劣環(huán)境、光線變換和線路傳輸距離等因素的影響，導致圖像噪聲產(chǎn)生，這些噪聲嚴重影響圖像質(zhì)量，破壞圖像在內(nèi)容、結(jié)構(gòu)等方面像素之間的相關性，不利于圖像的后續(xù)處理，所以必須要對含噪圖像進行平滑去噪處理。圖像去噪方法主要分為空間域與頻率域兩種方法[1-2]?？臻g域法是對圖像像素進行處理，如均值濾波、中值濾波等，這些方法不顧每個像素自身的特點，以致于在去噪的同時也屏蔽了圖像的邊緣信息；頻率域去噪法是將原始圖像通過一些積分變換，將其變換到頻率域，接著在頻率域?qū)ζ溥M行操作，最后再反變換到空間域中，進而使圖像得到增強，以此達到去除噪聲的目的。圖像頻率域去噪方法有很多，常用的有傅里葉變換、小波變換等，其中小波變換就是很好的去噪方法。因為小波變換獨有的低熵性和多分辨率特性，可以提供信號與頻率相獨立的尺度信息，有良好的時頻特性，能夠準確地進行信號去噪，小波閾值去噪已成為去噪的經(jīng)典方法[3-6]。

傳統(tǒng)閾值去噪法是由Donoho 等人提出的小波硬閾值與軟閾值函數(shù)去噪方法[7]，該方法計算量小，實現(xiàn)簡單，應用廣泛。但這兩種方法都有其自身的缺陷。文獻[8-11]都是針對這兩種算法提出的改進算法，在實際應用中也取得了良好的效果，然而也存在缺陷。文獻[8]中的算法雖然在一定程度上縮小了估計小波系數(shù)與原始小波系數(shù)之間的恒定偏差。但它的計算量大，且有兩個變量，計算復雜。文獻[9-10]也在一定程度上減小了小波系數(shù)的絕對值與估計小波系數(shù)之間的恒定偏差，但它們均沒有平滑作用，即這兩個算法在閾值點處不連續(xù)。文獻[11]可以通過改變調(diào)節(jié)因子使閾值函數(shù)在軟、硬閾值之間來回變動，且閾值函數(shù)在閾值點處也連續(xù)，但是計算相對復雜。針對軟、硬閾值函數(shù)及這幾種典型閾值去噪函數(shù)的不足，本文提出新的閾值函數(shù)，并對閾值進行適當改進。最后經(jīng)過實驗證明本文提出的改進閾值算法的優(yōu)越性。

1 小波閾值去噪原理

1.1 理論依據(jù)

假設原始圖像信號為Xj,k(j,k=1,2,…,N)，則被噪聲污染的圖像信號Yj,k的表達式為：

式中ξj,k是方差為σ2的噪聲。去噪的目的就是去除Yj,k中的噪聲ξj,k，使得估計值與其原始值Xj,k的均方誤差最小。

圖像在經(jīng)過小波變換后，較大的小波系數(shù)主要以實際圖像信號為主，而較小的系數(shù)則在很大程度上是噪聲[12]。所以小波域閾值去噪就是通過選取合適的閾值，將幅值大于閾值的小波系數(shù)做最大程度的保留，同時將幅值小于閾值的小波系數(shù)統(tǒng)統(tǒng)置零。最后再對經(jīng)過閾值量化后的小波系數(shù)進行小波逆變換，就可得到去噪后的圖像。

1.2 常用的閾值函數(shù)

設Wj,k為原始的圖像小波系數(shù)，λ是閾值是閾值量化后的圖像小波系數(shù)（下同），則硬、軟閾值函數(shù)表達式為：

從式（2）中可以看出，硬閾值函數(shù)是間斷函數(shù)，導致濾波后容易在圖像信號的間斷點處產(chǎn)生比較大的震蕩，因此，利用硬閾值函數(shù)進行閾值化后，再進行重構(gòu)的圖像信號往往會出現(xiàn)偽吉布斯（Pseudo-Gibbs）現(xiàn)象，使重構(gòu)的圖像失真。從式（3）中可以看出，使用軟閾值去噪法得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性雖然好，但當|Wj,k|≥λ時，估計值與實際值之間總存在固定的偏差，固定偏差大小為λ，嚴重影響重構(gòu)的圖像信號與原始輸入圖像信號的逼近程度。

