延遲索賠風險模型的最優(yōu)投資策略

肖鴻民,劉月娣,劉愛玲

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州 730070)

1 引言

近年來,根據(jù)保險公司的實際運行狀況,很多學者在經(jīng)典保險風險模型[1?2]的基礎上提出了許多改進模型.其中Water和Papartriandafylou[3]首次提出了帶延遲索賠的風險模型,它描述了保險公司會常常遇到的一種情況:在主索賠發(fā)生后的某個不定時間還會產(chǎn)生由此引起的附加索賠,即延遲索賠.諸多學者對該模型產(chǎn)生了濃厚的興趣.Yuen和Guo[4]研究了一類帶有復合二項延遲風險模型的有限時間破產(chǎn)概率;Yuen[5]等運用鞅的方法研究了連續(xù)時間的絕對破產(chǎn)概率;肖鴻民等[6]研究了重尾分布L∩D下延遲索賠風險模型的精細大偏差;肖鴻民等[7]研究了相依賠付帶投資的延遲風險模型的極限性質(zhì).

隨著金融市場的迅速發(fā)展,保險公司的保費收入不斷增加,累積的保險資金越來越多,如何保值增值也是保險公司抵抗風險的主要工作.通常運作資金的最佳途徑就是投資,但是如何選擇投資策略又成為他們目前所面臨的重要問題.若選擇的好,投資可以給保險公司帶來豐厚的收益.若選擇不好,不但不能從投資中獲得收益,還可能加快公司破產(chǎn)的步伐.關于保險公司如何選擇投資策略的問題,文獻[8]研究了最優(yōu)比例再保險問題;文獻[9]研究了當索賠遵循布朗運動時的最小破產(chǎn)概率;文獻[10]研究了擴散逼近模型下絕對破產(chǎn)概率最小化的投資與再保險問題;文獻[11]研究了相依雙險種模型的擴散逼近及其最優(yōu)再保險問題.最近,文獻[12]又研究了相依多險種模型的擴散逼近與最優(yōu)投資.

基于上述背景,但不同的是本文針對延遲索賠風險模型,討論了最小化破產(chǎn)概率下的最優(yōu)投資策略,這一結(jié)果豐富了延遲索賠風險模型的研究并對保險公司的風險管理控制有重要的參考價值.

本文結(jié)構(gòu)如下:第二部分介紹模型及其擴散逼近結(jié)果;第三部分運用隨機控制理論,通過求解相應的HJB方程得到了最優(yōu)投資策略的顯式表達式.

2 模型分析與擴散逼近

假定保險公司的初始資金為u(u≥0),單位時間收取的保費為c(c>0);第i次主索賠的時刻為Si且主索賠額{Xi,i=1,2,···}獨立同分布于X,它們的共同分布為F,其一階矩和二階矩存在,分別記為和;延遲索賠額{Yi,i=1,2,···}獨立同分布于Y,它們的共同分布為G,其一階矩和二階矩存在,分別記為和;延遲賠付間隔 {Ti,i=1,2,···}獨立同分布于T,它們的共同分布為H.

延遲索賠計數(shù)過程與主索賠計數(shù)過程遵循相依結(jié)構(gòu)

于是累積索賠額為

設主索賠計數(shù)過程N1(t)是強度為λ的齊次Poisson過程,索賠額X和Y相互獨立,并獨立于索賠計數(shù)過程.據(jù)此定義保險公司的盈余過程為

由假設EN1(t)=λt,根據(jù)齊次Poisson過程的性質(zhì),可得λtp(t),其中p(t)=p{U+T≤t},U為(0,1)上的均勻分布.

下面進一步討論兩種索賠過程及索賠額之間的關系,為擴散逼近結(jié)果做準備.

進而計算得到索賠計數(shù)過程N1(t)與N2(t)的相關系數(shù)為

又有

從而主索賠額與延遲索賠額過程的相關系數(shù)為

首先給出延遲索賠風險模型的擴散逼近結(jié)果.

定理2.1延遲索賠風險模型Ut可逼近為擴散過程

其中Bt表示標準布朗運動.

下面的引理對證明上述擴散逼近結(jié)果是必要的.

引理 2.2[11](鞅中心極限定理)對n=1,2,···,記R表示實數(shù)集,為濾子空間,DRm[0,∞)為賦予了Skorohod拓撲右連左極函數(shù)空間.令Rn(t)為樣本軌道在DRm[0,∞)上的-局部鞅,滿足Rn(0)=0,E[Rn(t)]=0,An=(())為m×m的對稱矩陣值過程,且 An(t)?An(s)對 t>s≥ 0非負定.假定對任意的 i,j=1,2,···,m,有,且對每個T>0有.如果n→ ∞ 時,對每個 t>0和 i,j=1,2,···,m, 有(t)依概率收斂到σij(t),則Rn弱收斂到R,其中R為M-維布朗運動,漂移向量為 (0,0,···,0)1×m,協(xié)方差陣為 (σij(t))m×m.

其中

證 對n=1,2,···,下面構(gòu)造隨機過程序列

即An(t)?An(s)非負定.

