福建省安溪銘選中學(xué) 林澤煒
正交分解,是指把力沿著兩個(gè)選定的相互垂直的坐標(biāo)軸方向加以分解的方法,通過必修1的教學(xué),學(xué)生已能使用正交分解分析水平面、豎直面和斜面上的物體,正交分解模型基本確立。
經(jīng)典問題1:用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端系一小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),另一端固定在一個(gè)光滑錐頂上,如圖所示,錐面與豎直方向夾角為θ,小球沿著錐面在水平面內(nèi)做向心加速度為a的勻速圓周運(yùn)動(dòng),若小球未離開斜面,試分析細(xì)線的張力FT和錐面的支持力N與a的關(guān)系。
本問題是要利用牛頓第二定律分析物體的圓周運(yùn)動(dòng),按常規(guī)思路,應(yīng)將力沿平行半徑和垂直半徑的方向進(jìn)行分解,做法如下:
方法1:如圖甲,
水平:FT·sinθ-N·cosθ=ma①
豎直:FT·cosθ+N·sinθ=mg②
①×sinθ+②×cosθ得:FT=masinθ+mgcosθ
②×sinθ-①×cosθ得:N=mgsinθ-m·acosθ
這種方法格式固定、容易理解,但由于涉及比較巧妙的數(shù)學(xué)運(yùn)算,方程不易求解。如果這是一道選擇題,會(huì)列方程卻不會(huì)求解,做了也白做。根據(jù)獨(dú)立性原理,某方向上的力只會(huì)產(chǎn)生該方向上的加速度,這給我們分析問題提供了又一思路。
方法2:如圖乙,
沿錐面:FT-mg·cosθ=m·asinθ
垂直錐面:mg·sinθ-N=m·acosθ
移項(xiàng)即有:FT=masinθ+mgcosθ
N=mgsinθ-m·acosθ
這里,將力和向心加速度同時(shí)沿平行斜面和垂直斜面進(jìn)行分解,分方向列出牛頓第二定律后,移項(xiàng)即可得出答案。對(duì)于“斜面上”的物體,如果加速度沿水平或豎直方向,在分解力的同時(shí)“按需”分解加速度,往往能化繁為易,減小運(yùn)算量。
經(jīng)典問題2:水平面上固定一個(gè)傾角為α的斜面,將一個(gè)小球從斜面頂端以速度v0水平拋出,不計(jì)空氣阻力的影響,經(jīng)過時(shí)間t小球落在斜面上,求在這一運(yùn)動(dòng)過程中小球距斜面的最遠(yuǎn)距離hm=?
分析做平拋運(yùn)動(dòng)的物體時(shí),正交分解因其“化曲為直”的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。本問題中,如果采用常規(guī)思路,把平拋分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體,我們很難找出最遠(yuǎn)距離同平拋的水平位移和豎直位移之間的幾何關(guān)系。如果把重力和初速度均沿平行斜面和垂直斜面進(jìn)行分解,根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等效性,平拋可視為平行斜面的勻加速直線運(yùn)動(dòng)(a1=gsinα)和垂直斜面的勻減速直線運(yùn)動(dòng)(a2=gcosα)的合運(yùn)動(dòng),容易發(fā)現(xiàn):當(dāng)垂直斜面的分速度減小為0,即:
這時(shí),物體離斜面最遠(yuǎn),這個(gè)最遠(yuǎn)距離恰好等于物體在該方向勻減速到0時(shí)前進(jìn)的位移,即:
像“物體在某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)(這個(gè)方向稱為x方向,與之垂直的方向稱為y方向)的最大距離”一類的問題,把力和速度同時(shí)沿x 方向和y 方向進(jìn)行正交分解,抓住沿x方向減速到0的特征,思路就比較清晰。
經(jīng)典問題3:如圖所示,A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)(勻強(qiáng)電場(chǎng)和六邊形所在平面平行),B、C、F三點(diǎn)電勢(shì)分別為1 V、2 V、3 V,該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為______V/m。
大眾印象中,正交分解只是分析動(dòng)力學(xué)問題的“利器”,但實(shí)際上它也是解決其他矢量問題的有力工具。比如,勻強(qiáng)電場(chǎng)中,根據(jù)電場(chǎng)的特性,水平(豎直)方向的電場(chǎng)在豎直(水平)方向上不會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)差,如果將電場(chǎng)正交分解為水平(x方向)和豎直(y方向)兩個(gè)相互垂直的方向的電場(chǎng)Ex 和Ey,那就可以理解為水平(豎直)方向的電場(chǎng)產(chǎn)生水平(豎直)方向的電勢(shì)差,于是有:Ex=Ux/dx;Ey=Uy/dy,其中Ex、Ux、dx(Ey、Uy、dy)分別對(duì)應(yīng)x方向(y方向)上兩點(diǎn)間的電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)差和距離。
本題中,因UC-UB=UE-UF,則UE=4V;FC連線中點(diǎn)的電勢(shì)為U0=UCF/2=2.5V,則由UO-UC=UE-UD可知UD=3.5V,由UA-UB=UE-UD可知UA=1.5V;若將電場(chǎng)沿DC方向和DF方向進(jìn)行正交分解,容易求得:
水平分電場(chǎng):
豎直分電場(chǎng):
再根據(jù)矢量合成容易得出總電場(chǎng)強(qiáng)度:
可見,正交分解法有助于學(xué)生深入理解勻強(qiáng)電場(chǎng)U=Ed這一規(guī)律的本質(zhì)特征,對(duì)于分析已知某三個(gè)點(diǎn)電勢(shì)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng),能有效避開復(fù)雜的幾何分析。
正交分解加速度、速度和電場(chǎng)強(qiáng)度,根據(jù)需要分解不同的物理量,選擇不同的分解方向,這種“按需”分解對(duì)于解決諸多矢量問題往往有事半功倍的奇效。這些問題的解決,活化了正交分解的方法,深化了正交分解的模型,豐富了正交分解的內(nèi)涵,也推動(dòng)了科學(xué)思維這一學(xué)科核心素養(yǎng)的有效滲透。