張秀云，宗群，竇立謙,*，劉文靜

1. 天津大學(xué) 電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072 2. 北京控制工程研究所 空間智能控制國家重點實驗室，北京 100190

航天器是指按照天體運(yùn)行規(guī)律在大氣層外運(yùn)行的空間飛行器，在天氣預(yù)測、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、環(huán)境監(jiān)測、國家安全等方面發(fā)揮著日益重要的作用。為滿足日益增加的航天需求，航天器需攜帶柔性太陽帆板，而在航天器完成機(jī)動、轉(zhuǎn)向及空中對接等動作時，很容易激起柔性帆板的振動，從而嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，航天器在運(yùn)行過程中受到太陽光壓力矩、重力梯度力矩、地球非球形攝動等外部干擾，這也為控制器設(shè)計帶來極大的挑戰(zhàn)。因此，干擾影響下柔性航天器的高精度快速姿態(tài)控制是目前研究的熱點及難點問題。

近年來，針對干擾影響下的航天器姿態(tài)控制問題，國內(nèi)外研究者們提出了各類控制方法：H∞控制[1]、輸出反饋控制[2]、滑?？刂芠3-4]等，其中，滑?？刂品椒ǖ靡嬗谄鋵Ω蓴_的強(qiáng)魯棒特性，得到了廣泛的應(yīng)用[5-7]。文獻(xiàn)[8]針對干擾影響下的剛體航天器姿態(tài)控制問題，設(shè)計終端滑?？刂破?，實現(xiàn)了航天器精確姿態(tài)跟蹤，但其控制器存在奇異性。針對該問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)改進(jìn)[9-10]，提出非奇異終端滑模。北京理工大學(xué)夏元清等[11]進(jìn)一步提出自適應(yīng)非奇異終端滑模，實現(xiàn)剛體航天器姿態(tài)的有限時間穩(wěn)定，但其僅能收斂到原點附近小鄰域內(nèi)。天津大學(xué)宗群等[12-14]則針對剛體航天器姿態(tài)控制問題，利用自適應(yīng)干擾觀測器-終端滑?？刂破骶C合設(shè)計方法，保證姿態(tài)的有限時間穩(wěn)定。以上文獻(xiàn)大多針對剛體航天器姿態(tài)控制問題，未考慮柔性附件振動影響，且大多僅能保證剛體姿態(tài)有限時間收斂到小鄰域，并不能實現(xiàn)姿態(tài)的精確收斂。

針對航天器柔性附件振動抑制問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要分為2種解決思路：被動抑制及主動抑制。被動抑制即將柔性振動視為系統(tǒng)不確定影響，利用控制器的魯棒性進(jìn)行處理[15]，但其振動仍舊存在。而柔性振動主動抑制則通過外加指令，直接對振動進(jìn)行抑制，如輸入成形器(Input Shaper，IS)等。作為一種有效抑制柔性振動的前饋控制方法，輸入成形器得到了廣泛的研究。其作用原理為：通過利用振動頻率及阻尼信息，設(shè)計其作用脈沖及幅值，保證加入系統(tǒng)后產(chǎn)生的振動響應(yīng)能夠相互抵消[16-18]。輸入成形器技術(shù)可用于解決柔性航天器的振動抑制問題。哈爾濱工業(yè)大學(xué)胡慶雷團(tuán)隊[19]通過結(jié)合輸入成形器及滑?？刂品椒ǎ鉀Q了干擾影響下的柔性航天器控制，但其需要干擾上界已知。文獻(xiàn)[20]則提出一種輸入成形器與自適應(yīng)滑模結(jié)合的方法，無需干擾上界已知，且保證柔性航天器姿態(tài)控制，但其僅能保證姿態(tài)的漸近收斂，難以滿足航天器姿態(tài)控制的快速性要求。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文針對干擾及不確定影響下的柔性航天器姿態(tài)控制問題，提出了輸入成形器-自適應(yīng)有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合的設(shè)計方法，避免了干擾上界必須已知的限制，保證了干擾估計誤差有限時間收斂至零，實現(xiàn)了柔性航天器姿態(tài)的有限時間精確控制及有效的柔性附件振動抑制。

