行波型超聲波電機(jī)等效電路建模

周先立，羅 萍，黃 龍，劉澤浪

(電子科技大學(xué) 電子薄膜與集成器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610054)

0 引言

行波型超聲電機(jī)具有低速大力矩、運(yùn)行平穩(wěn)等特點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、儀器儀表、工業(yè)控制、精密定位和航天航空等領(lǐng)域。近10年，行波型超聲波電機(jī)的研究發(fā)展始終圍繞力矩、精度、穩(wěn)定性和可靠性等性能提升的縱深方向發(fā)展,便需了解超聲電機(jī)的振動(dòng)及動(dòng)力響應(yīng)特性，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。目前超聲電機(jī)數(shù)學(xué)模型[1-2]主要包括解析模型、等效電路模型和有限元建模。解析模型和有限元建模都存在求解復(fù)雜，使用不便等問題，等效電路模型在超聲電機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)設(shè)計(jì)中更具適應(yīng)性。在等效電路模型的研究方面，通過前人不斷地完善超聲電機(jī)等效電路模型，目前已有較成熟的超聲電機(jī)定子模型，但未綜合考慮電機(jī)壓電耦合效應(yīng)、定轉(zhuǎn)子間的摩擦耦合情況及轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性3方面的完整、準(zhǔn)確的超聲電機(jī)等效電路模型。

本文利用將受迫振動(dòng)模型與電學(xué)模型類比推導(dǎo)的思想，提出了一種超聲電機(jī)轉(zhuǎn)子優(yōu)化模型，建立了較完整的超聲電機(jī)等效電路模型，并給出了模型中的參數(shù)計(jì)算方法。通過搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證了本模型能準(zhǔn)確反映行波型超聲波電機(jī)的電氣特性，從而為進(jìn)一步開展超聲電機(jī)驅(qū)動(dòng)器和控制器的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

1 超聲電機(jī)等效電路模型

基于超聲電機(jī)機(jī)理，本文從定子、接觸區(qū)域和轉(zhuǎn)子3方面建立了超聲電機(jī)等效電路模型。

1.1 定子模型

圖1為國(guó)際上已有的、公認(rèn)的超聲電機(jī)壓電定子的等效電路模型[3]。其中，Cd為定子的夾持電容，V、I分別為電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓、電流，電阻R、電感L、電容C分別為

L=Ms/A2

(1)

R=γs/A2

(2)

C=A2/ks

(3)

式中：Ms為定子含壓電陶瓷和定子彈性體模態(tài)質(zhì)量；A為力系數(shù)；γs為定子粘滯阻力系數(shù)；ks為定子模態(tài)剛度。

圖1所示的模型描述了定子通過逆壓電效應(yīng)經(jīng)阻抗Z的損耗后產(chǎn)生輸出機(jī)械力F的過程。圖中，v為機(jī)-電轉(zhuǎn)換后的輸出機(jī)械力輸出速度，F(xiàn)為機(jī)電轉(zhuǎn)換后的輸出機(jī)械力。

圖1 壓電振子等效電路模型

1.2 接觸區(qū)域模型

1.2.1 面接觸、庫(kù)侖摩擦模型

柔性轉(zhuǎn)子在與定子行波接觸時(shí)是一個(gè)接觸面，并隨著正壓力增大而增大。超聲波電機(jī)工作時(shí)，定子表面的輪廓線成正弦波形狀。由于定、轉(zhuǎn)子材料較硬，而預(yù)壓力相對(duì)較小，故可假定定、轉(zhuǎn)子本身不因此產(chǎn)生接觸形變，只有摩擦層產(chǎn)生相應(yīng)的形變，這就是剛性定子-彈性轉(zhuǎn)子的面接觸模型，如圖2所示[4]。圖中，ξ0為定子振幅，h0為定子厚度的一半。

圖2 摩擦層的面接觸物理模型

1.2.2 超聲電機(jī)接觸模型計(jì)算分析

面接觸模型(見圖2)反映了定子微觀振動(dòng)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子宏觀轉(zhuǎn)動(dòng)的過程。圖2中接觸邊界x0處的縱向振動(dòng)幅值為

us(0,x0)=ξ0coskx0

(4)

式中k=2π/λ為彈性波振動(dòng)的波數(shù)。接觸邊界點(diǎn)：

x0=arccos(us/ξ0)/k

(5)

行波橫向振動(dòng)位移[5]為

ζ=kh0ξ0sin(kx-ωt)

