杜文勝

鄭州大學(xué) 商學(xué)院，鄭州 450001

1 引言

粗糙集理論[1]是由波蘭學(xué)者Pawlak提出的一種能夠處理不精確、不確定和不完備信息的軟計(jì)算工具。該理論現(xiàn)已成功應(yīng)用于人工智能、數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別與管理決策等領(lǐng)域[2-3]。需要指出的是，經(jīng)典的粗糙集理論以等價(jià)關(guān)系（不可區(qū)分關(guān)系）為基礎(chǔ)，然而，在現(xiàn)實(shí)世界中很多問(wèn)題是基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的，如學(xué)生評(píng)教、教師職稱(chēng)評(píng)定以及學(xué)校學(xué)科評(píng)估。為了解決這類(lèi)問(wèn)題，Greco等提出了優(yōu)勢(shì)粗糙集理論[4]，經(jīng)過(guò)近二十年的發(fā)展，現(xiàn)已發(fā)展成為粗糙集理論的一個(gè)重要分支[5]。

保加利亞學(xué)者Atanassov提出了直覺(jué)模糊集的概念[6]，它提供了元素屬于此模糊概念的隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三方面的信息，可同時(shí)表示肯定、否定和介于肯定與否定之間的猶豫性。由于其在處理模糊性和不確定性等方面的靈活性和實(shí)用性，有關(guān)該理論的研究受到了國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的極大關(guān)注，并被應(yīng)用于醫(yī)療診斷、專(zhuān)家系統(tǒng)、近似推理、機(jī)器學(xué)習(xí)和市場(chǎng)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域[7-8]。

近年來(lái)，將優(yōu)勢(shì)粗糙集理論與直覺(jué)模糊集理論相結(jié)合成為研究的一個(gè)熱點(diǎn)[9-11]，研究的主題是直覺(jué)模糊序信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)，其中包括一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)的相對(duì)約簡(jiǎn)。針對(duì)不一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了分布約簡(jiǎn)和最大分布約簡(jiǎn)，并證明了二者的等價(jià)性[12-13]。另外，與基于等價(jià)關(guān)系的不一致系統(tǒng)類(lèi)似[14-15]，序決策系統(tǒng)還存在分配約簡(jiǎn)[16]、部分一致約簡(jiǎn)[17]以及其他形式的約簡(jiǎn)[18-20]。徐偉華等將分配約簡(jiǎn)引入到直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)[21]，并將部分一致約簡(jiǎn)推廣到區(qū)間值模糊序決策系統(tǒng)的情形[22]，但對(duì)直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)目前尚未展開(kāi)相關(guān)的討論。

本文提出直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)的部分一致約簡(jiǎn)，得到了部分一致約簡(jiǎn)的判定定理，然后構(gòu)造部分一致辨識(shí)矩陣和辨識(shí)函數(shù)，建立了求解直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)所有的部分一致約簡(jiǎn)的具體方法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性。同時(shí)，證明了下約簡(jiǎn)和下近似約簡(jiǎn)與部分一致約簡(jiǎn)等價(jià)，從而進(jìn)一步豐富了優(yōu)勢(shì)粗糙集理論。

2 直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)

傳統(tǒng)的模糊集[23]給出了論域中元素的隸屬度，而直覺(jué)模糊集不僅給出了隸屬度，而且還給出了非隸屬度。

定義1[6]論域U上的直覺(jué)模糊集是下列形式的對(duì)象：

其中，uA(x)為x屬于A的隸屬度，vA(x)為x的非隸屬度，并且滿(mǎn)足關(guān)系式0≤uA(x)+vA(x)≤1,?x∈U。

定義 2[24](格(L*,≤L*))為方便說(shuō)明，記L*={(x1,x2)∈ [0,1]2|0≤x1+x2≤1}，L*上的序關(guān)系≤L*如下：