對任意的M>0,由λt連續(xù),則有

和

根據(jù)上面的引理,給出定理2.1的證明.

證 由引理2.2知,Ut可逼近為

再根據(jù)引理2.3知

代入上式即知定理2.1成立.

3 帶延遲索賠風險投資模型的最優(yōu)投資策略

在承保風險過程中,利用擴散逼近是為了更好的研究最優(yōu)決策問題.本文考慮最小化破產(chǎn)概率下的盈余投資策略選擇問題.保險公司為了獲得更多收益,一般會將盈余投資于風險市場和無風險市場.假定保險人將部分盈余投資于股票市場,它的價格過程Pt服從幾何布朗運動dPt=aPtdt+bPtdWt,t≥0,其中a,b∈R為常數(shù),a為股票瞬時條件期望收益率,b為股票瞬時條件標準差,Wt為標準布朗運動且獨立于Bt.

將另一部分投資于債券市場,它的價格過程滿足微分方程dQt=rQtdt,t≥0,其中r為無風險利率.

記保險人在時刻t將部分盈余πt投資到風險市場,選定πt后的總盈余記為,則無風險投資的盈余為.則在原盈余的基礎上嵌入投資策略πt后的盈余過程滿足下面的隨機微分方程

其中Wt與Bt相互獨立.

現(xiàn)在的目標是要在所有可行策略中尋找最優(yōu)策略π?使得對某個t>0|對某個,即破產(chǎn)概率達到最小,記為

為解決優(yōu)化問題,采用隨機馬爾可夫控制理論和HJB方程,如果最優(yōu)值函數(shù)ψ(u)二階連續(xù)可微,則ψ(u)必然滿足下面HJB方程

下述尋求HJB方程(3.3)的二次連續(xù)可微解.根據(jù)文獻[14],最優(yōu)風險投資量即為最大化盈余過程漂移項與波動項平方的商的對應值.也就是說,只需求解π使得

達到最大.據(jù)此,令 φ0(π)=0,可得

為求解最優(yōu)值函數(shù)ψ(u),先假定ψ(u)為凸函數(shù),滿足ψ00(u)>0.由此,根據(jù)最優(yōu)解π?(u)應滿足HJB方程(3.3)第一式且為唯一解,又得到

結(jié)合(3.4)式和(3.5)式解得

其中π?(v)由(3.4)式確定.據(jù)此,又進一步可得

其中ψ0(0)可由邊界條件得到.

下面給出識別定理,說明由HJB方程(3.3)的二次可微解即得到優(yōu)化問題(3.2)的唯一解.

引理3.1[9]對任意的常數(shù)π∈R,定義二次可微算子Lπ如下:對任意的開集G?R+和h∈C2(G),定義函數(shù)Lπh:G→R形如

如果函數(shù)h:R+→[0,1]遞減,函數(shù)ψ:R+→R可行,且滿足

那么h即最小破產(chǎn)概率為ψ,π?即為最優(yōu)風險投資量.

定理3.2 在延遲索賠風險模型的擴散逼近形式(2.1)下,帶投資的優(yōu)化問題(3.1)的最小破產(chǎn)概率為

最優(yōu)投資策略π?(u)為

其中

由引理3.1知,只要ψ(u)滿足(A1)–(A3)三個條件,即得ψ(u)為最小破產(chǎn)概率,π?為最優(yōu)投資策略.下面逐步進行證明.

由初等函數(shù)h(x)關于x連續(xù),則函數(shù)g(v)關于v連續(xù),從而關于u可微.進一步,ψ(u)關于u可微且

另外,由于函數(shù)

則函數(shù)g(v)具有連續(xù)導函數(shù)且

因此函數(shù)g(v)關于v單調(diào)遞減,函數(shù)ψ(u)具有二階連續(xù)導函數(shù)且

即ψ∈C2(R+)且為凸函數(shù).同時,由函數(shù)g的單調(diào)性有g(shù)(u)≤g(0)=0,u≥0,所以

即ψ0在R上有上界.即得條件(A1)滿足.對任意的π∈R,由函數(shù)Lπ:G→R的定義知

將此式看作是π的一元二次函數(shù),利用關系式ψ00=ψ0g0,經(jīng)計算判別式為零.又因為>0,則對任意的π∈R,有Lπψ≥0,等號成立當且僅當

將ψ00=ψ0g0代入上式,經(jīng)過計算可得π=π?(v).因此條件(A2)成立.由ψ(u)的表達式得條件(A3)顯然成立.綜上所述,定理3.2證畢.

注 定理3.2表明,在最小化破產(chǎn)概率的優(yōu)化準則下,最優(yōu)投資策略和最小破產(chǎn)概率的顯式表達式由索賠額和風險投資的參數(shù)決定.對同一模型之前只是進行了常數(shù)比例的投資并得到了漸進破產(chǎn)概率.而本文進行了非常數(shù)比例的投資,然后通過隨機微分方程的求解得到最優(yōu)投資策略.這一結(jié)果豐富了延遲索賠風險模型的研究并且更符合保險實際.