(6)

對(duì)式(6)求導(dǎo)，令定、轉(zhuǎn)子等速，有

kh0ξ0ωcoskx1=ωrotorr

(7)

式中ωrotor為轉(zhuǎn)子角速度。式(7)化簡(jiǎn)可得定、轉(zhuǎn)子等速點(diǎn)為

x1=arccos[ωrotorr/(kh0ξ0ω)]/k

(8)

式中：k為波系數(shù)；ξ0為定子0時(shí)刻波峰處的縱向振動(dòng)幅值；r為平均接觸半徑；ω為角頻率。

由圖2可知，轉(zhuǎn)子振幅ξ0(1-coskx0)為定子振幅ξ0的1-coskx0倍，所以，轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移ur與定子振動(dòng)位移us的關(guān)系為

ur=us(1-coskx0)

(9)

轉(zhuǎn)子縱向的合力為定子行波波峰對(duì)轉(zhuǎn)子的軸向壓力Fsr，橫向的合力為摩擦力FR?？紤]到轉(zhuǎn)子和摩擦材料的阻尼與摩擦層的等效剛度，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)方程為

(10)

式中：Mr為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；kf為摩擦材料等效剛度；γr為轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)；γf為摩擦阻尼系數(shù)。

1.3 轉(zhuǎn)子模型

將式(10)通過向量的方法化簡(jiǎn)后代入式(9)可得

FR+Fsr

(11)

將受迫振動(dòng)與電學(xué)模型中的阻抗、容抗1/(jωC)、感抗jωL公式類比推導(dǎo)，得出的轉(zhuǎn)子等效電路如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路

圖3中，各個(gè)參數(shù)表達(dá)式為

Rr=γr/A2

(12)

Rf=γf/A2

(13)

Lr=Mr/A2

(14)

Cf=A2/kf

(15)

式中：Rr,Rf分別為受轉(zhuǎn)子和摩擦阻尼影響后的電阻；Lr是轉(zhuǎn)子質(zhì)量為感性影響時(shí)的電感；Cf是摩擦材料剛度為容性影響時(shí)的電容。

添加支路與其并聯(lián)進(jìn)一步完善，圖3的轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路，新增的支路提供Avcoskx0大小的電流，使總電流Ir為Av，其中：

R′=(Rf+Rr)·m

(16)

L′=Lr·m

(17)

C′=Cf/m

(18)

m=(1-coskx0)/coskx0

(19)

完善后的轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路如圖4所示。

圖4 優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路

由圖4與式(16)～(19)可看出，R′、L′、C′受m控制，m代表了電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，因此，隨著電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變，可用圖4中的R′、L′、C′這條支路來表征電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)阻抗的改變情況。由于在不同的轉(zhuǎn)速下m值會(huì)改變，因此，圖4的電機(jī)轉(zhuǎn)子模型可反映轉(zhuǎn)子對(duì)超聲電機(jī)的整體性能帶來的影響。

1.4 超聲電機(jī)等效電路

綜上所述，考慮到實(shí)際采用的是兩相交變電源驅(qū)動(dòng)，但由于A、B兩相對(duì)超聲電機(jī)的影響具有對(duì)稱性，可視兩相等效電路相同。因?yàn)槎ㄗ訉?duì)轉(zhuǎn)子的輸出機(jī)械力F就是轉(zhuǎn)子在橫、縱兩方向受到的合力Fsr+FR，故可將定、轉(zhuǎn)子模型結(jié)合，即將圖1與圖4合并，圖5為兩相之一的等效電路圖。

圖5 超聲電機(jī)空載時(shí)等效電路

考慮到加負(fù)載情況下，轉(zhuǎn)速比空載時(shí)低。由圖2可看出，等速點(diǎn)x1、接觸邊界點(diǎn)x0會(huì)向下、向外移動(dòng)，使整個(gè)接觸區(qū)域變大，轉(zhuǎn)子形變?cè)龃?。通過轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路的建模分析可知，轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路總電流Ir=Av(1-coskx0)將增大，在原來圖3基礎(chǔ)上，支路電流增加表現(xiàn)為并聯(lián)了RL支路，即可得超聲電機(jī)負(fù)載時(shí)等效電路,如圖6所示。圖中V是由方波信號(hào)Vpulse經(jīng)LLCC濾波網(wǎng)絡(luò)后產(chǎn)生的超聲電機(jī)輸入信號(hào)。

圖6 超聲電機(jī)負(fù)載時(shí)等效電路

2 仿真驗(yàn)證

用HP4294A網(wǎng)絡(luò)分析儀對(duì)行波型超聲波電機(jī)樣品進(jìn)行測(cè)試，并合理選擇驅(qū)動(dòng)頻率[6]，得到的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)

Cadence仿真中Cd=1.34 nF,Cf=75 pF,Vpulse=0～40 V,R=2.5 Ω,Rf=216 Ω,L=125.5 mH,Rr=5 Ω,C=9.5 nF,Lr=85.5 mH。R′、L′、C′值會(huì)隨電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生改變，在諧振頻率下，一定轉(zhuǎn)速時(shí)實(shí)測(cè)所得R′=4 338 Ω,L′=1.678 H,C′=3.82 pF。

空載時(shí)，基于圖5的超聲電機(jī)等效電路，采用LLCC濾波網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行濾波[7]，搭建Cadence仿真平臺(tái)，仿真如圖7所示。

圖7 超聲電機(jī)等效電路的驅(qū)動(dòng)信號(hào)仿真波形圖

由圖7可得到電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓52 V(峰-峰值)、電流32 mA(峰-峰值)且存在高次諧波的正弦信號(hào)。高次諧波存在的原因是LLCC濾波網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)未考慮波形的畸變率。

圖8為超聲電機(jī)有、無轉(zhuǎn)子情況仿真的等效對(duì)比圖。通過第1節(jié)的分析及圖8的對(duì)比仿真結(jié)果可知，轉(zhuǎn)子對(duì)整個(gè)電機(jī)模型的電氣特性影響主要體現(xiàn)在轉(zhuǎn)子質(zhì)量Mr的感性特性與摩擦材料等效剛度kf的容性特性，而Mr與kf也是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)物理特性的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)，且電機(jī)在不同工作狀態(tài)下，電機(jī)轉(zhuǎn)速不同，將有不同的R′、L′、C′值，由于這種變化特性，使研究轉(zhuǎn)子模型具有意義。

圖8 超聲電機(jī)有、無轉(zhuǎn)子等效對(duì)比圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)行波型超聲波電機(jī)樣機(jī)進(jìn)行實(shí)測(cè)， 用H橋電路產(chǎn)生的0～40 V方波電壓經(jīng)LLCC諧振后得到的正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào)來驅(qū)動(dòng)超聲電機(jī)，超聲電機(jī)能穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，具有良好的動(dòng)態(tài)特性。圖9為驅(qū)動(dòng)裝置實(shí)物圖。圖10為超聲電機(jī)其中一相的驅(qū)動(dòng)電壓、電流在有、無轉(zhuǎn)子情況下的對(duì)比圖，且與圖8仿真對(duì)比圖吻合。

圖9 電機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖

圖10 超聲電機(jī)驅(qū)動(dòng)信號(hào)對(duì)比圖

最終超聲電機(jī)能正常轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)測(cè)結(jié)果電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓V為50 V(峰-峰值)，驅(qū)動(dòng)電流I為30 mA(峰-峰值)，且存在高次諧波信號(hào)，與理論分析一致，與仿真結(jié)果吻合，細(xì)微的差異是由于電機(jī)內(nèi)部參數(shù)與選擇的分離元件精度造成的。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，得到的電流波形都含有高次諧波，這種非正弦特性正好充分驗(yàn)證了本文提出的超聲電機(jī)轉(zhuǎn)子優(yōu)化模型與超聲電機(jī)整體等效電路模型的準(zhǔn)確性與完備性。

4 結(jié)束語

本文考慮電學(xué)的兩相輸入特性與電機(jī)物理模型橫、縱向的差異性，推導(dǎo)出適合兩相交流電輸入的行波型超聲電機(jī)等效電路模型；考慮摩擦耦合情況與轉(zhuǎn)子對(duì)超聲電機(jī)的影響，提出了摩擦層轉(zhuǎn)子側(cè)等效電路模型。對(duì)本文推導(dǎo)出的超聲電機(jī)等效電路模型搭建了Cadence仿真平臺(tái),并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。對(duì)樣品電機(jī)搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通過對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性與完備性。本文建立的超聲電機(jī)等效電路模型可為進(jìn)一步開展超聲電機(jī)的精準(zhǔn)驅(qū)動(dòng)和控制提供模型基礎(chǔ)。