定義3稱(chēng)四元組S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是一個(gè)直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，其中U為有限非空對(duì)象集；C為有限非空條件屬性集，d為決策屬性，且C?j5i0abt0b=?;V為屬性值值域；f為對(duì)象屬性值映射。即，U={x1,,Vc為條件屬性c的值域，其中每個(gè)元素均為直覺(jué)模糊元[25]，且它們之間的序關(guān)系由定義2確定。對(duì)象屬性值映射f:U×C→V,且 f(x,c)∈Vc,即 f(x,c)=(uc(x),vc(x)),?x∈U。決策屬性值映射f(x,d)∈{1,2,…,m},值域?yàn)橛行驅(qū)嵵怠?/p>

若vc(x)=1-uc(x),?x∈U,?c∈C,則該系統(tǒng)退化為普通的模糊序決策系統(tǒng)。

定義4如果成立，稱(chēng)x關(guān)于屬性c占優(yōu)y，并記為x?cy。稱(chēng)x關(guān)于屬性集A占優(yōu)y，記為x?Ay，若x?cy,?c∈A。

注1由于≤L*是L*上的一個(gè)偏序關(guān)系，x?cy與y?cx可能同時(shí)不成立。

在直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)中可定義關(guān)于條件屬性集和決策屬性的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，記：,。記為關(guān)于條件屬性集A占優(yōu)x的集合，則。另外,其中。

定義5[11]設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，,則關(guān)于條件屬性集B的下近似為：

定義6[9]設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，若,則稱(chēng)該系統(tǒng)為一致的，否則該系統(tǒng)為不一致的。

直觀地，直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)是不一致的，如果存在x,y∈U,有x?Cy,但是 f(x,d)

Table 1 Intuitionistic fuzzy ordered decision system表1 直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)

例1如表1所示，S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是一個(gè)直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，其中，U={x1,x2,…,x8},C={a1,a2,…,a5}。

3 部分一致約簡(jiǎn)

設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，對(duì)x∈U,B?C，記：稱(chēng)δB(x為)x關(guān)于條件屬性集B的部分一致函數(shù)。

例2計(jì)算表1給出的不一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)中各元素關(guān)于屬性集C的部分一致函數(shù)。

經(jīng)計(jì)算得：

因此：

命題1設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)：

（1）若B?A?C,則對(duì)任意x∈U有δB(x)?δA(x)。

（3）直覺(jué)模糊系統(tǒng)為一致的充要條件是δC(x)=其中i=f(x,d)。

定義7設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，若對(duì)任意x∈U有δB(x)=δC(x),則稱(chēng)B為系統(tǒng)S的部分一致協(xié)調(diào)集。更進(jìn)一步，若B的任何真子集均不為部分一致協(xié)調(diào)集，則稱(chēng)B為系統(tǒng)S的部分一致約簡(jiǎn)。

命題2設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?B為相對(duì)協(xié)調(diào)集。

證明若,則稱(chēng)B為相對(duì)協(xié)調(diào)集[9]。B為相對(duì)協(xié)調(diào)集

推論1設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致約簡(jiǎn)?B為相對(duì)約簡(jiǎn)。

證明若B為部分一致約簡(jiǎn)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集，而B(niǎo)的任何真子集均不為部分一致協(xié)調(diào)集，由命題2得：B為相對(duì)協(xié)調(diào)集且B的任何真子集均不為相對(duì)協(xié)調(diào)集，因此B為相對(duì)約簡(jiǎn)。反之亦然。

推論1表明部分一致約簡(jiǎn)為相對(duì)約簡(jiǎn)在不一致系統(tǒng)中的有效推廣。下面給出部分一致約簡(jiǎn)的判定定理。

定理1設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?對(duì)任意x,y∈U,當(dāng)δC(y)? δC(x)時(shí)，有[x]≥B?[y]≥B。

證明“?”（反證法）若當(dāng)時(shí)，有,進(jìn)而由命題 1（2）得。由 B為部分一致協(xié)調(diào)集，于是有δB(x)=δC(x),?x∈U。綜上可得 δC(y)?δC(x),這與假設(shè) δC(y)?δC(x)相矛盾，因此結(jié)論成立。

“?”若對(duì)任意 x,y∈U,當(dāng) δC(y)?δC(x)時(shí)，有成立 。因此當(dāng)，可得

另一方面，由命題1（1）有δB(x)?δC(x)，綜上所述有δB(x)=δC(x)，即B為部分一致協(xié)調(diào)集。

定義8設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，記D*δ={(x,y)|δC(y) ? δC(x)}，定義：

