對(duì)折和都是9的循環(huán)小數(shù)

張明鼎

1 7 =0.142857

1 23 =0.0434782608695652173913

我們考查這兩個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)循環(huán)節(jié)中數(shù)字個(gè)數(shù)都比分母少1.而且把它們循環(huán)節(jié)中數(shù)字對(duì)折起來(lái)，再對(duì)應(yīng)相加和都是9.

例如，

142

+ 857

999

04347826086

+ 95652173913

99999999999

類似這樣的數(shù)還很多，例如， 1 17 ， 1 19 ， 1 23 ，…， 1 109 ， 1 113 ， 1 223 ， 1 229 ，……以及其他真分?jǐn)?shù)，十七分之幾，十九分之幾……二百二十九分之幾等等.

象7，23這些數(shù)作分母的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)比分母少1.且對(duì)折起來(lái)相加和都是9.這究竟是什么道理呢？可以證明嗎？類似7，23這樣的數(shù)究竟有多少？有沒有一個(gè)統(tǒng)一的公式呢？

我們既然是研究循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)中的一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)比分母少1.且對(duì)折起來(lái)再對(duì)應(yīng)相加和都是9.就首先應(yīng)該考慮循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)中的一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)有哪些特征.因?yàn)槭挛锏陌l(fā)展總是起源于事物的內(nèi)在本質(zhì).所以通過觀察很明顯的看出一節(jié)的循環(huán)節(jié)中的數(shù)字個(gè)數(shù)的組合就象一段自然數(shù)那樣呈奇、偶位個(gè)數(shù)（此循環(huán)節(jié)的位數(shù)由做分母的質(zhì)數(shù)確定的）我們要研究的是循環(huán)節(jié)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)能夠?qū)φ?，所以這一節(jié)的循環(huán)節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)的組合就必須是偶數(shù)位個(gè)數(shù)字.

在我們過去學(xué)習(xí)除法時(shí)，大家都知道循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的數(shù)字由整數(shù)商后的余數(shù)確定的.卻忽視了除數(shù)的每一個(gè)余數(shù)與整數(shù)商的小數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.那么在這里介紹一下什么叫余數(shù)，在除式中小于除數(shù)的數(shù)（不計(jì)小數(shù)點(diǎn)位置）叫余數(shù).在一段余數(shù)中的余數(shù)小于分母絕對(duì)不能重復(fù)出現(xiàn).

什么叫循環(huán)余數(shù)：一個(gè)除數(shù)的余數(shù)部分在除式當(dāng)中從某一個(gè)數(shù)字起一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的余數(shù)叫循環(huán)余數(shù).

什么叫余數(shù)段：一個(gè)循環(huán)余數(shù)的余數(shù)部分中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫作這個(gè)循環(huán)余數(shù)的余數(shù)段.

什么叫有限余數(shù)：余數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的叫有限余數(shù).

沒有無(wú)限余數(shù).

純循環(huán)余數(shù)：余數(shù)段從余數(shù)的第一數(shù)字開始的循環(huán)余數(shù)叫作純循環(huán)余數(shù).

混循環(huán)余數(shù)：余數(shù)中第一余數(shù)與余數(shù)段之間有一個(gè)或幾個(gè)不循環(huán)的余數(shù)數(shù)字叫作這個(gè)循環(huán)余數(shù)的混循環(huán)余數(shù).

我們知道分子與分母兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，不能夠整除.就必須有余數(shù)，有了余數(shù)才可能有小數(shù)，有了循環(huán)余數(shù)才能有循環(huán)小數(shù)，有了余數(shù)段才能有循環(huán)節(jié)，所以有循環(huán)節(jié)小數(shù)中，循環(huán)節(jié)的一節(jié)數(shù)字個(gè)數(shù)與循環(huán)余數(shù)中余數(shù)段的一段數(shù)字個(gè)數(shù)一一相對(duì)應(yīng).它們是一對(duì)孿生姊妹，并且根據(jù)除法法則，每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小，所以按以上對(duì)應(yīng)關(guān)系循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)必定要比分母少1個(gè)或幾個(gè)數(shù)，對(duì)某個(gè)質(zhì)數(shù)來(lái)說，究竟少幾個(gè)數(shù)字是不一定的由做分母的這個(gè)質(zhì)數(shù)來(lái)決定.