1 柔性航天器數(shù)學(xué)模型

采用單位四元數(shù)描述航天器姿態(tài)，則航天器運(yùn)動學(xué)模型描述為[14]

(1)

考慮航天器柔性附件發(fā)生變形振動，系統(tǒng)姿態(tài)動力學(xué)方程及柔性振動方程可描述為[21]

(2)

(3)

(4)

基于式(1)～式(3)，得到姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)為[14]

(5)

(6)

(7)

式中：Y=T-1。

基于動力學(xué)模型式(5)及式(6)，對式(7)求導(dǎo)可得

(8)

式中：J*=YTJY∈R3×3；綜合干擾D∈R3包含系統(tǒng)外部干擾(如重力梯度、太陽光壓等干擾力矩)及柔性振動主動抑制后的殘余振動帶來的內(nèi)部干擾，記殘余振動模態(tài)為χc。

(9)

性質(zhì)2[22-23]慣性矩陣J*滿足：

(10)

式中：λmax、λmin為正常數(shù)。

本文的控制目標(biāo)表述為：針對柔性航天器姿態(tài)系統(tǒng)式(1)及式(2)，研究柔性振動主動抑制方法，設(shè)計控制器u(t)，實現(xiàn)對期望姿態(tài)的有限時間精確控制，即

(11)

式中：T為收斂時間。

2 航天器有限時間控制器設(shè)計

本節(jié)將針對航天器模型式(8)進(jìn)行控制器設(shè)計，所采用的控制策略如圖1所示，主要包括輸入成形器、自適應(yīng)有限時間干擾觀測器及有限時間積分滑?？刂破?部分。首先，基于振動模態(tài)的自然頻率及阻尼信息設(shè)計輸入成形器，并與姿態(tài)參考輸入進(jìn)行卷積，獲得期望參考輸入；其次，基于系統(tǒng)姿態(tài)及控制輸入信息，設(shè)計自適應(yīng)有限時間干擾觀測器，實現(xiàn)對干擾及殘余柔性振動影響的精確估計；最后，基于觀測器估計值，設(shè)計有限時間積分滑模控制器，實現(xiàn)對期望參考輸入的高精度快速跟蹤。

圖1 綜合控制策略設(shè)計框圖Fig.1 Block of integrated control strategy

2.1 自適應(yīng)有限時間干擾觀測器設(shè)計

基于航天器系統(tǒng)式(8)，設(shè)計如下干擾觀測器：

(12)

式中：

(13)

(14)

其中：ρ=κL2+η，κ為待設(shè)計正常數(shù)，η為任意小的正常數(shù)；δ(t)的表達(dá)式為

(15)

式中：veq為等價輸出注入項[24-25]；0<α<1；ε為任意小的正常數(shù)。

基于式(8)及式(12)，對狀態(tài)估計誤差e求導(dǎo)可得

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：V(x0)為V(x)的初值，x0為初始狀態(tài)。

注2有限時間收斂是指系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達(dá)平衡點并一直保持在該平衡點上。該概念廣泛應(yīng)用于航空航天控制系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)、電機(jī)控制系統(tǒng)等諸多實際領(lǐng)域，具有重要的實際應(yīng)用意義[26-27]。此外，由引理1及引理2有限時間Tr的表達(dá)式可以看出，只要已知系統(tǒng)初始狀態(tài)x0，則有限收斂時間Tr的值就可以事先確定。

定理1針對航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式(8)，設(shè)計自適應(yīng)有限時間干擾觀測器式(12)、式(13)，參數(shù)自適應(yīng)律如式(14)所示，則觀測器的狀態(tài)估計誤差e及干擾估計誤差會在有限時間內(nèi)收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