稱(chēng)Dδ(x,y為)對(duì)象x和y的部分一致辨識(shí)屬性集。矩陣Dδ={Dδ(x,y)|x,y∈U}為該系統(tǒng)的部分一致辨識(shí)矩陣。

例3計(jì)算表1給出的不一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)的部分一致辨識(shí)矩陣。

Table 2 Partially consistent discernibility matrix表2 部分一致辨識(shí)矩陣

由 例 2 知 D*δ={(x1,x2),(x1,x8),(x3,x1),(x3,x2),(x3,x7),(x3,x8),(x4,x1),(x4,x2),(x4,x7),(x4,x8),(x5,x1),(x5,x2),(x5,x7),(x5,x8),(x6,x1),(x6,x2),(x6,x7),(x6,x8),(x7,x2),(x7,x8)}。由此可計(jì)算此直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)的部分一致辨識(shí)矩陣，如表2所示（為簡(jiǎn)化表達(dá)，辨識(shí)矩陣中?未列出）。

定理2設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，B?C,則B為部分一致協(xié)調(diào)集?對(duì)任意(x,y)∈D*δ,有B?Dδ(x,y)≠?。

證明“?”對(duì)任意(x,y)∈D*δ,即 δC(y)?δC(x),由 B 為部分一致協(xié)調(diào)集則 [x]≥B?[y]≥B。因此存在a∈B,使得(x,y)?R{a},≥即 a∈Dδ(x,y)。于是有B?Dδ(x,y)≠?成立。

“?”若對(duì)任意 (x,y)∈D*δ即 δC(y)?δC(x),有B?Dδ(x,y)≠?,則存在a∈B使得(x,y)?R{≥a},因此x? [y]≥a,且x?[y]≥B。另外，顯然 x∈[xa]≥B，從而[x]≥B?[y]≥B。由定理1知B為部分一致協(xié)調(diào)集。

老人旁若無(wú)人地專(zhuān)注于寫(xiě)字，又何嘗不是“只記花開(kāi)不記人”的境界呢？沒(méi)有功利性，才能無(wú)拘無(wú)束地追求精神的愉悅。有了追求，就有了精神寄托，用追求喂養(yǎng)精神，就能成為精神上明亮的人。

定義9設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，Dδ為S的部分一致辨識(shí)矩陣，記：

稱(chēng)Fδ為該決策系統(tǒng)的部分一致辨識(shí)函數(shù)。

定理3設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，F(xiàn)δ為該決策系統(tǒng)的部分一致辨識(shí)函數(shù)，F(xiàn)δ的最小析取范式為：

證明直接由定理2和最小析取范式的定義可得。

例4計(jì)算表1給出的不一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)所有的部分一致約簡(jiǎn)。

可以計(jì)算得：

即此系統(tǒng)的部分一致約簡(jiǎn)為{a2,a4}和{a4,a5}。

接下來(lái)將本文提出的部分一致約簡(jiǎn)與其他形式的約簡(jiǎn)進(jìn)行比較。對(duì)象x關(guān)于條件屬性集B的（最大）分布函數(shù)為[12-13]：

根據(jù)計(jì)算得：

系統(tǒng)的（最大）分布約簡(jiǎn)和分配約簡(jiǎn)為各對(duì)象均保持與關(guān)于C的（最大）分布函數(shù)和分配函數(shù)相同的極小子集[12-13,21]?？梢则?yàn)證{a2,a4}為系統(tǒng)的（最大）分布約簡(jiǎn)，{a2,a3}和{a2,a4}為系統(tǒng)的分配約簡(jiǎn)?？梢宰C明（最大）分布約簡(jiǎn)為部分一致協(xié)調(diào)集。事實(shí)上，B為（最大）分布約簡(jiǎn)，則根據(jù)定義7，顯然B為部分一致協(xié)調(diào)集。另外，可以驗(yàn)證{a2,a3}不為部分一致約簡(jiǎn)，而{a4,a5}也不為分配約簡(jiǎn)，因此，部分一致約簡(jiǎn)和分配約簡(jiǎn)之間并無(wú)關(guān)聯(lián)。