所以象7，23這些數(shù)做分母的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)比分母少1，且能夠?qū)φ燮饋?lái)，是屬于循環(huán)節(jié)中偶位數(shù)個(gè)數(shù)字組合規(guī)律.那么把屬于偶位數(shù)個(gè)數(shù)字組合的循環(huán)節(jié)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)對(duì)折起來(lái)，再對(duì)應(yīng)相加和都是9又為什么？我們已知道了余數(shù)段與循環(huán)節(jié)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，反過來(lái)問，在余數(shù)段中的余數(shù)對(duì)應(yīng)對(duì)折起來(lái)相加和又等于什么呢？因?yàn)橛鄶?shù)小于除數(shù)（分母），所以在余數(shù)段中一段數(shù)字對(duì)應(yīng)對(duì)折相加和只能大于、小于或等于分母（除數(shù)）注：在計(jì)算過程中不去考慮余數(shù)中小數(shù)點(diǎn)所在位置.只看對(duì)應(yīng)關(guān)系.所以我們分別來(lái)證明在余數(shù)中，一段余數(shù)的數(shù)字對(duì)折相加和大于、小于或等于分母.

例如，

A P 互質(zhì)，1≤A

A=R6=R（P-1）（注在余數(shù)中，一段余數(shù)的循環(huán)余數(shù)與另一段余數(shù)的循環(huán)余數(shù)對(duì)應(yīng)相等，不計(jì)算位置，不計(jì)算數(shù)量，根據(jù)除數(shù)定義，余數(shù)小于除數(shù)，分子小于分母，分子是分母中的余數(shù)）.

R1=R11，R2=R22，R3=R33，RP-1=R（P-1）1.

以上這段余數(shù)為3、2、6、4、5、1（不計(jì)余數(shù)縮小位置）對(duì)應(yīng)對(duì)折.

R1，R2，R3，R4，R5，…，RP-1=ai（ai表示一段余數(shù)的集合）.

設(shè)有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) A P ，1≤A

求證：① R1+{R2R3R4…RP-1}>P;

② R1+{R2R3R4…RP-1}

③ R1+{R2R3R4…RP-1}=P.

證明? 假設(shè)在這段余數(shù)段中，對(duì)應(yīng)對(duì)折相加和大于分母P.

即R1+R2>P，R1+R3>P，R1+RP-1>P，

要想使等式成立，那么分母最小要減去整數(shù)1.

即R1+R2=P-1，

R1+R3=P-1，

R1+RP-1=P-1.

∵R1+R2=P-RP-1，

∴R1+R3=P-RP-1，

∴R1+RP-1=P-RP-1，

∴R1+2（RP-1）=P，

∴在這段余數(shù)中會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)相同的RP-1與余數(shù)定義相矛盾是假命題.

求證：R1+R2

證明? 假設(shè)在這段余數(shù)段中對(duì)應(yīng)對(duì)折相加余數(shù)和小于分母P.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

那么要使公式成立分母最小要加上整數(shù)1.

即R1+R2

R1+R3

R1+RP-1

∵ A P 互質(zhì)，1≤A

∴R1+R2=P+RP-1，

R1+R3=P+RP-1，

R1+RP-1=P+RP-1，

∴R1+RP-1-RP-1=P，

∴R1=P.

∵R1

通過以上證明在余數(shù)段中，兩個(gè)余數(shù)對(duì)應(yīng)對(duì)折相加和不能大于或小于分母.

求證：R1+R2=P，R1+RP-1=P.

證明? ∵在計(jì)算余數(shù)段余數(shù)對(duì)應(yīng)對(duì)折時(shí)，不考慮余數(shù)位置.

∵R1÷P=M1…R11，

R2÷P=M2…R22，

RP-1÷P=MP-1…R（P-1）1.

∵R1=R11，R2=R22，RP-1=R（P-1）1，

所以，符合循環(huán)余數(shù)的定義.

∴R1+R2=P，R1+RP-1=P，

所以，在一段余數(shù)中，對(duì)折對(duì)應(yīng)相加的兩個(gè)余數(shù)和等于分母.

1 7 =0.142857

326

+ 451

777

我們經(jīng)過證明既然得出在循環(huán)余數(shù)的余數(shù)段中能夠?qū)?yīng)對(duì)折相加的余數(shù)和等于分母，那么為什么它的循環(huán)節(jié)小數(shù)的循環(huán)節(jié)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)對(duì)折相加是9呢？

設(shè)：最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) A P ，A與P互質(zhì)，R1，R2，…，RP-1是循環(huán)余數(shù)，如果在循環(huán)余數(shù)的余數(shù)段中一段數(shù)字對(duì)應(yīng)對(duì)折相加的余數(shù)為R1，RP-1且R1+RP-1=P.

那么循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)中對(duì)應(yīng)對(duì)折相加的一對(duì)小數(shù)為M1M2（在計(jì)算過程中余數(shù)與循環(huán)小數(shù)都不考慮小數(shù)點(diǎn)位置，只看對(duì)應(yīng)關(guān)系）.

求證：10（M1+M2）=9.