為了克服軟、硬閾值去噪法的缺陷，國內(nèi)外的研究提出了多種改進方法，本文列舉幾種典型的算法，進行簡單的介紹。

雙變量閾值函數(shù)表達式[8]為：

圖1 雙變量與軟、硬閾值函數(shù)Fig.1 Bivariate threshold function，soft and hard threshold functions

折中閾值函數(shù)表達式[9]為：

式中：α為可變參數(shù)，且α∈[0,1]。α的作用是調(diào)節(jié)軟閾值法中的恒定偏差，該閾值法沒有平滑作用，即該算法在Wj,k=λ處不連續(xù)。當Wj,k∈[-2,2]，α=0.5，λ=0.8時圖像如圖2 所示。

圖2 折中與軟、硬閾值函數(shù)Fig.2 Eclectic threshold function，soft and hard threshold functions

均方根閾值函數(shù)表達式[10]為：

指數(shù)閾值函數(shù)表達式[11]為：

式中：u=1-exp[-m(|Wj,k|-λ)2],m＞0，m為調(diào)節(jié)因子，可以調(diào)整u的變化程度，進而使該算法在軟、硬閾值之間來回變動。該閾值函數(shù)在Wj,k=λ處也連續(xù)，但是計算相對復雜，且m的取值大，也不好調(diào)整。當Wj,k∈[-2,2]，m=45，λ=0.8時函數(shù)圖像如圖4 所示。

圖3 均方與軟、硬閾值函數(shù)Fig.3 Square root threshold function，soft and hard threshold functions

圖4 指數(shù)與軟、硬閾值函數(shù)Fig.4 Exponential continuous threshold function，soft and hard threshold functions

2 改進的小波閾值去噪算法

2.1 改進的閾值函數(shù)

為了彌補以上方法的不足，本文在上述去噪法的基礎上，提出一種改進算法：

式中n為正實數(shù)。當|Wj,k|大于λ時，的值始終處于0和1 之間；從而的值也處在0和1之間；隨著|Wj,k|值的增大，不斷減小，從而也跟著減小，這樣大大減小了軟閾值去噪算法中產(chǎn)生固定的、大小為λ的偏差，形成了對偏差的動態(tài)填補。當|Wj,k|→λ時，→0，當|Wj,k|=λ時，=0，該算法在λ處連續(xù)，所以本文提出的改進算法也彌補了硬閾值算法、折中閾值算法和均方根閾值算法的缺陷；當|Wj,k|→∞時→Wj,k，因此，改進的閾值函數(shù)以=Wj,k為漸近線，隨著Wj,k的增大而逐漸接近于Wj,k。并且該閾值算法相對簡單，計算量小，可以減少雙閾值法和指數(shù)法去噪的時間，提高去噪效率。由此可見，改進的閾值算法可有效克服上述幾種閾值算法的缺點，它的實用性更強，應用更廣泛。

2.2 閾值的選取

閾值λ的選取在小波域閾值去噪過程中至關重要。如果閾值選取過小，那么閾值量化后的小波系數(shù)中會含有較多的噪聲分量，導致圖像去噪不充分；如果閾值選取過大，則會丟失部分有用的圖像信息，導致重構(gòu)后的圖像失真[13]。

常用的小波閾值選取方法有通用閾值法、Stein 無偏風險閾值法、極大極小閾值法和啟發(fā)式閾值法等4 種閾值選取規(guī)則[14-15]。通用閾值的公式為為信號長度，σ為噪聲標準差。通用閾值求取的是閾值的上限，而不是最佳閾值，它會對邊緣小波系數(shù)產(chǎn)生嚴重的“過扼殺”現(xiàn)象，使得去噪后的圖像變得模糊不清，直接導致小波重構(gòu)后的圖像誤差增大。Stein 無偏風險閾值準則可以求出理想閾值的估計值，但它沒有顯式的表達式，并且閾值的計算需要事先知道圖像信號本身，在實際求取中，這是不可能的。啟發(fā)式閾值和極大極小閾值準則在某些方面可以獲得比較好的去噪效果，但其計算量非常復雜。

在閾值去噪中，噪聲的小波系數(shù)與分解尺度成反比，即分解尺度越大，分解的小波系數(shù)越小。所以對圖像進行降噪處理時，不同的分解尺度，閾值的選取應有所不同，閾值的選取準則應是隨著分解尺度的增大而減小[16]。本文對現(xiàn)有閾值選取算法做適當?shù)母倪M，其表達式為：