4 部分一致約簡(jiǎn)的等價(jià)定義

本章介紹與部分一致約簡(jiǎn)等價(jià)的兩種約簡(jiǎn)形式。

設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，對(duì)B?C，記：

命題3設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)：

（1）對(duì)任意B?C，有1≤λB≤m。

定義10設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，對(duì)B?C，若λB=λC，則稱(chēng)B為系統(tǒng)S的下協(xié)調(diào)集。更進(jìn)一步，若B的任何真子集均不為下協(xié)調(diào)集，則稱(chēng)B為系統(tǒng)S的下約簡(jiǎn)。

定理4設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?B為下協(xié)調(diào)集。

證明“?”設(shè)B為系統(tǒng)的部分一致協(xié)調(diào)集，即對(duì)任意x∈U有δB(x)=δC(x)。則對(duì)任意Di≥(i≤m):

“?”設(shè)B為下協(xié)調(diào)集，則λB=λC成立。即：

因此δB(x)=δC(x),B為系統(tǒng)的部分一致協(xié)調(diào)集。

推論2設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致約簡(jiǎn)?B為下約簡(jiǎn)。

證明證明過(guò)程和推論1的證明類(lèi)似。

在文獻(xiàn)[11]中，Xu等引入了下近似協(xié)調(diào)集和下近似約簡(jiǎn)的概念，下面證明這兩個(gè)概念分別與下協(xié)調(diào)集和下約簡(jiǎn)等價(jià)，進(jìn)而與本文介紹的部分一致協(xié)調(diào)集和部分一致約簡(jiǎn)分別等價(jià)。

定理5設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為下近似協(xié)調(diào)集?B為下協(xié)調(diào)集。

證明B為下近似協(xié)調(diào)集，即B為下協(xié)調(diào)集。

推論3設(shè)S=(U,C?j5i0abt0b,V,f)是直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)，則B為下近似約簡(jiǎn)?B為下約簡(jiǎn)?B為部分一致約簡(jiǎn)。

證明證明過(guò)程和推論1的證明類(lèi)似。

例5驗(yàn)證{a2,a4}和{a4,a5}為表1給出的不一致直覺(jué)模糊序決策系統(tǒng)所有的下約簡(jiǎn)和下近似約簡(jiǎn)。

可以計(jì)算得：

取B={a2,a4}或{a4,a5},則：

因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統(tǒng)的下協(xié)調(diào)集和下近似協(xié)調(diào)集。同時(shí)可以驗(yàn)證任何真子集均不為下協(xié)調(diào)集或下近似協(xié)調(diào)集。

另外，可以驗(yàn)證C的其他子集均不為下約簡(jiǎn)或下近似約簡(jiǎn)。因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統(tǒng)所有的下約簡(jiǎn)和下近似約簡(jiǎn)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的直覺(jué)模糊決策系統(tǒng)的部分一致約簡(jiǎn)，證明了其在系統(tǒng)一致的情形下與相對(duì)約簡(jiǎn)等價(jià)，給出了部分一致約簡(jiǎn)的判定定理，提供了利用部分一致辨識(shí)矩陣和辨識(shí)函數(shù)求解系統(tǒng)所有的部分一致約簡(jiǎn)的方法，進(jìn)一步豐富了優(yōu)勢(shì)粗糙集理論的研究?jī)?nèi)容。同時(shí)，討論了部分一致約簡(jiǎn)與（最大）分布約簡(jiǎn)以及分配約簡(jiǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件間的強(qiáng)弱關(guān)系。具體地，（最大）分布約簡(jiǎn)的條件較部分一致約簡(jiǎn)的條件強(qiáng)，而部分一致約簡(jiǎn)與分配約簡(jiǎn)間無(wú)強(qiáng)弱關(guān)系。另外，給出了部分一致約簡(jiǎn)的兩種等價(jià)形式：下約簡(jiǎn)和下近似約簡(jiǎn)。從其他角度闡釋部分一致約簡(jiǎn)是決策系統(tǒng)的一種有意義的約簡(jiǎn)。