李?yuàn)檴?王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇南京 210044)

1 引言

考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問題

隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展,其已涵蓋了科學(xué)與工程的很多應(yīng)用領(lǐng)域,特別是近30年以來(lái),已應(yīng)用到流體力學(xué),粘彈性力學(xué),反常擴(kuò)散,分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng),各種電子回路,生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo),神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型等,并且已有了成熟的發(fā)展,見文獻(xiàn)[1–6].

近年來(lái),許多學(xué)者利用各種方法對(duì)問題(1.1)進(jìn)行了研究,并得到了很多重要的結(jié)果.2011年,Jiao和Zhou在文獻(xiàn)[7]中首次建立了問題(1.1)的變分結(jié)構(gòu),并利用極小化作用原理以及山路引理得到了問題(1.1)解的存在性;在文獻(xiàn)[1]中,陳在位勢(shì)函數(shù)W(t,x)滿足漸近二次的條件下,利用山路引理研究了問題(1.1)解的存在性;文獻(xiàn)[2]中,陳和唐運(yùn)用噴泉定理和對(duì)偶噴泉定理分別考慮了位勢(shì)函數(shù)W(t,x)為超二次和次二次的情形,得到了問題(1.1)存在無(wú)窮多個(gè)解.

令

其中λ>0,F(t,u(t))和G(t,u(t))在無(wú)窮遠(yuǎn)處分別是超二次和次二次的.最近,文獻(xiàn)[4]首次研究了具有形如(1.2)式這樣組合項(xiàng)的位勢(shì)函數(shù),借助于山路引理和極小化方法得到問題(1.1)至少存在兩個(gè)非平凡解.受上述結(jié)果的啟發(fā),本文利用山路引理以及Ekeland變分原理,進(jìn)一步討論此類帶組合項(xiàng)的問題(1.1)兩個(gè)解的存在性.我們有

定理1.1 假設(shè)W滿足如下條件

[F1]?x∈RN,F(t,x)關(guān)于t是可測(cè)的,對(duì)a.e.t∈[0,T],F(t,x)關(guān)于x是連續(xù)可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+)使得

其中Γ為通常的伽馬函數(shù),α=1?β/2,則存在常數(shù)Λ0>0,使得當(dāng)λ∈(0,Λ0)時(shí),問題(1.1)至少存在兩個(gè)非平凡解.

注1.1容易看出,這里定理1.1所給的條件同文獻(xiàn)[4]相比要更一般,因此結(jié)果推廣和發(fā)展了文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分簡(jiǎn)要介紹一些分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念并給出本文所需要的預(yù)備引理;第三部分給出了定理1.1的證明;最后一部分將給出一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將簡(jiǎn)要介紹一些分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念,并且給出問題(1.1)的工作空間和變分結(jié)構(gòu).

定義2.1[8]設(shè)γ>0,函數(shù)f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分分別定義為

和

其中右式在[a,b]上逐點(diǎn)有定義.相應(yīng)的,當(dāng)γ=n∈N時(shí),上式分別與以下的n次積分形式相對(duì)應(yīng)

和

定義2.2[8]設(shè)γ>0,函數(shù)f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)分別定義為

和

其中t∈[a,b],n?1≤ γ

其中f(n)(t)為f(t)的n階導(dǎo)數(shù);若0<γ<1,則

和

記AC?[a,b],RN￠為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)空間.對(duì)k∈N,

定義 2.3[8]設(shè)γ>0,n∈N.若γ∈ [n?1,n)且f(t)∈ACn?[a,b],RN￠,則函數(shù)f(t)的γ階左和右Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)于[a,b]上幾乎處處存在,且分別定義為

和

設(shè)0<α≤1以及1

其范數(shù)為

命題2.4[8]設(shè)0<α≤1,1

進(jìn)一步,若α>1/p且1/p+1/q=1,則有

特別的,當(dāng)p=2時(shí),有以下兩個(gè)不等式成立

引理2.5[7]設(shè)0<α≤1,11/p,若序列{un}在上弱收斂于u,即un*u,則在C([0,T],RN)上有un→u,即當(dāng)n→+∞時(shí),kun?uk∞→0.

下面將在空間Eα:=中討論問題(1.1)的多解性,此時(shí)其范數(shù)為kukα:=kukα,2.

定義2.6若對(duì)u∈Eα以及?v∈Eα有

則稱u為問題(1.1)的弱解.

考慮泛函

根據(jù)條件(F1),(G1)和(G3),由文獻(xiàn)[7]中的定理4.1可知,?∈C1(Eα,R)且有

引理2.7[7]若1/2<α≤1,則對(duì)u∈Eα,有

定義2.8[6]設(shè)X是實(shí)Banach空間,?∈C1(X,R),如果{un}?X,?(un)有界并且?0(un)→0(n→+∞),則稱序列{un}?X 為?的(PS)序列.如果它的每一(PS)序列都有一收斂子列,則稱泛函?滿足(PS)條件.

定義2.9[6]設(shè)X是實(shí)Banach空間,?∈C1(X,R),如果{un}?X,?(un)有界并且(1+kunkα)?0(un)→ 0(n→ +∞),則稱序列{un}? X為?的(C)序列.如果它的每一(C)序列都有一收斂子列,則稱泛函?滿足(C)條件.