式中σ=median(|Wj,k|)/0.674 5。這個閾值選取準則可有效克服上述幾種閾值選取準則的缺點，且計算相對簡單，不但可以取得較好的去噪效果，實用性也強。

2.3 改進的小波域閾值算法去噪步驟

改進的小波域閾值算法具體去噪步驟如下：

第1 步：選擇合適的分解層數(shù)和合適的小波基，小波基一般根據(jù)具體噪聲圖像的特點進行選擇；

第2 步：對式（1）中的帶噪圖像Yj,k進行多層次正交小波變換，得到一組小波分解系數(shù)Wj,k；

第3 步：對式（1）中噪聲ξj,k方差σ進行估計，噪聲方差σ=median(|Wj,k|)/0.674 5，再根據(jù)式（9）求出門限閾值λ的值；

第4 步：對各層高頻系數(shù)進行閾值化處理。它是對小波分解每一層的高頻小波系數(shù)進行閾值量化處理，具體操作是：以λ為門限，將大于閾值λ的小波系數(shù)進行保留，同時，將幅值小于閾值λ的小波系數(shù)置為零，得到估計的小波系數(shù)；

第5 步：把經(jīng)過閾值量化后的第1 層到第N層的高頻系數(shù)和沒有進行閾值量化處理的低頻小波系數(shù)進行小波逆變換，就可得到去噪后的圖像。

3 結(jié)果對比分析

圖像的噪聲主要來源于敏感元器件內(nèi)部產(chǎn)生的高斯白噪聲、感光過程產(chǎn)生的顆粒噪聲和光電轉(zhuǎn)換過程的泊松噪聲。往往采集到的圖像不是只有單一的噪聲，而是多種噪聲的混合。為了驗證改進閾值算法的有效性，使用Matlab 軟件對加入標準差為20的高斯白噪聲和標準差（歸一化）為0.5的椒鹽噪聲的Lena 圖像、Cameraman 圖像和拍攝到的Tulips 圖像進行驗證。本文基于sym8 小波基支集長度長、連續(xù)性好和正則性好等特點，采用sym8 小波基進行圖像的3 級分解與重構(gòu)，經(jīng)過多次Matlab仿真實驗，改進的閾值函數(shù)，也就是式（8）中的n取8時，去噪效果最好。去噪效果如圖5～圖7所示。

圖5 對Lena圖像用不同方法去噪結(jié)果對比圖Fig.5 Comparison of denoising results of Lena image using different methods

圖6 對Cameraman圖像用不同方法去噪結(jié)果對比圖Fig.6 Comparison of denoising results of Cameraman image using different methods

圖7 對Tulips圖像用不同方法去噪結(jié)果對比圖Fig.7 Comparison of denoising results of Tulips image using different methods

從圖5～圖7 中可以看出，本文算法的去噪效果在視覺上優(yōu)于上述幾種去噪算法。為了進一步驗證去噪效果，以MSE，PSNR，PMSE和SNR 為判定標準：

式中：Xi為原始圖像的第i個像素；為去噪后圖像的第i個像素；N為總像素。

由式（10）～式（13）可知，當MSE和PMSE 越小，同時，SNR和PSNR 越大時，去噪效果越好。Matlab仿真得出的客觀評價標準如表1～表3 所示。

表1 Lena圖像去噪客觀評價標準Table 1 Objective evaluation criteria of Lena image denoising

表2 Cameraman圖像去噪客觀評價標準Table 2 Objective evaluation criteria of Cameraman image denoising

表3 Tulips圖像去噪客觀評價標準Table 3 Objective evaluation criteria of Tulips image denoising

4 結(jié) 論

本文在分析軟、硬閾值函數(shù)以及幾種代表性的改進閾值函數(shù)的優(yōu)缺點后，提出小波域閾值改進算法，并對閾值做了適當改進。經(jīng)過Matlab仿真實驗驗證，改進的閾值函數(shù)在計算相對簡單的情況下有較好的去噪效果，且可以很好地保護圖像的細節(jié)信息。由于本文算法計算量較小且去噪效果顯著，可以應用在很多方面，例如，霧霾天采集的不清晰圖像、煤塵圖像、艦基圖像的預處理和火災監(jiān)控煙塵去噪等圖像去噪中，具有非常廣闊的應用前景。