證明? ∵R1+RP-1=P，

∴R1+RP-1=M1…… R11 10? R11是第二段余數(shù)中余數(shù)，

∴RP-1÷P=M1…… R（P-1） 10 R（P-1） 1是第二段余數(shù)中余數(shù).（R（P-1）1是R（P-1）1），

∴R1=Rm1+ R11 10 = 10Pm1+R11 10 （注10Pm1是10Pm1），

∴RP-1=Pm2+ R（P-1）1 10 = 10Pm2+R（P-1）1 10 （注10Pm2是10Pm2），

∴ 10Pm1+R11 10 + 10Pm2+R（P-1）1 10 =P，

∴10Pm1+R11+10m2+R（P-1）1=10P，

∴10P（m1+m2）+R11+R（P-1）1=10P.

又∵R11，R（P-1）1是下段余數(shù)段中的兩個(gè)對(duì)應(yīng)對(duì)折的余數(shù)，且它們的和也等于分母.（在計(jì)算時(shí)中只看對(duì)應(yīng)關(guān)系）.

∴R11+R（P-1）1=P，

∴10P（M1+M2）+P=10P，

∴10P（M1+M2）=10P+P，

∴10P（M1+M2）=9P，

∴10P（M1+M2）=9.

（為什么是10倍的和呢？因?yàn)镸1+M2的和是小數(shù)，也就是說循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)中對(duì)應(yīng)對(duì)折和是9，是小數(shù)部分的9.）

像7，23這樣的數(shù)究竟有多少個(gè)？

我們知道偶數(shù)位個(gè)9（1-10-2nn是自然數(shù)）組成的數(shù)能被某個(gè)質(zhì)數(shù)整除，它的循環(huán)節(jié)就是偶數(shù)位數(shù)字，也就是偶數(shù)位個(gè)9組成的數(shù)能被這個(gè)質(zhì)數(shù)整除的商的個(gè)數(shù)等于這個(gè)質(zhì)數(shù)做分母的一節(jié)循環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，根據(jù)循環(huán)節(jié)與余數(shù)段的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，余數(shù)就有偶數(shù)位數(shù)字，以前證明了偶數(shù)位個(gè)余數(shù)對(duì)折應(yīng)相加和等于分母，所以偶數(shù)位個(gè)9組成的數(shù)（1-10-2nn是自然數(shù)）能被某個(gè)質(zhì)數(shù)整除，它的循環(huán)對(duì)折對(duì)應(yīng)和一定是9.

統(tǒng)一公式可以看作 1-10-2n P .

結(jié)論：像7，23這些數(shù)作分母的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)數(shù)字個(gè)數(shù)比分母少1，且對(duì)折起來(lái)對(duì)應(yīng)相加和是9，是循環(huán)小數(shù)的一種特征.是由做分母的質(zhì)數(shù)來(lái)確定的（分子與分母兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，不能整除，就必須有余數(shù)），實(shí)際上在除式中，余數(shù)決定小數(shù)有了循環(huán)余數(shù)，才能有循環(huán)小數(shù)，有了余數(shù)段才能有循環(huán)節(jié)，所以循環(huán)節(jié)小數(shù)中，循環(huán)節(jié)的一節(jié)數(shù)字個(gè)數(shù)，與循環(huán)余數(shù)中余數(shù)段的一段數(shù)字個(gè)數(shù)一一相對(duì)應(yīng)，它們是一對(duì)孿生姊妹，并且根據(jù)除法法則，每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)?。ㄓ鄶?shù)小于除數(shù)）除數(shù)是分母，分子是分母中的余數(shù)，按照循環(huán)余數(shù)與循環(huán)節(jié)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以余數(shù)的個(gè)數(shù)就比分母這個(gè)數(shù)少1個(gè)或幾個(gè)數(shù)，究竟少幾個(gè)數(shù)是由做分母的質(zhì)數(shù)來(lái)確定的，那么循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)就要比分母少1或幾，經(jīng)過證明只要把余數(shù)段，余數(shù)中一段的數(shù)字個(gè)數(shù)對(duì)折起來(lái)，再對(duì)應(yīng)相加和等于分母.它的循環(huán)節(jié)小數(shù)中一節(jié)的數(shù)字個(gè)數(shù)對(duì)折起來(lái)再對(duì)應(yīng)相加和一定是9（在計(jì)算過程中不考慮余數(shù)縮小的倍數(shù)及小數(shù)點(diǎn)所在位置只看對(duì)應(yīng)關(guān)系）象號(hào)23這樣的數(shù)有很多個(gè)，只要由偶數(shù)位個(gè)9組成的數(shù)能被這個(gè)質(zhì)數(shù)整除.那么不管這個(gè)質(zhì)數(shù)做分母時(shí)，是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)，它的循環(huán)節(jié)一節(jié)數(shù)字對(duì)折對(duì)應(yīng)相加的和一定是9，即 1-10-2n P .