引理2.10[6](山路引理)設(shè)X是實(shí)Banach空間,?∈C1(X,R)滿足(PS)條件,?(0)=0,且有

(I1) 存在常數(shù)ρ,β >0,使得?|?Bρ≥ β;

(I2)存在e∈XˉBρ,使得?(e)≤0,

注2.2由文獻(xiàn)[9]可知,山路引理在(C)條件下依然成立.

3 定理的證明

為了敘述方便,令Ci(i=1,2,3,···)表示一系列不同的正常數(shù),X=Eα.

引理3.1假設(shè)條件(F1),(F5),(F6),(G1)和(G3)成立,則泛函?滿足(C)條件.

證 首先證明{un}在X上有界.假設(shè){un}是泛函?的(C)序列,即{?(un)}有界,且當(dāng)n→+∞時(shí),有k?0(un)kX?(1+kunkα)→0,其中X?為X 的對(duì)偶空間,則?n∈N,有

根據(jù)條件(F5),存在常數(shù)R1>0,使得?|x|≥R1以及a.e.t∈[0,T],有

再結(jié)合條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可知

所以利用(2.2)式以及H?lder不等式,可得

而由條件(G1)和(G3),有

因此,進(jìn)一步依據(jù)(2.2),(3.4),(3.5)式和H?lder不等式,可得

這樣由(2.4),(2.6),(3.1),(3.3)和(3.6)式可得

另一方面,由條件(F6),存在常數(shù)R2>0,使得?|x|≥R2和a.e.t∈[0,T],有

因此再由條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可得

其中ripi=μ?r+2,1/pi+1/qi=1.考慮(2.4),(2.5),(3.1),(3.4),(3.6),(3.8)和(3.9)式,有

因此可以得到

由于μ>r?1,利用(3.7)和(3.10)式,并注意到εi的定義,有

注意到這里μ>r?1,因此,kunkα有界.

最后證明{un}在X上有強(qiáng)收斂子列.因?yàn)閧un}在X上有界,并且X是自反的Banach空間(見文獻(xiàn)[8]),則存在子序列,不妨仍記為{un},使得在X上,有un*u.于是當(dāng)n→+∞時(shí),有

由(2.3)式和引理2.5可知{un}在C([0,T],RN)上有界.進(jìn)一步,當(dāng)n→ +∞時(shí),有kun?uk∞→0.因此再依據(jù)條件(F1)和(G3),當(dāng)n→+∞時(shí),有

此外,由(2.5),(2.6)和(3.12)式,有

所以結(jié)合(3.11)式可得,當(dāng)n→+∞時(shí),kun?ukα→0,即?滿足(C)條件.

引理3.2假設(shè)W滿足條件(F3),(F5),(G1)和(G3),則存在常數(shù)ρ>0,β>0和Λ0>0,使得當(dāng)kukα= ρ,λ ∈ (0,Λ0)時(shí),有?(u)≥ β.

證 根據(jù)條件(F3),(F5)可知,存在常數(shù)δ1∈(0,|cos(πα)|),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

由(2.1),(2.4),(2.6),(3.13)式及條件(G1),(G3),有

設(shè)

因?yàn)?

利用(3.14)和(3.15)式可得,存在不依賴于λ的常數(shù)C12,使得

引理3.3 假設(shè)W滿足條件(F1),(F4),(G1)和(G3),則存在e∈X,并且kekα>ρ,使得?(e)<0.

證 由條件(F4)知,存在常數(shù)δ2>0和R3>0,使得?|x|≥R3以及 a.e.t∈[0,T],有

再由條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

根據(jù)(2.4),(2.6),(3.5),(3.16)和(3.17)式,注意到1

所以存在充分大的s0使得?(s0u0)<0,取e=s0u0∈X,有?(e)<0.

引理3.4假設(shè)條件(F2)和(G2)成立,則

其中ρ由引理3.2給出.

下證存在?(u0)=h<0.

由條件(F2)知,存在常數(shù)δ3>0,使得?|x|≤δ3以及a.e.t∈[0,T],有

由條件(G2)得,存在常數(shù)δ4>0,?|x|≤δ和有

因此有?∞

定理1.1的證明 根據(jù)引理3.1可知?滿足(C)條件,由條件(F3)和(G1)知W(t,0)=0,所以有?(0)=0,再利用引理3.2和引理3.3可知引理2.9(山路引理)中的條件(I1),(I2)成立.因此問題(1.1)存在一個(gè)非平凡解u1∈X,使得?(u1)=c>0.另一方面,由引理3.4和Ekeland變分原理(見文獻(xiàn)[6]),類似于文獻(xiàn)[10]中定理2.1的證明,可得有界的(PS)序列{un},即?(un)有界,且當(dāng)n→+∞時(shí),?0(un)→0.又因?yàn)閡n∈ˉBρ,即kunkα<ρ,所以當(dāng)n→ +∞時(shí),有(1+kunkα)?0(un)α→ 0,即{un}為?中有界的(C)序列,再結(jié)合引理3.1,則問題(1.1)存在另一個(gè)非平凡解u2∈X,使得?(u2)<0.綜上所述,問題(1.1)至少存在兩個(gè)非平凡解u1,u2∈X,使得?(u2)<0

4 例子

在本節(jié)中,給出一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明我們的結(jié)果.考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問題: