葉燕忠

摘 要：高中函數(shù)模塊教學(xué)中的問(wèn)題解決，可以通過(guò)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程、探求問(wèn)題解決的切入點(diǎn)、深耕數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在本質(zhì)這樣一個(gè)過(guò)程來(lái)達(dá)成.

關(guān)鍵詞：函數(shù)模板；問(wèn)題解決；數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)對(duì)象；數(shù)學(xué)信息

目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在概念處理簡(jiǎn)單、解題過(guò)于單一、信息聚散力弱等問(wèn)題.本文擬通過(guò)對(duì)高中函數(shù)模塊教學(xué)中問(wèn)題解決的探究，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，探求問(wèn)題解決的切入點(diǎn)，深耕數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在本質(zhì).

一、重?cái)?shù)學(xué)概念的理解——體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)玩的是概念與思維.任意角、古典概型、平面、向量等概念，相對(duì)別的概念來(lái)說(shuō)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，但卻是各數(shù)學(xué)分支的初始性概念和發(fā)展的基石. 教學(xué)不能只停留在傳授語(yǔ)言文字層面的結(jié)論性知識(shí)，而應(yīng)把知識(shí)作為探究的對(duì)象，讓學(xué)生體會(huì)、掌握其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，充分挖掘和利用知識(shí)的思維訓(xùn)練價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)從“工具性理解”走向“關(guān)系性理解”，最后到“創(chuàng)新性理解”.

【案例1】人教A版高中數(shù)學(xué)必修4《任意角》第一課時(shí)教學(xué)時(shí)，關(guān)于正角、負(fù)角的引出這一簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)，教師往往會(huì)直接告知學(xué)生正負(fù)角是約定俗成的東西，規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角為負(fù)角.

那么是否應(yīng)該追問(wèn)：這個(gè)約定俗成是基于什么？為什么規(guī)定逆時(shí)針為正？

學(xué)生：比如水龍頭的開(kāi)關(guān)方向，逆時(shí)針是打開(kāi)，順時(shí)針是關(guān)閉；比如在操場(chǎng)上跑步是按逆時(shí)針?lè)较虻摹?/p>

繼續(xù)追問(wèn)：這些都是人為的，不是渾然天成的.你能舉出別的例子嗎？

學(xué)生：地理上，北半球中的一些自然現(xiàn)象，比如水的旋渦和臺(tái)風(fēng)中心都是逆時(shí)針?lè)较虻臏u旋形（見(jiàn)圖1、圖2）.

學(xué)生：天體運(yùn)動(dòng)的方向是逆時(shí)針等.

追問(wèn)：你還能舉出什么例子？

學(xué)生：人旋轉(zhuǎn)一圈，多數(shù)是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的.

從而發(fā)現(xiàn)正負(fù)角的規(guī)定是符合自然規(guī)律和人的本能的，讓學(xué)生感受到這個(gè)規(guī)定不是隨性而為的，是有充足理由的.探究正負(fù)角名稱的來(lái)歷，可以使課堂精彩紛呈，讓學(xué)生回味無(wú)窮，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)正負(fù)角規(guī)定的理解從“工具性理解”走向“關(guān)系性理解”.

【案例2】《冪函數(shù)》教學(xué)中，對(duì)于冪函數(shù)的定義：形如[y=xα（α為常數(shù)，α∈R）]的函數(shù)，往往與指數(shù)函數(shù)一對(duì)比后，確定函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征后，就開(kāi)始研究五個(gè)?？嫉膬绾瘮?shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)教材上補(bǔ)充的一般只研究[α∈Q]這一條件，僅限于對(duì)有理數(shù)指數(shù)[α=qp，p ， q∈Z]引起不同的圖象特征的冪函數(shù)進(jìn)行研究.

筆者在教學(xué)此課時(shí)，運(yùn)用幾何畫(huà)板演示冪函數(shù)的各種圖象特征，設(shè)計(jì)兩種作圖方法，在演示的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題：

作法1：冪函數(shù)[f（x）=xqp，][其中p， q]的數(shù)值通過(guò)鍵盤(pán)輸入，每組數(shù)據(jù)都能得到對(duì)應(yīng)的完整的函數(shù)圖象（如圖3、圖4、圖5）.

作法2：冪函數(shù)[f（x）=xα]，其中[α]的數(shù)值通過(guò)[x]軸上構(gòu)造的任意點(diǎn)A的橫坐標(biāo)提供，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，得到的函數(shù)的圖象始終在第一象限（部分含原點(diǎn)）（如圖6）.

探究1：為什么作法2的圖象會(huì)有丟失？

學(xué)生：作法1中的數(shù)值通過(guò)鍵盤(pán)輸入時(shí)[α=qp]始終是有理數(shù)，作法2中[α]的數(shù)值是全體實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)也有無(wú)理數(shù)，但是無(wú)理數(shù)書(shū)本上提到不作研究要求，會(huì)不會(huì)是無(wú)理數(shù)影響了圖象的完整性？

探究2：是否嘗試探究一下指數(shù)是無(wú)理數(shù)的冪函數(shù)的圖象？考慮特殊的情形：[f（x）=x2].

探究過(guò)程中可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一列有理數(shù)逐步逼近[2]的方法：

[f（x）=x1.4=x75，定義域?yàn)镽；]

[f（x）=x1.41=x141100，定義域?yàn)?，+∞；]

[f（x）=x1.414=x707500，定義域?yàn)?，+∞；]

[f（x）=x1.4142=x70715000，定義域?yàn)?，+∞；]

[f（x）=x1.41421=x141421100000，定義域?yàn)?，+∞；]

……

當(dāng)指數(shù)逐步逼近[2]時(shí)，預(yù)測(cè)定義域?yàn)閇0，+∞]；

不妨取指數(shù)為[-2]，則可預(yù)測(cè)定義域?yàn)閇0，+∞] .

可猜測(cè)[f（x）=xα]可看成指數(shù)[α]是有理數(shù)收斂于該無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)，所以根據(jù)上述特例猜想其定義域?yàn)閇0，+∞]或[0，+∞]，所以用作法2獲得的冪函數(shù)的圖象只出現(xiàn)在第一象限（或含原點(diǎn)）.

追問(wèn)：那么當(dāng)指數(shù)[α]是有理數(shù)時(shí)的部分圖象去哪了？

學(xué)生：被無(wú)理數(shù)給吞沒(méi)了.

所以我們?cè)谘芯績(jī)绾瘮?shù)時(shí)指數(shù)的取值要?jiǎng)冸x無(wú)理數(shù)，只研究有理數(shù).

通過(guò)充分挖掘簡(jiǎn)單細(xì)節(jié)展開(kāi)探究，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解從“工具性理解”走向“關(guān)系性理解”，最后到“創(chuàng)新性理解”.

二、重?cái)?shù)學(xué)對(duì)象的確定——探究問(wèn)題解決的切入點(diǎn)

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題很明顯能獲得這樣的信息：只需要把題設(shè)中信息的研究清楚就可以解決問(wèn)題，其中確定數(shù)學(xué)對(duì)象為解題的關(guān)鍵，主要有三個(gè)確定的背景：函數(shù)、方程、不等式，其中方程、不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變換后可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)或兩個(gè)函數(shù)，立足于構(gòu)造的函數(shù)解決問(wèn)題.但是函數(shù)的選擇是否適切關(guān)系到能否順利、快速、精準(zhǔn)地解決問(wèn)題.因此下面的案例從三種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象選擇入手進(jìn)行剖析，獲得一題多解的解題方向.

【案例3】（2018年全國(guó)高考II卷第21題）已知函數(shù)[f（x）=ex-ax2].

（1）若[a=1]，證明：當(dāng)[x≥0]時(shí)，[f（x）≥1]；

（2）若[f（x）]在[（0，+∞）]只有一個(gè)零點(diǎn)，求[a].

此題主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題.

以下是第一小問(wèn)解題思路.

思路1：第一步確立待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為：[f（x）=ex-x2（x≥0）]；

第二步求函數(shù)[f（x）=ex-x2（x≥0）]的最小值為1.一般情況下，求一個(gè)函數(shù)的最值，需要判斷函數(shù)的圖象特征，從而確定最值點(diǎn)的位置.導(dǎo)數(shù)這一工具可以作出函數(shù)的大致圖象，從而求出最值.

第三步得出結(jié)論成立.

思路2：欲證[f（x）=ex-x2≥1（x≥0）]，只需證[ex-x2-1≥0]，所以可確定待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[g（x）=ex-x2-1（x≥0）]，并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具求其最小值為0，具體步驟同思路1的求解步驟.

但思路1、思路2運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，需要求兩次導(dǎo)，才能探究出函數(shù)的圖象，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度.所以可以考慮另外探尋新的解法.

思路3：欲證[ex-x2≥1（x≥0）]，只需證[ex-x2-1≥0（x≥0）]，即證[ex≥x2+1（x≥0）]，只需證[exx2+1≥1（x≥0）]，因此可確定待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[h（x）=exx2+1（x≥0）]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求其最小值為1，即可得證.

思路4：根據(jù)思路3可知只需證明[x2+1ex≤1（x≥0）]，因此可確定待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[R（x）=x2+1ex（x≥0）]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求其最大值為1即可得證.

思路5：根據(jù)題意，只要證明[ex≥x2+1（x≥0）]成立，我們把這個(gè)不等式看成兩個(gè)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即確定函數(shù)[y=ex（x≥0）]的圖象在[y=x2+1（x≥0）]的圖象的上方.以兩個(gè)函數(shù)[y=ex（x≥0）]和[y=x2+1（x≥0）]作為研究對(duì)象，以形助數(shù)來(lái)直觀想象抽象的不等關(guān)系.只是此類方法，寫(xiě)法步驟表述上相對(duì)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，適合在選擇、填空題中運(yùn)用.

以下是第二小問(wèn)解題思路.

思路1：已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以可以去探究函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定只有一個(gè)零點(diǎn)的圖象特征，然后轉(zhuǎn)化為含有[a]代數(shù)關(guān)系式解決問(wèn)題.因此可以確定研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[f（x）=ex-ax2（x>0）]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分類討論此函數(shù)的性質(zhì)與圖象，過(guò)程相對(duì)比較煩瑣，運(yùn)算能力要求較高，圖象的變化趨勢(shì)也需考慮周全，才能解答完整，此解法能力要求高，屬于難題. 但可以結(jié)合函數(shù)本身的數(shù)的特征把[a]的研究范圍縮小到[0，+∞].

思路2：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為[關(guān)于x的方程ex-ax2=0（x>0）]只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為[y=ex（x>0）]和[y=ax2（x>0）]只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，如圖7所示可觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)函數(shù)在第一象限相切時(shí)，為極端情形，此時(shí)的[a]即為所求，從而解決問(wèn)題. 但是此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象都是曲線，作圖判斷易產(chǎn)生偏差.

思路3：我們?cè)谒悸?的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造，改造成一直一曲的兩個(gè)函數(shù)來(lái)求解，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象[y=exx（x>0）]和[y=ax（x>0）]只有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.如圖8，可觀察到兩個(gè)函數(shù)在第一象限相切時(shí)是極端情形，此時(shí)的[a]即為所求，從而解決問(wèn)題.

思路4：繼續(xù)改造成方程[exx2=a（x>0）]只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，確定研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[y=exx2（x>0）]和[y=a（x>0）]的圖象，結(jié)合已知條件判斷只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)[a]的取值問(wèn)題.

如圖9，可觀察到兩個(gè)函數(shù)在第一象限相切時(shí)是極端情形，此時(shí)的[a]即為所求，從而解決問(wèn)題.

思路5：繼續(xù)改造成方程[1-ax2ex=0（x>0）]，確立待研究的數(shù)學(xué)對(duì)象為[g（x）=1-ax2ex]，結(jié)合已知條件探究[g（x）=1-ax2ex]的圖象與[x]軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)[a]的值.但是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)時(shí)同樣需要進(jìn)行分類討論，不過(guò)可以先縮小[a]的研究范圍.

三、重?cái)?shù)學(xué)信息的聚散——深耕數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在本質(zhì)

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題最關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)是在理解題意的前提下，從中獲取盡可能多的信息，同時(shí)獲取一些隱含的信息，因?yàn)槊恳粭l信息都具有唯一性，將這些信息聚合在一起鑒別后進(jìn)行后處理，比較問(wèn)題解決所需要的信息和后處理的信息是否一致，從而鑒別是否能解決問(wèn)題.解決問(wèn)題后，是否能把后獲得的新信息進(jìn)行發(fā)散聯(lián)系，探究生成新問(wèn)題，深耕這個(gè)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在本質(zhì). 其中提取信息、聚合信息、發(fā)散性對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，因此我們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行適切的引導(dǎo)，以幫助學(xué)生順利解題.

【案例4】已知函數(shù)[f（x）=3（x3+2x）].

點(diǎn)[P]是[f（x）]上任意一點(diǎn)，[F1（2，23） ，]

[F2（-2，-23）]，則[||PF1|-|PF2||=] .

解題剖析：

信息1“[f（x）=3（x3+2x）]”可提取得到新信息“[f（x）]是對(duì)勾函數(shù)”.

信息2“點(diǎn)P是任意一點(diǎn)”可加工得到新信息“[不妨設(shè)Px，y]”.

信息3“[F1（2，23） ，F(xiàn)2（-2，-23）]”.

信息4“[||PF1|-|PF2||=] ”.

信息1、2、3、4聚合后處理可得到信息5“||PF1|-|PF2||=

[x-22+（33x+23x-23）2][-x+22+（33x+23x-23）2]”.

信息6“所求值是定值，若是定值，那么這個(gè)函數(shù)是否就滿足雙曲線的定義？”

信息5通過(guò)數(shù)據(jù)處理可以計(jì)算得到.

信息7“[||PF1|-|PF2||=][43<|F1F2|=8]”，把此信息進(jìn)行發(fā)散聯(lián)系，由此深耕得：

信息8“[f（x）]的圖象是雙曲線”這一對(duì)勾函數(shù)內(nèi)在本質(zhì)的東西，獲得新的信息：

信息9“對(duì)勾函數(shù)的圖象是雙曲線型”，繼續(xù)發(fā)散聯(lián)系，可設(shè)置新的問(wèn)題情境：

信息10“請(qǐng)求出對(duì)勾函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸方程”.