-η|δ(t)|

(21)

根據(jù)式(21)及引理1可知，δ(t)會在有限時間T1內(nèi)收斂到0。

當(dāng)δ(t)=0后，由于0<α<1，ε>0，并基于式(17)，可以得到

(22)

第2步定義Lyapunov函數(shù)為

(23)

基于性質(zhì)1，對V2求導(dǎo)可得

(24)

(25)

(26)

注3根據(jù)觀測器式(12)～式(14)，可以看出無需綜合干擾上界信息已知，消除了上界約束；另外，通過對定理1的證明可知，本文所設(shè)計的自適應(yīng)有限時間干擾觀測器可以保證干擾估計誤差有限時間收斂到0。

2.2 有限時間積分滑模控制器設(shè)計

針對航天器姿態(tài)系統(tǒng)式(8)，設(shè)計如下積分滑模面：

(27)

(28)

由積分滑模面式(27)可以看出，當(dāng)t=0時，s=0，即系統(tǒng)狀態(tài)在初始時刻時就在滑模面上，消除了滑模面的到達(dá)過程，保證了全局的魯棒性。

基于積分滑模面式(27)，可得滑模動態(tài)為

(29)

控制器設(shè)計為

(30)

引理3[28]考慮如下積分鏈系統(tǒng)：

(31)

式中：xi(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)狀態(tài)變量；τ為系統(tǒng)控制輸入。

若控制器設(shè)計為

(32)

定理2針對航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式(8)，基于積分滑模面式(27)及自適應(yīng)有限時間干擾觀測器式(12)～式(14)，設(shè)計如式(30)所示的有限時間積分滑?？刂破餍问?，則航天器姿態(tài)跟蹤誤差qev及角速度跟蹤誤差ωev會在有限時間收斂到0。

證明首先證明在自適應(yīng)有限時間干擾觀測器誤差收斂到0之前，系統(tǒng)狀態(tài)不會發(fā)散；其次證明干擾觀測器觀測誤差收斂到0之后，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數(shù)為

(33)

對V3進(jìn)行求導(dǎo)，并代入式(29)、式(30)可得

(34)

第2步當(dāng)干擾觀測器的觀測誤差收斂到0之后，系統(tǒng)滑模動態(tài)變?yōu)?/p>

(35)

此時，可以得到

(36)

(37)

3 輸入成形器

輸入成形器是指具有一定作用幅值及作用時間的脈沖序列，利用合適的輸入成形器與系統(tǒng)參考指令相卷積，改變系統(tǒng)輸入的形狀和作用位置點，達(dá)到抑制柔性振動的目的。

最基本的輸入成形器為2個作用脈沖，為獲得輸入成形器形式，基于系統(tǒng)振動的頻率及阻尼信息，建立振動響應(yīng)表達(dá)式，并考慮以下約束條件：加入脈沖后的振動響應(yīng)為0，且盡量減小成形器的作用時間，并保證不影響系統(tǒng)姿態(tài)的最終期望值等。建立如下約束方程組[16]：

(38)

式中：Aj為第j個脈沖的振動幅值，此時考慮的為2個脈沖；tj為第j個脈沖的作用時間；Ω0為振動頻率；ξ為阻尼。

通過求解方程式(38)，得到兩脈沖零振動輸入成形器(Zero-Vibration，ZV)形式為

(39)

輸入成形器具有多種形式[16]：ZV、ZVD (Zero Vibration and Derivative)、EI (Extra-Insensitive)等，其各具特點。其中ZV作用時間最短，但由于干擾等影響導(dǎo)致系統(tǒng)實際振動頻率不等于固有頻率時，其抑制效果不理想，即不具有魯棒性；ZVD作用時間與EI作用時間相同，且EI的魯棒性相對較強(qiáng)，但當(dāng)航天器的真實頻率等于固有頻率時，EI仍存在殘余振動。因此，綜合考慮各類輸入成形器的優(yōu)缺點，選擇ZVD對航天器柔性振動進(jìn)行抑制，通過在方程式(38) 中增加對振動響應(yīng)導(dǎo)數(shù)的約束，可得ZVD表達(dá)形式如下：

(40)

(41)

式中：“*”為卷積作用。

4 仿真分析

為驗證本文所提輸入成形器-自適應(yīng)有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合方法的有效性，進(jìn)行仿真驗證與分析。仿真中，各參數(shù)選取如下：

考慮前三階柔性振動模態(tài)，則衛(wèi)星主體與柔性附件的耦合矩陣δ為

δ=

柔性模態(tài)自然頻率參數(shù)為：Λ1=0.768 1 rad/s,Λ2=1.103 8 rad/s,Λ3=1.873 3 rad/s。

柔性模態(tài)阻尼比為：ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013。

所受到的干擾設(shè)置為

d=

[0.1sin(2t) 0.05cost+0.2sint0.08cos(3t)]T

航天器姿態(tài)及角速度初值為

期望姿態(tài)與角速度為

輸入成形器設(shè)計為

干擾觀測器及控制器參數(shù)選取如表1所示。

仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。圖2為航天器姿態(tài)及姿態(tài)角速度跟蹤曲線。可以看出，姿態(tài)及姿態(tài)角速度均能在有限時間內(nèi)收斂至平衡點，收斂時間約為20 s，精度數(shù)量級達(dá)到10-4，因此，加入輸入成形器未影響系統(tǒng)的跟蹤精度及收斂時間。圖3為系統(tǒng)綜合干擾的估計及估計誤差曲線?？梢钥闯?，本文設(shè)計的自適應(yīng)有限時間干擾觀測器可以保證對綜合干擾的精確估計。圖4為系統(tǒng)控制輸入曲線?？梢钥闯?，控制輸入范圍合理。圖5為滑模面變化曲線。系統(tǒng)狀態(tài)在15 s左右重回滑模面，即滑模面在有限時間收斂到0，驗證了控制算法的有效性。由于對系統(tǒng)產(chǎn)生主要作用的即為一階振動模態(tài)，其他模態(tài)影響較小，因此，通過針對一階振動模態(tài)加入輸入成形器，得到如圖6所示的一階柔性振動模態(tài)變化?？梢钥闯觯c未加輸入成形器時相比，加入后可有效抑制75%的柔性附件振動，具有良好的柔性振動抑制效果。

表1 觀測器及控制器參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter settings of observer and controller

圖2 姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差Fig.2 Attitude angular and velocity tracking errors

圖3 綜合干擾估計和估計誤差Fig.3 Estimation and estimation error of lumped uncertainty

圖4 控制輸入Fig.4 Control inputs

圖5 滑模面變化曲線Fig.5 Sliding mode surface

圖6 柔性振動模態(tài)Fig.6 Flexible vibration mode

因此，通過仿真可以驗證，本文所設(shè)計的輸入成形器-自適應(yīng)有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合方法能夠有效抑制柔性附件振動，且能保證系統(tǒng)姿態(tài)的高精度快速收斂。

5 結(jié) 論

1) 本文提出了一種新型自適應(yīng)有限時間干擾觀測器設(shè)計方法，無需綜合干擾上界信息，且能夠保證干擾估計誤差有限時間收斂至零。

2) 基于干擾觀測器對系統(tǒng)綜合干擾的估計值，設(shè)計了有限時間積分滑?？刂破?，保證系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤誤差及角速度跟蹤誤差有限時間收斂到零。

3) 利用輸入成形器對系統(tǒng)參考指令進(jìn)行變形，獲得期望參考輸入，解決航天器柔性振動主動抑制問題，并將抑制后的殘余振動利用觀測器進(jìn)行估計并在控制器設(shè)計中進(jìn)行補(bǔ)償，保證姿態(tài)控制的高精度，實現(xiàn)輸入成形器-自適應(yīng)有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合的有限時間快速精確控制。